1、幂函数及指数函数的区别幂函数与指数函数的区别1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=axa0，a不等于1 性质比拟单一，当a1时，函数是递增函数，且y0; 当0a0.2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=xaa不等于1. a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下根本图像的走向即可。3.y=8(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8xa=8，当x=-0.
2、7时，y的值；或者将其看成：幂函数y=x(-0.7)a=-0.7，当x=8时，y的值。幂函数的性质：根据图象,幂函数性质归纳如下：1所有的幂函数在0，+都有定义，并且图象都过点1,1；2当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+ )上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸；3当a0，且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意:由于a0，故N0，即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题:通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。2对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是
3、指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由以下图表示。由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在a0，a1前提下有:4. 三个运算法那么:指数的运算法那么通过转化可变为对数的运算法那么。在a0，a1的前提下有:(1) 令am=M，an=N，那么有m=logaM，n=logaN， m+n=loga(MN)，即(2) ，令am=M，an=N，那么有m=logaM，n=logaN，即。(3) ，令am=M，那么有 m=logaM，mn=n Mn=amn， mn= (nR)，
4、n = 。5两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进展换底，在a0，a1，M0的前提下有:(1) 令logaM=b，那么有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:。(2) ，令logaM=b，那么有ab=M，那么有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论:例题选讲:第一阶梯 例1将以下对数式化为指数式，指数式化为对数式：(1)log216=4； (3)54=625；解：(1)24=16(3)54=625，log5625=4.例2解以下各式中的x：(3)2x=3；(4)log3(x-1)=log9
5、(x+5).解：(3)x=log23.(4)将方程变形为例3求以下函数的定义域：思路分析：求定义域即求使解析式有意义的x的围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。解：(1)令x2-4x-50，得(x-5)(x+1)0，故定义域为x|x504x-31。所以所求定义域为x|-10，或0X2. 第二阶梯 例4比拟以下各组数中两个值的大小(1)log23.4， log28.5；(2)log0.31.8， log0.32.7；(3)loga5.1， loga5.9(a0，a1)。思路分析：题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由
6、对数函数的单调性确定。 解：(1)因为底数21，所以对数函数y=log2x在(0，+)上是增函数，于是log23.4LOG28.5；(2)因为底数为0.3，又00.3log0.32.7；(3)当a1时，函数y=logax在(0，+)上是增函数，所以loga5.1LOGa5.9；当0loga5.9。说明：此题是利用对数函数的单调性比拟两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进展讨论来比拟两个对数的大小，利用函数单调性比拟对数的大小，是重要的根本方法。例5假设a0，a1，x0，y0，xy，以下式子中正确的个数是 (1)logaxlogay=loga(x+y)；(2)log
7、ax-logay=loga(x-y)；(4)logaxy=logaxlogay；A、0 B、1 C、2 D、3思路分析：对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。答案：A例6lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 。 思路分析：解此题的关键是设法将 的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。解：第三阶梯 例7假设方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值围。 思路分析：由对数
8、的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。 解：原方程化为(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0，令t=lgx，那么原方程等价于2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*)假设原方程的所有解都大于1，那么方程*的所有解均大于0，那么 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值围的一致性。 例8将y=2x的图像 A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。 思路分析：由于第二步的变
9、换结果是的，故此题可逆向分析。 解法1：在同一坐标系分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得D。 解法2：与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3： 本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除A、B、C，即得D。 说明：此题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。 例9log189=a，18b=5，求log3645的值；用含有a、b的式子表示 思路分析： 当指数的取值围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算扩展
10、之前开方运算是乘方运算的逆运算。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。 解：由18b=5，得b=log185，又log189=a，log189+log185=log3645=a+b，那么 说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体表达，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步到达灵活应用。 详细题解 1求值:(1) (2) (3) 解:(1) 。(2) (3) 注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。2求值:(1) (2) (3) 解:(
11、1) (2) 。(3) 法一： 法二：注意:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。(3) 的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。3:log23=a，log37=b，求:log4256=?解:，4:a2+b2=7ab，a0，b0。 求证:。证明: a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb， 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即5. :求证:3ab-bc-2ac
