一元二次方程韦达定理根与系数的关系练习+答案.docx
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一元二次方程韦达定理根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题
一、填空题
1、关于x的方程2x2-3x,m=0,当时,方程有两个正数根;
当m时,方程有一个正根,一个负根;
当m时,方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根为x-i、x2,则x 3、如果Xi,X2是方程x2-5x■6=0的两个根,那么Xi・X2=. 4、已知xi,X2是方程x2+6x+3=0的两实数根,则竺+殂的值为. x1x2 5、设x-i、x2是方程2x2,4x-3=0的两个根,贝U(x-i1)(x21)=. &若方程2x2-4x-3=0的两根为: •、一: ,则a2-2ap,/=. 1 7、已知x1>x2是关于x的方程(a-1)x2xa20的两个实数根,且为+x2=一,则 3 %X2. 8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2,且为•x2--2, 贝Um=,占■x2MX? 二。 9、若方程2x2-5x•k=0的两根之比是2: 3,则k二. 10、如果关于x的方程x26x^0的两根差为2,那么k二。 11、已知方程2x2,mx-4=0两根的绝对值相等,则m=。 12、已知方程x2-mx■2=0的两根互为相反数,则m=。 13、已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2「(a,1)xT=0两根互为倒数,则 a二。 14、已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x•m2=0。 若方程的两根互为倒数,贝U m二;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m二。 15、一元二次方程px2qx0(p=0)的两根为0和一1,贝Up: q=。 16、已知方程3x2x-^0,要使方程两根的平方和为,那么常数项应改 9 为。 17、已知方程x2・4x-2m=0的一个根〉比另一个根一: 小4,则: •二;-= m=。 18、已知关于x的方程x2-3xk=0的两根立方和为0,则k- 19、已知关于x的方程x2-3mx2(m-1)=0的两根为捲、x2,且丄•丄=,贝U x-ix24 m=。 20、若方程x2「4x•m=0与x2「x「2m=0有一个根相同,则m二。 21、一元二次方程2x2「3x•1=0的两根与x2「3x•2=0的两根之间的关系 是。 22、请写出一个二次项系数为1,两实根之和为3的一元二次方 程: . 23、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 24、若〉、1为实数且「-3|(一: 上)2=0,则以: •、一: 为根的一元二次方程 为。 (其中二次项系数为1) 25、求作一个方程,使它的两根分别是方程x2・3x-2=0两根的二倍,则所求的方程为。 二、解答题 1、已知m,n是一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,求2m23n2•2m的值2、设为、X2是方程2x2-4x•1=0的两个根,求|捲-X2|的值 3、已知x1、x2是方程x2-2x•a=0的两个实数根,且x12x^.2. (1)求x1、x2及a的值; (2)求x^-3x,22x1x2的值. 4、已知x1、x2是一元二次方程x2亠mx•n=0的两个实数根,且x2x|(x1x2)2=3, 22 —2•—^=5,求m和n的值。 x-ix2 5、已知a2=1—a,b2=1_b,且a=b,求(a—1)(b_1)的值。 6设: 3a2—6a-11=0,3b2-6b-11=0且a=b,求a-b的值。 7、已知: : 是关于x的二次方程: (m-2)x2•2(m-4)x•m-4=: 0的两个不等实根。 (1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值; (2)若: .2「2=6时,求m的 值。 8、已知关于x的二次方程x2・mx-1=0的一个根是.2-1,求另一个根及m的值. 9、已知方程5x2mx-1^0的一根是一5,求方程的另一根及m的值。 10、已知2■3是x2—4x,k=0的一根,求另一根和k的值。 11、⑴方程x2-3x•m=0的一个根是、2,则另一个根是。 (2)若关于y的方程y2-my•n=0的两个根中只有一个根为0,那么m、n应满足。 12、如果x=1是方程2x2-3mx^0的一个根,贝Um二,另一个根 为。 13、已知关于x的方程2x2・5x二m的一个根是一2,求它的另一个根及m的值。 14、已知关于x的方程3x2-1=tx的一个根是一2,求它的另一个根及t的值。 15、在解方程x2px0时,小张看错了p,解得方程的根为1与—3; 小王看错了q,解得方程的根为4与-2。 这个方程的根应该是什么? 16、已知一元二次方程8y2-(m1)ym-5=0。 (1)m为何值时,方程的一个根为零? (2)m为何值时,方程的两个根互为相反数? (3)证明: 不存在实数m,使方程的两个相互为倒数。 17、方程x2•3x•m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足: (1)一个根比另一个根大2; (2)—个根是另一个根的3倍; (3)两根差的平方是17。 18、已知一元二次方程8x2_(2m・1)x•m-7=0,根据下列条件,分别求出m的值: (1)两根互为倒数; (2)两根互为相反数; (3)有一根为零; ⑷有一根为1; 20、已知关于x的一元二次方程x2mx1^0的两根之差为11,求m的值。 21、已知关于x的二次方程x2-2(a-2)x・a2-5=0有实数根, 且两根之积等于两根之和的2倍,求a的值。 22、已知方程x2bx0有两个不相等的正实根, 两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、c的值。 23、已知关于x的方程2x2-(m-1)x•m•1=0的两根满足关系式捲-x2=1,求m的值及两个根。 24、已知关于x的方程x2-(k1)xk2=0的两个实数根的平方和等于6,求k的值. 25、〉、1是关于x的一元二次方程(m-1)x2-xT=0的两个实数根,且满足(-: ")(: •1)=m•1,求实数m的值. 26、〉、: 是关于x的方程4x2「4mx•m2•4m=0的两个实根, 并且满足(〉-1)(1-1)-1—,求m的值。 100 27、已知: : 是关于x的方程x2(m-2)x•1=0的两根,求(1•m隈亠*2)(1m^|: 2)的值。 28、已知关于x的方程x2-2(m-2)x,m2=0,问: 是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和 等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 29、关于x的一元二次方程3x2-(4m2-1)xm(m•2)=0的 两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值 30、已知关于x的一兀二次方程ax2•bx•c=0(a=0)的两根之比为2: 1,求证: 2b2=9aco 31、已知方程x2mx・4=0和x2_(m-2)x-16=0有一个相同的根,求m的值及这个相同的根。 32、已知关于x的一元二次方程ax2bx^0的两根为-: : 、: ,且两个关于x的方程 x2(二>1)x: 2二。 与x2 (1)x匕2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式。 33、已知x-i、x2是关于x的方程x2px0的两根x-i1>x21是关于x的方程 x2qxp=0的两根,求常数p、q的值。 34、已知方程x2mx1^0的两实根是x-i和x2,方程x^mxn=0的两实根是x17和 x27, 求m和n的值。 7t2-4t-2=0,S、t为实数,且St=1.求下列各式的值: 36、已知x-i、x2是关于x的方程x2m2xn=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程 y25my7=0的两个实数根,且为-y1=2,x2-y2=2,求m、n的值。 37、关于x的方程m2x2(2m3)x^0有两个乘积为1的实根, x22(a■m)x•2a-m2•6m-4=0有大于0且小于2的根,求a的整数值。 38、已知关于x的方程mx2-nx■2=0两根相等,方程x2-4mx■3n=0的一个根是另一个根 的3倍o 求证: 方程x2-(k,n)x•(k-m)=0—定有实数根。 39、已知关于x的一兀二次方程x2(4m'1)x2m-1=0. (1)求证: 不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; 111 ⑵若方程两根为捲、X2,且满足一^—二-—,求m的值. x1x22 1 40、关于x的方程x2_2mx•-n2=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边 4 长。 (1)求证: 这个方程有两个不相等的实根; (2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长。 41、已知关于y的方程y2-2ay-2a-4=0。 (1)证明: 不论a取何值,这个方程总有两个不相等的实数根; ⑵a为何值时,方程的两根之差的平方等于16? 42、已知方程2x2-5mx•3n=0的两根之比为2: 3,方程x2-2nx•8m=0的两根相等 (mn=0)。 求证: 对任意实数k,方程mx2(n•k-1)x•k•1=0恒有实数根。 43、如果关于x的实系数一元二次方程x22(m3)xm20有两个实数根二、: , 那么(: _1)2(1_1)2的最小值是多少? 44、已知方程x2ax0的两根为x-i、x2,且4为•x2=0,又知根的判别式厶-25,求 a、b的值。 45、求一个一元二次方程,使它的两个根是2•6和2.6。 46、已知方程x2,5x-7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已 知方程的两个根的负倒数。 2b2a ab 47、已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a、b,利用根与系数的关系,求一个一元 次方程,使它的两个根分别是: (1)a1>b1⑵ 48、已知两数之和为一7,两数之积为12,求这两个数。 49、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。 50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为—cm2,求这个直角三角形斜边的 2 长。 51、已知关于x的方程x2-(2a-1)x,4(a-1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条 直角边的长,求这个直角三角形的面积。 52、试确定使x2(a-b)x•a=0的根同时为整数的整数a的值 53、已知一元二次方程(2k—3)x2•4kx・2k—5=0,且4k•1是腰长为7的等腰三角形的底边长, 求: 当k取何整数时,方程有两个整数根。 54、已知关于x的一元二次方程x22xp2=0有两个实根为和x2(为=x2),在数轴上,表示X2的点在表示人的点的右边,且相距p1,求p的值。 答案 一、填空题 9 1、0: : m;: : ;二 8 2、6 3、10 4、10 5、-1 &-2;-8 7、3 8、8 9、0 10、0 11、2(-、2舍去) 12、-1(1舍去);-1-.3(-1.3舍去) 13、1 14、-2 15、-4;0;0 16、3 17、3或0 18、互为倒数 二、解答题 1、m2=2m5、n2=2n5 原式=2m23n22m=6m6n25=37 2、|片_x21=(x「x2)2_4xjX2=2 (2)x2=2x11;•••原式=x1x2-^1 化简得m2-m-6=0,解得m^i=3,m2=-2 (>二~60: : 0) 乂+x? =-3527 17、丿1 (1)m=; (2)m=;(3)m=-2 %x2=m416 18、 (1)方程的两根互为倒数,即a=c,此时m=15,a=4(m-;)2•176•0 1 (2)方程的两根互为相反数,即b=0,此时m=-1; 2 (3)方程的一个根为0,即c=0,此时m=7; (4)方程的一个根为1,此时8-2m-1•m-7=0;解得m=0; 19、 20、 捲x2=—m|xi=12 x1x2=12,解之x2=1 为-x2=11m=-13 (舍) r>0— 22、不相等的两正根,贝U<-b>0,由题意解得丿 c=10 ^>0J 24、 2 X1 x;二(x1x2)2-2玄2=(k1)2-2(k2)=6,化简得k2-9=0,所以k=-3或k=3 (舍) 11 一-m,解得m--1或m=2(舍) m-1m-1 26、 933 -卄而「解得m「5或m^(舍) 27、x2■mx1=2x,则有: 2m-八1=2: 、: 2■m: 1=2: 原式=2^2-=41=4 m=10 (舍) 29、 Xi X2=丄丄二一x2即XX2)(1_-^―)=0 X2 X-|X2 X1x2 当x1x2=0时, 11 4m2—1=0,解得m或m=—(舍); 2- 1一丄=0,X1x^m(m2) X1X23 二1,解得m--3或m=1(舍); 综上所述,m=-丄或m--3 2 