毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用.docx
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毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用
矩阵的特征值与特征向量的若干应用
Severalapplicationsofeigenvaluesand
eigenvectorsofthematrix
专业:
数学与应用数学
作者:
指导老师:
学校
二o一
本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论,在此理论基础上做了一定的推
广,并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用•
关键词:
特征值;特征向量;矩阵;递推关系
Abstract
Thisarticledescribessometheoriesofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrix,basedonthesetheorieswedosomepromotions,anddiscussestheapplicationsofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrixthroughtheirpropositionsandnature.
Keywords:
eigenvalue;eigenvector;matrix;recursionrelations
摘要I
ABSTRAC工II
0引言1
1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论1
2矩阵特征值与特征向量的几个应用5
2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用5
2.1.1命题的证明5
2.1.2命题的应用7
2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用7
2.2.1命题的证明7
2.2.2命题的应用9
2.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用11
2.3.1特征值与特征向量的基本性质11
2.3.2性质的应用12
3小结15
参考文献16
0引言
为了利用矩阵研究线性变换,希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式,因此我们引进了特征值与特征向量•特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用,充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助,能使复杂的问题变的简单,化简为易,化繁为简.本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.(见参考文献[1][2][4])
1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论
我们知道,在有限维线性空间中,取了一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始,我们主要的来讨论,在适当的选择基之后,一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的,先介绍特
征值和特征向量的概念,它们对于线性变化的研究具有基本的重要性.
定义1.1设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数…P以及一个非零n维列向量X,使得
Ax=x
则称■是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A关于特征值■的特征向量.
现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法,设V是数域P上n维线性空间,
1,2,…,n是它们的一组基,线性变换I二就是在这组基下的矩阵是A.设o是特征值,它的一个特征向量在1,2,…—下的坐标是Xo1,Xo2,…,X°n.则由AXYx,这说
明特征向量■的坐标Xo1,X°2,…,心满足齐次次方程组
冷1必+a12X2+…+a1nXn=丸0捲,
a21X1a22X2a2nXn二'qX2,
I
an1X1-an2X2•…■annXn二'qX..
即
(1.1)
(7一0—aii%—a12x2—…一a1nxn=0,
一a21x1—■a22x2-…-a2nXn-0,
一an1x1-an2x2V;;']..'%-annxn二0.
由于.",所以它的坐标心山02,…,Xon不全为零,即齐次线性方程组有非零解.
从而,齐次线性方程组(1.1)式,有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零,即
*-0—a11
_a12…
—a1n
—A=
一a21
丸0—a22
—a2n
9
a
—an1
-an2…
丸0—
日nn
我们引入以下定义.
定义1.2设A是数域P上一n
级矩阵,九是-
一个文字.
人一a〔1
-a12…
—a1n
|hE-A=
_a21
\-a22…
—a2n
9
9
3
5
一an1
_an2…
丸_ann
=0・
称为A的特征多项式,这是数域P上的一个次多项式.
矩阵^-A的行列式
上面的分析说明,如果o是线性变换的特征值,那么o一定是矩阵A的特征多
项式的一个根;反过来,如果o是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根,即打E-A=0,那么齐次线性方程组(1.1)式就有非零解.这时,如果(心,心,…,心)是
方程组(1.1)式的一个非零解,那么非零解向量
=x011x022x0nn.
满足(1.1)式,即’0是线性变换/-二的一个特征值,就是属于特征值'0的一个特征向
量.
因此,确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步:
1、在线性空间V中取一组基1,,n,写出I二在这组基下的矩阵A;
2、求出A的特征多项式九E-A在数域P中全部的根,它们也就是线性变换/直的
全部特征值;
3、把所有得的特征值逐个代入方程组(1.1)式,对于每一个特征值,解方程组
(1.1)式,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基1,2,…,n下的坐标,这样,我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.
矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,而相应的线性方程组(1.1)式的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.
例1设线性变换/.-.在基1,;,3下的矩阵是
122
A=212
]221一
求/.-.的特征值与特征向量.
解因为特征多项式为
Z-1
-2
-2
-2
丸—1
-2
-2
-2
二一1
入E—A=
2
二’1川-5
所以特征值-1(二重)和5.
