一元二次方程根与系数的关系.docx
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一元二次方程根与系数的关系
12.4一元二次方程的根与系数的关系
中考考点
1.理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)。
2.会运用根与系数的关系,由已知的一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知系数
3.会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解
1.
贝(JX1+X2=-,X1'X2=o
若一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的两根为xi,x2,
2.以x】,x2为根的一元二次方程是(x・x】)(X-X2)=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程ax2+bx+c=0(aHO)。
XbX2
3.对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为xi,X2时,那么xi+X2=-p,xi・X2=q。
反之,以X1,X2为根的一元二次方程是:
(X-X1)(X-X2)=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程:
x2+px+q=00
4.一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面:
(1)已知一元二次方程的一个根,求另一个根,可用两根和或两根积的关系求另一个
根。
(2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式,一个关系式求得另一个根,再用另一个关系式求得字母系数的值。
(3)已知一元二次方程,不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如,方程2x2・3x+l=0的两根为XbX2,不解方程,求X12+X22的值。
[VX1+X2=,
(4)
(5)
(6)
(7)
X1・X2=,・•・Xi2+X22=(X1+X2)2-2xiX2=()2-2X=]验根、求根、确定根的符号。
己知两根,求作一元二次方程(注意最后结果要化为整系数方程)0己知两数和与积,求这两个数。
解特殊的方程或方程组。
考点:
一元二次方程的根与系数关系。
XbX2,
评析:
由一元二次方程ax+bx+c=O(aHO)的两根xi,x2,满足Xi+X2=,xiX2=可直接计
算,答案为B。
2.(杭州市)若是方程的两个根,则的值为()
答案:
A考点:
一元二次方程根与系数的关系
评析思路:
由韦达定理知,,先求出X】+X2,X】・X2的值,然后将代数式(X1+1)(X2+1)展开,最后将X1+X2,X1-X2的值代入即可0
(B)
答案:
B考点:
一元二次方程根与系数的关系
评析思路:
因给出了二根,所以好求二根和二根积,再根据xx+X2=-pxx-X2=q,即可确定正
确答案为B。
考点:
一元二次方程根与系数的关系
评析思路:
由根与系数的关系可知a+b=-2,a-b=-5。
而所求式中有护+2a部分,因a是方
程的根,所以有a2+2a-5=0,即3^+2a=5,再加a・b,原式值为0。
答案:
0
5.(河南省)关于X的方程,是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于
4?
若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,说明理由。
答案:
解:
设方程的两个实数根是X】、X2•由根与系数关系,得X】+X2=5k+1,XxX2=k2.2.
=4.
又丁
=4,
A4k2.5k-9=0.
解这个方程,得kx=-l,k2=(不合题意,舍去)当k-l时,原方程的判别式
222
△=b-4ac=[-(5k+l)]-4(k-2)
=(-4)2-4(1-2)=20>0.
所以存在满足条件的负数k,k=-l.
考点:
一元二次方程根的判别式的应用,根与系数的应用。
评析:
此题是存在型的试题,一般结论都是在存在成立的条件下,按照给出的条件进行讨论,因此题是关于两个实根的关系,所以在讨论时必注意△>0o
6.(福州市)以2,・3为两个根的一元二次方程是氏.X
22
C)x・x+6=0(D)x+x+6=0
答案:
考点:
元二次方程根与系数关系。
评析:
利用一元二次方程x2+px+q=0的根xi,X2与系数关系:
直接计算即得答案。
7.
(广州市)已知2是关于X的方程x2+3mx-10=0的一个根,则m=
考点:
一元二次方程的根与系数关系
评析:
根据方程解的概念,将未知数的值代入方程m,或利用根与系数的关系解方程组求出求出。
答案:
1
=4.
