幂函数及指数函数的区别.docx
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幂函数及指数函数的区别
幂函数与指数函数的区别
1.指数函数:
自变量x在指数的位置上,y=a^x〔a>0,a不等于1〕
性质比拟单一,当a>1时,函数是递增函数,且y>0;
当00.
2.幂函数:
自变量x在底数的位置上,y=x^a〔a不等于1〕.
a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质是不一样的。
高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。
其中当a=2时,函数是过原点的二次函数。
其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下根本图像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个具体数值,并不是函数,如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。
首先你可以将其看成:
指数函数y=8^x〔a=8〕,当x=-0.7时,y的值;或者将其看成:
幂函数y=x^(-0.7)〔a=-0.7〕,当x=8时,y的值。
幂函数的性质:
根据图象,幂函数性质归纳如下:
〔1〕所有的幂函数在〔0,+∞〕都有定义,并且图象都过点〔1,1〕;
〔2〕当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0 〔3〕当a<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出: 此时y=x0=1;定义域为〔-∞,0〕∪〔0,+∞〕,特别强调, 当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图像是从点〔0,1〕出发,平行于x轴的两条射线,但点〔0,1〕要除外。 思考讨论: 〔1〕在幂函数y=xa中,当a是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? 〔2〕在幂函数y=xa中,当a是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评: 〔1〕在幂函数y=xa中,当a是正偶数时,函数都是偶函数,在第一象限是增函数。 对数函数的性质 (1)当a>1时, ①x>0,即0和负数无对数; ②当x=1时,y=0; ③当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0; ④在〔0,+∞〕上是增函数. (2)当0<a<1时, ①x>0,即0和负数没有对数; ②当x=1时,y=0; ③当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0; ④在〔0,+∞〕上是减函数. 函数 叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数〔这里我们只讨论a是有理数n的情况〕. 对数与对数函数 学习目标 1、理解对数概念; 2、能进展对数式与指数式的互化; 3、掌握对数的运算性质; 4、培养应用意识、化归意识。 5、掌握对数函数的概念; 6、掌握对数函数的图像的性质; 7、掌握比拟对数大小的方法,培养应用意识; 8、培养图形结合、化归等思想。 知识要点: 我们在学习过程遇到2x=4的问题时,可凭经历得到x=2的解,而一旦出现2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算。 1.对数的定义: 如果ab=N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作: logaN=b。 其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 注意: 由于a>0,故N>0,即N为正数,可见零和负数没有对数。 上面的问题: 通常将以10为底的对数叫做常用对数, 。 以e为底的对数叫做自然对数, 。 2.对数式与指数式的关系 由定义可知: 对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化。 它们的关系可由以下图表示。 由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。 3.三个对数恒等式 由于对数式与指数式可以互化,因此指数的恒等转化为对数恒等式。 在〔a>0,a≠1〕前提下有: 4.三个运算法那么: 指数的运算法那么通过转化可变为对数的运算法那么。 在a>0,a≠1的前提下有: (1) 令am=M,an=N,那么有m=logaM,n=logaN, ∵ ,∴m+n=loga(MN),即 (2) , 令am=M,an=N,那么有m=logaM,n=logaN, ∵ ,∴ ,即 。 (3) ,令am=M,那么有m=logaM,∴mn=n ∵Mn=amn,∴mn= (n∈R),∴n = 。 5.两个换底公式 同底对数才能运算,底数不同时可考虑进展换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有: (1) 令logaM=b,那么有ab=M,(ab)n=Mn,即 ,即 ,即: 。 (2) ,令logaM=b,那么有ab=M,那么有 即 ,即 ,即 当然,细心一些的同学会发现 (1)可由 (2)推出,但在解决某些问题 (1)又有它的灵活性。 而且由 (2)还可以得到一个重要的结论: 例题选讲: 第一阶梯 [例1]将以下对数式化为指数式,指数式化为对数式: (1)log216=4; (3)54=625; 解: (1)24=16 (3)∵54=625,∴log5625=4. [例2]解以下各式中的x: (3)2x=3; (4)log3(x-1)=log9(x+5). 解: (3)x=log23. (4)将方程变形为 [例3]求以下函数的定义域: 思路分析: 求定义域即求使解析式有意义的x的围,真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。 解: (1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故定义域为{x|x<-1,或x>5} ∴0<4x-3≤1。 所以所求定义域为{x|-1<0,或0 第二阶梯 [例4]比拟以下各组数中两个值的大小 (1)log23.4,log28.5; (2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)。 思路分析: 题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值,可由对数函数的单调性确定。 解: (1)因为底数2>1,所以对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4 (2)因为底数为0.3,又0<0.3<1,所以对数函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7; (3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以loga5.1 当0 说明: 此题是利用对数函数的单调性比拟两对数的大小问题,对底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进展讨论来比拟两个对数的大小,利用函数单调性比拟对数的大小,是重要的根本方法。 [例5]假设a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,以下式子中正确的个数是〔〕 (1)logax·logay=loga(x+y); (2)logax-logay=loga(x-y); (4)logaxy=logax·logay; A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析: 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。 在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。 如logax≠loga·x,logax是不可分开的一个整体。 4个选项都把对数符号当作字母参与运算,因此都是错误的。 答案: A [例6]lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 。 思路分析: 解此题的关键是设法将 的常用对数分解为2,3的常用对数代入计算。 解: 第三阶梯 [例7]假设方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值围。 思路分析: 由对数的性质,方程可变形为关于lgx的一元二次方程,化归为一元二次方程解的讨论问题。 解: 原方程化为 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4。 2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0, 令t=lgx,那么原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0,(*) 假设原方程的所有解都大于1,那么方程〔*〕的所有解均大于0,那么 说明: 换元要确保新变量与所替换的量取值围的一致性。 [例8]将y=2x的图像〔〕 A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像,可得函数y=log2(x+1)的图像。 思路分析: 由于第二步的变换结果是的,故此题可逆向分析。 解法1: 在同一坐标系分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像,直接观察,即可得D。 解法2: 与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像,为了得到它,只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3: 本身。 函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0,0)点,因此排除A、B、C,即得D。 说明: 此题从多角度分析问题、解决问题,注意培养思维的灵活性。 [例9]log189=a,18b=5,求log3645的值;〔用含有a、b的式子表示〕 思路分析: 当指数的取值围扩展到有理数后,对数运算就是指数运算的逆运算〔扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算〕。 因此,当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般要把问题转化,即统一到一种表达形式上。 解: 由18b=5,得b=log185,又log189=a,∴log189+log185=log3645=a+b,那么 说明: 在解题过程中,根据问题的需要指数式转化为对数式,或者对数式转化为指数式运算,这正是数学转化思想的具体表达,转化思想是中学重要的教学思想,要注意学习、体会,逐步到达灵活应用。 详细题解 1.求值: (1) (2) (3) 解: (1) 。 (2) (3) 注意: lg2=log102,此为常用对数,lg22=(lg2)2,区别于 。 2.求值: (1) (2) (3) 解: (1) (2) 。 (3)法一: 法二: 注意: 运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可。 (3)的第二种方法直接运用的第一个换底公式,很方便。 3.: log23=a,log37=b,求: log4256=? 解: ∵ ,∴ , 4.: a2+b2=7ab,a>0,b>0。 求证: 。 证明: ∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab), ∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb,∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即 5.: 求证: 3ab-bc-2ac=0。 证明: 设 ,那么: , , ∵ ,∴3ab=bc+2ac, 即3ab-bc-2ac=0。 6.求值: 解: 另解: 设 =m(m>0),∴ , ∴ ,∴ , ∴lg2=lgm,∴2=m,即 。 课后练习: 1. 2. 3. 4.: x·log34=1,求: 的值。 5.: lg2=a,lg3=b,求: log512的值。 参考答案: 1.- 2.- 3. 4. 5. 对数函数的性质及应用 概念与规律: 1.对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数,在学习对数函数的概念,图象与性质时,要处处与指数函数相对照。 2.在同一坐标系,当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当0时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴。 〔见图1〕 例1.求以下函数的定义域。 (1)y= (2)y=ln(ax-k·2x) (a>0且a≠1,k∈R) 解: (1)因为 ,所以 , 所以函数的定义域为(1, ) ( ,2)。 (2)因为ax-k·2x>0,所以( )x>k。 10,当k≤0时,定义域为R; 20,当k>0时,(i)假设a>2,那么函数定义域为( k,+∞); (ii)假设0,且a≠1,那么函数定义域为(-∞, k); (iii)假设a=2,那么当0 。 例2.假设logm3.5>logn3.5(m,n>0,且m≠1,n≠1),试比拟m,n的大小。 解: (1)当m>1,n>1时,∵3.5>1,由对数函数性质: 当底数和真数都大于1时,对同一真数,底数大的对数值小,∴n>m>1。 (2)当m>1,0 (3)当0 综上所述,m,n的大小关系有三种: 1 例3.作出以下函数的图象: (1)y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx (2)y=lg|x| (3)y=-1+lgx 解: (1)如图2; (2)如图3; (3)如图4。 例4.函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],求y=f(log2x)的定义域。 提示: 由-1≤x≤1,可得y=f(x)的定义域为[ ,2],再由 ≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[ ,4]。 例5.求函数y= (-x2+2x+3)的值域和单调区间。 解: 设t=-x2+2x+3,那么t=-(x-1)2+4,∵y= t为减函数,且0 ∴y≥ =-2,即函数的值域为[-2,+∞)。 再由: 函数y= (-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1 ∴t=-x2+2x+3在(-1,1〕上递增而在[1,3)上递减,而y= t为减函数。 ∴函数y= (-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3)。 