把特征值-1代入齐次方程组
'-1x -2x1亠[;■1X? -2X3=0 得到 、、-2X"|—2x? +(丸一1)2x3=0 -2x1-2x? -2X3=0 -2x1-2x2-2X3=0 _2x^_2x^_2x^-0 它的基础解系是 3 1 L-d 因此,属于-1的两个线性无关的特征向量就是 而属于一1的全部特征向量就是k! \k22,K,k2取遍数域P中不全为零的全部数对 再用特征值5代入,得到 4%_2x2_2x3二0 *-2x1+4x2-2x3=0 一2捲一2x2+4x3=0 它的基础解系是 因此,属于5的一个线性无关的特征向量就是 而属于5的全部特征向量就是k3,k是数域P中任意不等于零的数.例2在空间Plx〕n中,线性变换 2n/ 在基「呛「’商下的矩阵是 _010…01 001…0 1333 aaaa D=・・・・ 000…1 000…0一 D的特征多项式是 0 -1 0 0 的特征向量组只能是任一非零常数•这表明微商为零的多项式只能是零或非零常 数.(见参考文献[1]) 2矩阵特征值与特征向量的几个应用 2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 已知矩阵的特征值与特征向量确定3阶对称矩阵的公式. 设3阶对称矩阵A的特征值为,「「2='3,且i对应的特征向量为p,则 本文给出推广到n阶对称矩阵的一类计算公式. 2.1.1命题的证明 命题1设n阶对称矩阵A的特征值为「宀,…,'k其中k乞n「工打i,j=1,2/,k, ■i对应的特征向量为Pi,i=1,2,…,k-1.则可取 2'i-’kT ATPiPi'kEn, 7PiPi 且为A的n-k1重特征值. 证明不妨设 二1入-打Tr匸九j-XkT BTPiPi,kEn,CTPiPi, i^PiPiyPiPi T扎i一扎k Pi=ai1,ai2,,ain,miTi-1,2,,k-1• PiPi 因为》,P2,…,Pk4两两正交, _扎t BPj“'PiPiTPj「kEnPj=('j-’k)Pj「kPj*jPj i^PiPi 所以■j为B的特征向量,Pj为B的对应于'j的特征向量,且j=1,2,…,k-1. 因为 k二,,丁「k」k」k_J\ C+kPiPiT='miaiiPi,'miai2Pi,mi%口 i4PiPiJ=1i=1i4 即矩阵C的列向量组可由向量组P1,p2,…,PkA线性表示,故矩阵C的秩 R(C)兰k-ivn,|C|= B-》kEn =0 所以打为B的特征值. kA 又可证打为B的n-k+1重特征值,设送majPi=aj(j=1,2,…,n),即 iz4 印=gaiiPim2a2iP2mk」ak」iPk」, a2=miai2Pi口2玄22卩2mk」ak/2Pk」, an=gamPim2a2nP2m^ak」nPk』・ - "mi - aii ai2… ain a2,…,an)=(Pi,P2,…,Pk4) m2 a2i a22 a2n + a i I mk亠 - ak」i ak」2 ak」n 因为m芒0(i=i,2,…,k—i),秩R(Pi,P2,…,Pk」)=k-1,故R(ai,a2,…a)=k_i. 不妨设c,a2,…,ak是向量组ai,a2/,an的极大线性无关组,则有 aj二bjiaibj2a2bj,k」ak」j=k,k,n. 若Enmee,…,en,则有 k4k4kJ B—丸En=(》mQiPi+(入k—k)e,£mia2Pi+(九k—九)62,・・•,区口匚為P+(如—^)en) iii=ii=i (\-)ei,a2(\-)色,・・・,可(k一)en) 做第三种初等变换将第j列a」叫iej化为 —bji(兀一几)e—bj2(人一九&-—bj,k二(人一九)ekj+(兀一几冏 =k」;汕怡-bj2q"-bj,k 令 aik-'e「ii=i,2,,k-i —bjQ—bj2d—…—乞心鮎+勺》j,(j=k,k+i,…,n) B-扎En=ai*(》k一^ei,a2*('-k—丸宅2,,an+(盒k一丸咼| =(九k—人严]Pl,L…,卩…人丸屮,…Jn 而行列式I优,爲,…,久丄%,丫心,…,Yn是九的最高次幕为k—1的多项式.釦,丸2,…Ak_1为B 的特征值, B-ZEn n_k卅k, =(打—扎jn i二 综上可知命题成立.