猜想二阶等差数列及其通项公式.docx
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猜想二阶等差数列及其通项公式
二阶等差数列及其通项公式
(1)
、
、
、
、
,…(第n个数)
(2)-1、
、
、
、
,…(第n个数)
(3)
、
、
、
,…(第n个数)
(4)1,2,4,7,11,16,22,…(第n个数)
(5)1,3,6,10,15,21,28,…(第n个数)
(6)1,3,7,13,21,31,43,…(第n个数)
通过观察分析,也能发现上面三个数列有其内在规律与特点,但若想轻易写出却有难处。
一、等差数列的定义及其通项公式:
1、等差数列的定义:
如果一个数列a1,a2,a3,…,an,…,
从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,则称此数列为等差数列,常数d叫等差数列的公差。
2、等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)d,
公差:
d=a2-a1.
二、二阶等差数列的定义及其通项公式:
定义:
如果一个数列
a1,a2,a3,…,an,…,(★)
从第二项起,每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…,an-an-1,…成为一个等差数列,则称数列(★)为二阶等差数列。
相应地,d=(a3-a2)-(a2-a1)=a3+a1-2a2
称为二阶等差数列的二阶公差。
依此定义可以判断,⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。
其二阶公差分别为1、1、2.
说明:
⑴、为区别于二阶等差数列,可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.
⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系:
二阶等差数列不一定是一阶等差数列,但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。
二阶等差数列的通项公式:
设数列a1,a2,a3,…,an,…是一个二阶等差数列,为了书写的方便,我们记数列
a2-a1,a3-a2,a4-a3,…,an-an-1,…为
b1,b2,b3,…,bn-1,…,(☆)
即记bn=an+1-an,(n≥1,n∈Z)
则数列(☆)是一个一阶等差数列。
对于数列(☆),d=b2-b1=a1+a3-2a2,
根据等差数列的通项公式,则有
bn=an+1-an=b1+(n-1)d,(n≥1,n∈Z)
由此得,an+1=an+b1+(n-1)d
依此规律,则有
a2=a1+b1,
a3=a2+b1+d,
a4=a3+b1+2d,
……
an=an-1+b1+(n-2)d,
由上面各式左右分别相加,可得
an=a1+(n-1)b1+
,(●)
此即为二阶等差数列的通项公式,
其中,b1=a2-a1,[注:
bn=an+1-an,(n≥1,n∈Z)]
对于数列⑷,知a1=1,b1=1,d=1,则由公式(●)可得,an=1+(n-1)×1+
=
,代入验证。
同理可求知⑸、⑹的通项公式:
⑸、an=
⑹、an=n2-n+1
由此通项公式,则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式:
⑺、2、2、5、11、20、32、47,…
⑻、2、3、8、17、30、47、68,…
中考数学中常会出现一种寻找规律的题型,其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列,由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项,因此在确定数列的通项时有一定的困难。
对于等差数列的通项公式
(其中a1为首项,d为公差,n为正整数),若将n看成自变量,an看成函数,则an是关于n的一次函数;若一列数a1,a2,…an满足
(其中k,b为常数),则这列数是二阶等差数列,即每一后项减去前项得到一新的数列,这一新数列是等差数列。
它的通项
是关于n的二次函数。
我们学习过用待定系数法确定函数解析式,由于数列是特殊的函数,因此可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
练习
1、2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会,2012年的奥运会在英国伦敦举行,奥运会的年份与届数如下表所示:
年份
1896
1900
1904
…
2012
届数
1
2
3
…
n
表中n的值等于.
2、如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是.
3、我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如1,3,9,19,33,…就是一个数列,如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列,它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,…,它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…,这是一个公差为4的等差数列,所以,数列1,3,9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么,请问二阶等差数列1,3,7,13,…的第五个数应是 .
4、问题情境:
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放,则第2012个图共有多少枚棋子?
建立模型:
有些规律问题可以借助函数思想来探讨,具体步骤:
第一步,确定变量;第二步:
在直角坐标系中画出函数图象;第三步:
根据函数图象猜想并求出函数关系式;第四步:
把另外的某一点代入验证,若成立,则用这个关系式去求解.
解决问题:
根据以上步骤,请你解答“问题情境”.
5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖,则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是.
6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,则第n个图中阴影部分小正方形的个数是.
7、观察下列一组图形:
它们是按一定规律排列的,依照此规律,第n个图形中共有个.
8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:
(1)第5个图形有多少黑色棋子?
(2)第几个图形有2013颗黑色棋子?
请说明理由.
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