相似三角形辅助线添加.docx
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相似三角形辅助线添加.docx
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相似三角形辅助线添加
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1.相似三角形定义:
对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法:
用符号“∽”表示,读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比:
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理:
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相似三角形
的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法
相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种:
一、作平行线
例1.如图,
的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:
例2.如图,△ABC中,AB AB·DF=AC·EF。 二、作垂线 3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证: 。 三、作延长线 例5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积。 例6.如图,Rt ABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG AB于G,求证: FG =CF BF 四、作中线 例7如图, 中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。 直角三角形中的相似问题 方法指导: 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理: CD²=AD·BD, AC²=AD·AB, BC²=BD·BA (它们在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用). 例.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥AC,垂足为E. 求证: . 1.如图,CE是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠ACB=90°,在EC的延长线上任取一点P,连结AP,过点B作BG⊥AP于D. 求证: CE²=ED·EP. 五、综合练习题 1、下图中,E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,AE∶EC=1∶3,BE的延长线交CD的延长线于G,交AD于F,求证: BF∶FG=1∶2. 2.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线. 证明: AB: AC=BD: CD. 3、 中, ,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证: 。 4、. 理由? (用两种解法) (2010苏州)2.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证: △ADF∽△DEC (2)若AB=4,AD=3 AE=3,求AF的长. (2010年徐州)如图,AB=3AC,BD=3AE,又BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上. (1)求证: △ABD∽△CAE; (2)如果AC=BD,AD= BD,设BD=a,求BC的长. 2.(2011南京)如图,直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上,点F在AC上, (1)求证: △ADF∽△CAF (2)当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时,求直角梯形ABCD的面积 (2009阜阳)如图,Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC交斜边于点E,CC的延长线交BB于点F. (1)证明: △ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= ,∠CAC= ,试探索 、 满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
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