(参考文献[2][4]) 2.1.2命题的应用 例3设3阶对称矩阵的特征值■1=1,--1,几3二0,对应于的■1,■2的特征向量 依次为P1=(1,2,2y,P2=(2,1,-2T,求矩阵A. 解由公式 T 5二1,1,1求矩阵A. 解由公式 A=」^P1PT2E3二 P1P1 给我们带来极大的方便. 综上,运用该命题根据已知条件,可简捷快速地求出矩阵 2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用 用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论.(见参考文献[14][15]) 2.2.1命题的证明 n-k1,k2, 命题2设k阶线性循环数列{xn}满足递推关系 Xn二aXnjazXnm宀」SkXn^, Xn/ 1 0… 0 0 anA= Xn」 a A= 0 a 1・・4 0 - 0 a - Xn土一 i 0 0… 1 0一 a2 ak ak」 其线性方程组为 xn_k1=xn_k1. 可表为矩阵形式 则(2.1)式可写成 由(2.2)式递推得 an_k +—Aan_kJ— 八n—k —Aa1, 其中a=(兀,兀」,… T, 也就是求An」. X2,X1 于足求通项Xn, 就归结为求Xz出, 如果A可对角化,即存在可逆矩阵 P,使得 P」AP=B,贝UAn» =PBf,由于 丸一a1 _a2… —az-ak -1 k… 00 kE-A — 0 a -1… a 00 aa 0 0… —1丸 从第一列开始每一列乘以入加到后一列上 可得 n,2 -a〔,-a? “k_1“2 ■■a1■-… k_k_| -ak1'-a〔. -1 0 …0 0 0 3 -1 - …0 0 - 0 0 「1 0 =(-1)k(k -a1■kJ -ak) 若■是A的一重特征值,显然有R-A二k-1,则线性齐次方程,E-AA=0的基础解系中只含有一个解向量•因此当A有个特征值-! '2^','k时,这k个特征值对应的特征向量分别R,F2L,Pk,以这个k特征向量为列构成的方阵记为P,则P是可逆的,并且PaAP二B,其中 「鮎0…0 0九2…0 B=: : : . 「00…— 2.2.2命题的应用 例6计算n阶行列式 2 —1 -2 0 0… 0 0 1 2 —1 -2 0… 0 0 0 1 2 -1 _2… 0 0 D= a a a a a 0 0 0 0 0… 2 -1 0 0 0 0 0… 2 2 解将Dn按第一行展开得, Dn=2Dn4-2皿! 3, 其中M^与M^分别是元素: '! 2与: '13的余子式,再将它们分别按第一列展开得 Dn=2DnjDn/-2。 *' 则是阶线性循环数列.将方程组 Dn=2DnA'。 心-2。 *」 {Dn」=DnJL Dn2~Dn_2 表示成矩阵形式为: 「Dj一2L-2]「DJ|DnA=\L00|Dn_2 ]Dn/j卫LOjLDn,j 令 2L-2 A=L00, 0L0_ 由上式递推得: 由扎E-A=0,解的特征值为 O的特征向量分 再由特征方程卩£-AX=0(i=L,2,3),解得A对应的特征值打,入 别为 口「L]-41 P.= L ,P2= -L ,P3= 2, - L_ L一 1i L一 LL4 P=[RP2F3]=L-L2 LLL一 - '-3 3 6〕 _L P— L -3 2 A=P 0 6' 2 0 —2一 ■0 00 -L0P, 02 ~100丁‘_10 =P0-10P」=P0(_1严 00200 心.2n 心,2nJ n-3n_2 -3+(-1) 3+(-1j-3+(-1厂+2 3一3一1心 3一3一1心 3-3-1心 01 0P」 2心 62一1心_2n 6+2(—1尸—2n」 6+2(_1厂_2心 由(2.3)式可得: DnJ[-3_122nD33_3_12D262_12—2nD’ 6 将D^2,D2=5,D3=10代入上式得: -6八占2 2.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 设A为阶n方阵,如数,与n维非零列向量x使关系式Ax二,x成立,则称数■为方阵A的特征值,x称为A的对应于九的特征向量;f(兀)=»,E-A称为特征多项式,f(九)=|AE-A=0称为特征方程.