30、 不妨设刘=2X2,则有 b x1x23x2 a co2 x1x22x2 a 兰得—=9,即2b2=9ac (2)ac2 方法一: ①-②得: (2m-2)x20=0,即mx=x-10 代入①中得: x2•x-6=0,解得x^i--3、x2 134 当x—3时,m=^,方程①的解为一3-4; 33 当x=2时,m=-4,方程①的解为2、2;方程②的解为2、-8,符合题意; 13 综上所述,当m=^时相同根为-3;当m=-4时相同根为2; 3 16 方程②的解为-3、史,符合题意; 3 方法二: 10 ①-②得: (2m-2)x,20=0,即x二亠③ 1-m 2 代入①中得: 盘燈J'化简为3mf一52=0,解得 m二邑或m「4 3 32、 13 当m时由③,相同根为-3;当m--4时相同根为2; 3 ①-②得: (: -Jx-(: 2-一: 2)=0,由题意得二」,所以x皿 代入①中化简得: 2(口+B)2—詡+(口)=0,即2--1--+f--^0, 1a丿a1a丿 ③ 2b2二acab 33、p=-1,q二—3 34、m二7,n二54 241 35、7t—4t—2=0,两边同除—t2得2f+-7=0,所以s、是同一方程2x2+4x—7=0的两 t2tt 根。 (1) (2) SLJ=sh_2; tt 3st—2s一33s7 3s23(-2)-2()=1 tt2 36、因为为-y1=2、X2-y2=2,两式相加得: (冷•x? )•y? )=4 即(-m2)-(-5m)二4,整理得m2-5m*4=0,解得m=4或m=1(舍) 一1 37>v方程①有两个乘积为1的实根,二虫2=二=1,解得m=1或m—1(舍)m 当m=1时,方程②化为x22(a1)x2a0 即(x1)[x(2a1)]=0 解得x^-(2a1),X2=-1(不符合题意,舍去) 21 所以0: : : -(2a,1): : : 2,解得--: : -1;又: a是整数,二a=-1 32 38、方程①有两根相等,二厶二n2-8m=0、且m=0 综上,m=2、n=4;此时原方程化为x2-(k■4)xk「2=0 =(k4)^4仆-2)=(k2)2200,所以该方程一定有实数根。 39、 (1)人-(4m1)2-4(2m-1)=16m250,所以该方程总有两个不相等的实数根; x1x2-(4m1)1 ==—— x-|X22m-12 S.=n 41、 解得n=6,m=5,所以二角形周长C•...=2m■n=16 (1)厶=(_2a)2一4(_2a—4)=4(a⑴2,120,所以该方程总有两个不相等的实数根; (2)(刘-X2)2=(刘X2)2-4x1X2=(2a)2-4(_2a-4)=16,解得a=0,或a=-2 综上,m=2、n=4;此时原方程化为2x2(3k)xk*1=0 F: -(3k)2-42(k•1)=(k-1)2_0,所以该方程一定有实数根。 原式二(: 「)2-2: 上-2(: 「)2=4(m3)2-2(m23)-2(m3)2=2(m7)2-54 当m=「1时,原式最小,为2X36-54=18 又因为盘二a2-4b=25,即a2=4b25 —=—— 7 唯一) 47、 (1)x—fx1=0(答案不唯一); (2)x27x^0(答案不唯一) 2 48、x7x12=0>捲--3,x2--4 49、x2—6x4=0>X! =3一5,x2=3 51、x;x;二(x「x2)2-2%x2二(2a-1)2-8(a「1)=25,化简得a2-3a-4=0,a--1或a=4当a=-1时,原方程为x2•3x-8=0;XjX2二-8(舍); 1 当a=4时,原方程为x2-7x•12=0;X1X2=12;所以S二丄=6 °2 52、略 15 53、 因为总』6k2-4(2k-3)(2k-5)=64k-60_0,解得k_15; 16 113 又因为等腰三角形7-7: : 4k1: : 77,解得-1: : : k: : : —; 44 1513 所以亦戢盲,当k取整数时,“1、2、3; 当k=1时,原方程为x2-4x*3=0,符合题意; 当k=2时,原方程为x2•8x-1=0,不符合题意(舍); 当k=3时,原方程为3x212x^0,不符合题意(舍); 综上所述,k=1 x1Jrx2=-2 54、由题意可知丿2,又因为(X2—X1)2=(p+1)2=(洛+X2)2—4X1X2=(-2)2—4p2 少2=p 化简得5p22p-^0,p=-1或p=3 5 当P时,原方程为x22x^0;A=0(舍); 当p=~时,原方程为x22^—=0;^-0; 525 3 综上所述,p二- 5
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