例6.f(x)=ax-a-x(其中0。 (1)求函数f(x)的反函数f-1(x); (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性,并证明你的结论。 解: (1)设y=ax-a-x,那么a2x-yax-1=0,∵ax>0,解得ax= ,∴x=loga , ∴所求函数的反函数f-1(x)=loga (x∈R)。 (2)∵x∈R且f-1(-x)=loga =loga =loga( )-1=-f-1(x)。 ∴函数f-1(x)是奇函数。 例7.f(logax)= (a>0且a≠1),试判断函数f(x)的单调性。 解: 设t=logax(x∈R+,t∈R)。 当a>1时,t=logax为增函数,假设t1 ∴f(t1)-f(t2)= , ∵0 ∴不管a>1或0,f(x)在R上总是增函数。 例8.函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。 (1)假设函数f(x)的定义域为R,数a的取值围; (2)假设函数f(x)的值域为R,数a的取值围。 分析: 与求函数定义域、值域的常规问题相比,此题属非常规问题,关键在于转化成常规问题。 f(x)的定义域为R,即关于x的不等式 ax2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题。 f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的,因为这里要求f(x)取遍一切实数,即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图5,我们会发现,使u能取遍一切正数的条件是 。 解: (1)f(x)的定义域为R,即: 关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R, 当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R; 当a≠0时,有 a>1。 ∴a的取值围为a>1。 (2)f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或 0≤a≤1, ∴a的取值围为0≤a≤1。 例9.函数h(x)=2x(x∈R),它的反函数记作g(x),A、B、C三点在函数g(x)的图象上,它们的横坐标分别为a,a+4,a+8(a>1),记ΔABC的面积为S。 (1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域; (3)判断函数S=f(a)的单调性,并予以证明;(4)假设S>2,求a的取值围。 解: (1)依题意有g(x)=log2x(x>0),并且A、B、C三点的坐标分别为A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)),C(a+8,log2(a+8))(a>1),如图6。 ∴A,C中点D的纵坐标为 〔log2a+log2(a+8)〕 ∴S= |BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。 (2)把S=f(a)变形得: S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2 =2log2(1+ )。 由于a>1时,a2+8a>9,∴1<1+ < ,又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, ∴0<2log2(1+ )<2log2 ,即0 。 (3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数,证明如下: 任取a1,a2,使1 (1+ )-(1+ )=16( )=16· , 由a1>1,a2>1,且a2>a1,∴a1+a2+8>0, +8a2>0, +8a1>0,a1-a2<0, ∴1<1+ <1+ ,再由函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,于是可得f(a1)>f(a2) ∴S=f(a)在(1,+∞)上是减函数。 (4)由S>2,即得 ,解之可得: 1 课外练习: 1.y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,那么a的取值围是______。 2.函数f(x)=loga (a>0且a≠1,b<0)。 (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并予以证明; (3)指出f(x)的单调区间;(4)求函数f(x)的反函数。 3.函数f(x)=lg(x+ )-lg2,证明: (1)f(x)的图象关于原点对称; (2)f(x)为单调函数。 4.关于x的方程log2(x+3)-log4x2=a的解在区间(3,4),数a的取值围。 参考答案: 1.(1,2) 2. (1)(-∞, ) (- ,+∞) (2)奇函数 (3)a>1时,f(x)在(-∞, ),(- ,+∞)上都是增函数, ),(- ,+∞)上都是减函数。 (4)f-1(x)= (x≠0,x∈R)。 3. (1)证明f(x)为奇函数; (2)证明f(x)为R上的增函数。 4.log2 专题辅导对数与对数函数 1.本单元重、难点分析 1〕重点: 对数的定义;对数的性质与运算法那么;在理解对数函数的定义的根底上,掌握对数函数的图象和性质。 2〕难点: 对数定义中涉及的名称较多,易混难记;对数的运算法那么的指导和应用;对数函数的图象与性质及其运用。 2.典型例题选讲 例1.log23=a,3b=7,求log1256的值。 讲解: 先将3b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式,即可求值。 [解法1]∵log23=a,∴2a=3。 又3b=7,∴7=(2a)b=2ab,故56=23+ab。 又12=3·4=2a·4=2a+2。 从而56= ,故log1256=log12 。 [解法2]∵log23=a,∴log32= ,又3b=7,∴log37=b,从而 log1256= 。 [解法3]∵log23= =a,∴lg3=alg2,又3b=7,∴lg7=blg3,∴lg7=ablg2。 从而log1256= 。 说明: 解法1借助指数变形来解;解法2与解法3是利用换底公式来解,显得较简明,应用对数换底公式解这类题的关键是适中选取新的底数,从而把对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可。 例2.loga3>logb3>0,那么a,b,1的大小关系是_______。 讲解: 由对数函数的性质可知,a>1,b>1,关键是判断a与b的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决。 [解法1]由loga3>logb3>0 >0 log3b>log3a>0 log3b>log3a>log31。 ∵y=log3x是增函数,故b>a>1。 [解法2]由loga3>logb3>0 >0。 ∵lg3>0,∴lga>0,lgb>0, ∴上式等价于 >0 lgb>lga>0 lgb>lga>lg1。 ∵y=lgx是增函数,故b>a>1。 [解法3]分别作出y=logax与y=logbx的图象,然后根据图象特征进展推断。 ∵loga3>logb3>0,∴a>1,b>1,故y=logax与y=logbx均为增函数。 又∵loga3>logb3>0,∴当x>1时,y=logax的图象应在y=logbx图象的上
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