(见参考文献[3][10]) 2.3.1特征值与特征向量的基本性质 性质1设A为n阶方阵,\,・2,…―为A的n个特征值,则A=「匕…• 性质2方阵A可逆二A的n个特征值都不为零. 性质3设•为方阵A的特征值,A为A的多项式,则「,为,A的特征值. 性质4入不为方阵A的特征值二|A-扎E式0. 性质5(凯莱一哈密顿定理)设n阶方阵A的特征多项式为f■二■E-A,则 fA=An印斗‘an^A=0. 性质6设n阶方阵A的n个特征值为'2,…,’n,且p1,p2/,pn为对应的n个线性 无关的特征向量,记P=»P2,…,几,则 性质7设A为n阶实对称阵,是它的n个特征值,则 (1)当且仅当…,’n都大于零时,A正定; ⑵当且仅当'1,'2,…,’n都小于零时,A负定; (3)当且仅当’1,'2,…,’n都非负,但至少一个等于零时,A是半正定; (4)当且仅当>厂2,…,冷都非正,但至少一个等于零时,A是半负定; (5)当且仅当’1,'2,…,'n中既有正数,有又负数时,A是不定的. 2.3.2性质的应用 (1)求方阵A的行列式A以及A的多项式门A的行列式门A. 例7已知三阶矩阵A的特征值为1,-1,2,设GA二A3-5A2,求: ①A; ②怦(A|;③A-5E|. 解①由性质1可得 A=1-12=-2. ②因门A[=A3-5A2,由性质3可知门A的特征值为 尬〔1产—4,尬「1二-6,门2产-1. 故 : : 」A—: 」1浄〔1门2=-24. ③A的特征多项式为 f(九)=|^E_A=(九一1X扎+1X九_2) 令'=5,得 f5[=5E-Ah[5-1515-2产72, 3 A-5E=(-1)5E-A=-72. (2)判断方阵A及A—KE的可逆性. _3 1 01 A = -4 -1 0 J L-4 8 -2_ 问当k为何值时,A—kE可逆. 解因 九-3 -1 0 f(丸戶 丸E—A — 4 十1 0 4 —8人+2 故 打=—2 5 =入3 =1 为A的三个特征值,由性质4可知, 当k式1,—2时, (3)求方阵A,A的逆阵AJ 及A的k次幕 例9设 ■1 0 21 A= 0 —1 1 0 1 0一 例8设 A-kE可逆. 求①A3;②A」;③A. 2 =■■2]八•1, 由性质5有 fA二A3-2AE=0, 104 3 A=2A-E=0—32 '02-1j ②由f0[=1,可知0不是A的特征值,由性质2知A可逆.而 A3=2A—E二A*=2AA'—EAJ: A2=2E—A~1: A,=2E—A2,故 1-2-2 1 A=001. 011一 ③A3=2A-E=A乞A.-ALA■2\2E-A=-A2A-4E2故 ■1-261 5 A=0七5. 05_3一 (4)求方阵A的多项式」A. 例10设 102 A=0—11, 010一 计算」A=2A8-3A5A4A2-4E. 解由于f(几)=“E—A=人3—2九+1,而 2丸8_3丸5+丸4+九2_4=f@片(扎)+(24丸2—37九+10), 显然 2A8-3A5A4A2-4二fAqA24A2-37A10E. 由性质5可知fA=0,所以 - -3 48 -26] ®(A)=24A2-37A+10E = 0 95 -61 . 0 -61 34一 (5)判断实对称阵的正定性. 例11设n阶实对称阵A正定, 则存在矩阵 B,使B2=A,且B也是正定矩阵 证明因A为实对称阵,故存在正交矩阵P,使 ■n 则有 即B与对角阵上2相似,相似矩阵的特征值相同,故'匚,…「二为B的n个特征值,因 0i=1,2/,n,由性质7知B正定. 3小结 本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解 题计算中的应用,充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便• 致谢本文是在的指导和帮助下完成,在此向汪老师表示衷心的感谢 参考文献 [1]大学数学系几何与代数教研室前代数小组•高等代数(第三版)[M]•北京: 高等教育出版社, 2003. 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