8.(贵阳市)若xi,X2是方程X-2x+m=0的两个根,且=2,则m=
考点:
一元二次方程根与系数关系
评析:
由一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的两根x】、X2与系数的关系
答案:
1
a、b
9.(河北省)在RtAABC中,乙0900,玄、b、c分别是乙A、ZB、乙C的对边,是关
于X的方程的两根,那么AB边上的中线长是(
10.(北京市海淀区)己知:
关于X的方程①的两个实数根的倒数和等于
3,
考点:
直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系
关于X的方程②有实数根且k为正整数,求代数式的值。
考点:
根的判别式,根与系数的关系。
评析:
先根据根与系数的关系求得a值,再将a代入到第二个方程。
因第二个方程只证有实根,所以k可以等于1,然后再根据△的范围再确定k值,分别代入所求代数式就可以了。
答案:
0
说明学生往往忽略41的这种情况:
认为一元二次方程有实根,必是两个,这是不全面的,也有的不考虑△的范围。
11.(河北省)若XI、X2是一元二次方程3x2+x-l=0的两个根,则+的值是()
(A)-1(B)0(C)1(D)2
考点:
一元二次方程根与系数的关系
评析:
根据一元二次方程根与系数的关系,先求貼X2,x】・X2的值,然后将求的代数式
评析:
(1)己知一元二次方程的两根,首先想到不解方程,而是利用根与系数的关系达到目的,又根据Rt△三边的关系AB2+AC2二BC2可知,通过AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB-AC可实现。
答案:
1<=2或1<=・5注:
如果利用根与系数关系不能求解,再利用解方程求根的方法。
也就可求
(2)首先利用判断式判断AB与AC是否相等,再考虑其它情况,即AB=BC或AC=BC,当AB=BC或AC=BC时,BO5是一元二次方程的一个根,故可求k的值,另一个根,三角形的周长可求。
答案:
14或16・注:
在求周长时,应判断是否能构成三角形。
一元二次
13.(安徽)己知方程x2+(1-)X-=0的两根为XI、X2,求X+X的值。
考点:
方程根与系数的关系
代入即可。
形式,再将X1+X2=-1,X1・X2=-
解:
由根与系数关系,
X1X2=-
AX+X=(x1+X2)-2x1X2
=(-1)2+2
=3-2+2
=3.
说明:
如果先解出根XI、X2,再求出X+X的正确值可以
14.(北京市东城区)己知关于X的方程x;・〔k・l)x+k+l=0的两个实数根的平方和等于
4,
求实数k的值
考点:
一元二次方程根与系数的关系
X2,分别求出X1+X2,X1・X2的值,再根据两根的平方和是
4,求出k值,但必须保证方程有两个实根,所以还必须保证^20才能确定k的值,此题一些考生忽略
△>0的隐含条件的。
评析:
先设方程二根为
X1、
解:
设方程X2-(k-l)x+k+l=0的两个实数根是X1,X2,那么Xi+X2=k-1,Xi*X2=k+l.
由X+X=4,
2
得(X1+X2)-2x1X2=4.
2
即(k・l)2.2(k+l)=4k-4k-5=0解这个方程,得k=5或k=・l・
2
当k=5时,A=(5-l)M(5+l)<0,原方程无实数根,故x=5舍去.
2
当k=-l时,-4(-1+1)>0,
因此,k=-l为所求。
真题实战
1.(常州市)已知关于X的方程x+mx—6=0的一个根是2,则屛一个
答案:
-3;1
m=
2.(天门市)若方程
的两根是XI、
X2,则代数式
答案:
6
3.已知X】、X2是方程x2-x-l=0的两个根,贝Ij的值是()
答案:
B
答案:
C
答案:
D
答案:
值解:
-2x1=-5,
A7.(南昌市)己知方程2x2+kx-10=0的一个根是一2,求它的另一根及k的设方程的另一根为X】,那么
/5k
乂
Ak=-lo
答:
方程的另一根是,k的值是・18・(苏州市)己知关于X的方程x2+(m—2)x+m—3=0o
(1)求证:
无论m取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根;
(2)若这个方程的两个实数根xi,X2满足2xi+X2=m+l,求m的值。
⑴证明:
△十审-4(产-》
•••无论m取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根
(2)解2是这个方程的两个实数根
冲乃=—771-32
又2xi+X2=m+l,(3)
⑶•⑴,得xi=2m-l……(4)把⑷代入⑴,得
X2=3-3m(5)
把⑷、⑸
代入⑵.得r2m・11Q・
6m^-—rrL=02
9.(南通市)设X】、X2是关于X的方程x2-(;k+2)+2k+l=0的两个实数根,且
Xi2+X22=11.
(1)求k的值;
(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程,使它的一个根是原方程两个根的和,另一根是原方程两根差的平方。
解:
(1)由题意得xi+X2=k+2,xpX2=2k+l
又解得k=±3
22
原方程有实数解。
故k-3。
又VA=[-(k+2)]M(2k+l)=kMk,当k=3时,A=-3<0,原方程无实数解;当A-3时,A=21>0,
(2)当k=3时,
yi=xi+X2=-l,
原方程为x2+x・5=0O设所求方程为y2+py+q=0,两根为yi、护、则
2
y2=(x1-X2)=
-2x1X2=11+10=210
Ayi+y2=20>ypy2=-21
2
所求方程是y2-20y-21=0
10.(昆明)
已知一元二次方程x-2x-l=0的两根是XI、X2,则+的值是
答案:
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- 一元 二次方程 系数 关系