12、=0。证明:设 ，那么: ， 3ab=bc+2ac，即 3ab-bc-2ac=0。6求值:解:另解:设 =m (m0)， lg2=lgm， 2=m，即。课后练习:12 34:xlog34=1，求:的值。5:lg2=a，lg3=b，求:log512的值。参考答案:1. - 2. - 3. 4. 5. 对数函数的性质及应用概念与规律:1对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2在同一坐标系，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0A1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。见图1例1求以下函数的定义域。(1) y=(
13、2) y=ln(ax-k2x)(a0且a1，kR)解:(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1， ) (，2)。(2) 因为 ax-k2x0，所以()xk。10，当k0时，定义域为R；20，当k0时，(i)假设a2，那么函数定义域为(k，+)；(ii)假设0A2，且a1，那么函数定义域为(-，k)；(iii)假设a=2，那么当0K1时，函数定义域为R；当k1时，此时不能构成函数，否那么定义域为。例2假设logm3.5logn3.5(m，n0，且m1，n1)，试比拟m ，n的大小。解:(1)当m1，n1时，3.51，由对数函数性质:当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，nm1。(
14、2)当m1，0N1时，logm3.50，logn3.50， 0N1M也是符合题意的解。(3)当0M1，0N1时，3.51，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0MN1。综上所述，m，n的大小关系有三种:1MN或0N1M或0MN1。例3作出以下函数的图象:(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx (2) y=lg|x| (3) y=-1+lgx解:(1)如图2； (2)如图3； (3)如图4。例4函数y=f(2x)的定义域为-1，1，求y=f(log2x)的定义域。提示:由-1x1，可得y=f(x)的定义域为，2，再由 log2x2得y=f(log2x)的定义域为，4。例5求函数y
15、=(-x2+2x+3)的值域和单调区间。解:设t=-x2+2x+3，那么t=-(x-1)2+4， y=t为减函数，且0T4， y=-2，即函数的值域为-2，+)。再由:函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1X3。 t=-x2+2x+3在(-1，1上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数。函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3)。例6f(x)=ax-a-x(其中0A1)。(1)求函数f(x)的反函数f-1(x)； (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证明你的结论。解:(1)设y=ax-a-x，那么a2x-yax-1=0， ax0，解得a
16、x=， x=loga ， 所求函数的反函数f-1(x)=loga (xR)。(2)xR且f-1(-x)=loga=loga =loga( )-1=-f-1(x)。函数f-1(x)是奇函数。例7f(logax)= (a0且a1)，试判断函数f(x)的单调性。解:设t=logax(xR+，tR)。当a1时，t=logax为增函数，假设t1T2，那么0X1X2， f(t1)-f(t2)=， 0X11， f(t1)F(T2)， f(t)在R上为增函数，当0A1时，同理可得f(t)在R上为增函数。 不管a1或0A1，f(x)在R上总是增函数。例8函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。(1)假设函数f(
17、x)的定义域为R，数a的取值围；(2)假设函数f(x)的值域为R，数a的取值围。分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，此题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，这是不等式中的常规问题。f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图5，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是。解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R；当a0时
18、，有a1。 a的取值围为a1。(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或 0a1， a的取值围为0a1。例9函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a1)，记ABC的面积为S。(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)假设S2，求a的取值围。解:(1)依题意有g(x)=log2x(x0)，并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4)，C(a+8，log2(a+8) (
19、a1)，如图6。 A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+ )。由于a1时，a2+8a9，11+ ，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 02log2(1+ )2log2，即0S2LOG2 。(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下:任取a1，a2，使1A1A21，a21，且a2a1， a1+a2+80，+8a20， +8a10， a1-a20，
20、 11+ f(a2) S=f(a)在(1，+)上是减函数。(4)由S2，即得，解之可得:10且a1，b1时，f(x)在(-， )，(- ，+)上都是增函数，0A1时，f(x)在(-， )，(- ，+)上都是减函数。(4) f-1(x)= (x0，xR)。3. (1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。4log2 A1。专题辅导对数与对数函数 1本单元重、难点分析1重点：对数的定义；对数的性质与运算法那么；在理解对数函数的定义的根底上，掌握对数函数的图象和性质。2难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法那么的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。2典型例题选
21、讲例1log23=a，3b=7，求log1256的值。讲解：先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值。解法1 log23=a，2a=3。又3b=7， 7=(2a)b=2ab，故56=23+ab。又12=34=2a4=2a+2。从而56=，故log1256=log12 。解法2 log23=a， log32=，又 3b=7， log37=b，从而log1256=。解法3 log23=a， lg3=alg2，又3b=7， lg7=blg3，lg7=ablg2。从而log1256=。说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换
22、底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适中选取新的底数，从而把对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例2loga3logb30，那么a，b，1的大小关系是_。讲解：由对数函数的性质可知，a1，b1，关键是判断a与b的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。解法1 由loga3logb300 log3blog3a0 log3blog3alog31。 y=log3x是增函数，故ba1。解法2 由loga3logb300。 lg30， lga0，lgb0， 上式等价于0 lgblga0 lgblgalg1。 y=lgx是增函数，故ba1。解法3分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进展推断。 loga3logb30， a1，b1，故y=logax与y=logbx均为增函数。又 loga3logb30，当x1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的上
