江苏专用高考数学一轮复习第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系教师用书.docx
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江苏专用高考数学一轮复习第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系教师用书
第八章 立体几何
第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
平面及其基本性质
√
1.四个公理
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2:
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3:
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面;
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角.
②范围:
(0°,90°].
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线可以确定一个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)如图391所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为____________.
图391
60° [连结B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.]
3.下列命题正确的有____________.(填序号)
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
①③ [①③正确,②④错误.②中两直线的位置关系可能平行、相交或异面;④中若三个点不共线,则两平面重合.]
4.(2016·山东高考改编)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的____________条件.
充分不必要条件 [由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.]
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.
[答案]b与α相交或b⊂α或b∥α
平面的基本性质
如图392,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
图392
[证明]
(1)如图,连结EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈直线CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点. [规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法: (1)直接法: 证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法: 先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法: 先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明点共线问题的常用方法: (1)基本性质法: 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法: 选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. [变式训练1] 如图393所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊 AD,BE綊 FA,G,H分别为FA,FD的中点. 图393 (1)证明: 四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面? 为什么? 【导学号: 62172214】 [解] (1)证明: 由已知FG=GA,FH=HD,得GH綊 AD. 又BC綊 AD, ∴GH綊BC,∴四边形BCHG是平行四边形. (2)C,D,F,E四点共面,理由如下: 由BE綊 AF,G为FA的中点知BE綊GF, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由 (1)知BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面. 空间直线的位置关系 (1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是____________.(填序号) ①l与l1,l2都不相交; ②l与l1,l2都相交; ③l至多与l1,l2中的一条相交; ④l至少与l1,l2中的一条相交. (2)(2017·郑州模拟)在图394中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). ① ② ③ ④ 图394 (1)④ (2)②④ [ (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交. (2)图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连结MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图②④中,GH与MN异面.] [规律方法] 1.异面直线的判定方法: (1)反证法: 先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. [变式训练2] a,b,c表示不同的直线,M表示平面,给出四个命题: ①若a∥M,b∥M,则a∥b或a,b相交或a,b异面;②若b⊂M,a∥b,则a∥M;③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确的为____________.(填序号) ①④ [对于①,当a∥M,b∥M时,则a与b平行、相交或异面,①为真命题.②中,b⊂M,a∥b,则a∥M或a⊂M,②为假命题.命题③中,a与b相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,所以①④为真命题.] 异面直线所成的角 (1)如图395,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为____________. 图395 (2)(2016·全国卷Ⅰ改编)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为____________. (1) (2) [ (1)连结BC1,易证BC1∥AD1, 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连结A1C1,由AB=1,AA1=2, 则A1C1= ,A1B=BC1= , 在△A1BC1中,由余弦定理得 cos∠A1BC1= = . (2)设平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等,即∠CD1B1为m,n所成的角. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为 .] [规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤: (1)作: 通过作平行线,得到相交直线的夹角. (2)证: 证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求: 解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. [变式训练3] 如图396,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.【导学号: 62172215】 图396 [取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连结C1D,AD, 则因为C是圆柱下底面弧AB的中点, 所以AD∥BC, 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点, 所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形, 所以C1D= AD, 所以直线AC1与AD所成角的正切值为 , 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .] [思想与方法] 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法: 证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为相交直线的夹角,体现了转化与化归思想. [易错与防范] 1.异面直线不同在任何一个平面内,不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 课时分层训练(三十九) A组 基础达标 (建议用时: 30分钟) 一、填空题 1.在下列命题中,不是公理的是( ) ①平行于同一个平面的两个平面相互平行; ②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面; ③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内; ④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ① [①不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;②③④是平面的基本性质公理.] 2.已知a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论: ①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为____________. 1 [法一: 在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错,③显然成立. 法二: 构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错,③正确.] 3.(2016·南京模拟)下列命题中正确的是____________.(填序号) ①空间四点中有三点共线,则此四点必共面; ②三个平面两两相交的三条交线必共点; ③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ④平面α和平面β可能只有一个交点. ① [由公理3的推论1可知①正确;其余均错误.] 4.已知α,β为两个不重合的平面,A,B,M,N为相异四点,a为直线,则下列推理错误的是____________.(填序号) ①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β; ②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN; ③A∈α,A∈β⇒α∩β=A. ③ [由公理1及公理2可知①②正确,③错误.] 5.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,E,F分别是棱A1A,C1C的中点.若∠BFC=60°,则∠ED1D=____________. 【导学号: 62172216】 60° [∵BF∥D1E,DD1∥CF, ∴由等角定理可知∠BFC=∠ED1D=60°.] 6.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为____________. [连结DF, 则AE∥DF, ∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角. 设正方体棱长为a,则D1D=a,DF= a,D1F= a, ∴cos∠D1FD= = .] 7.如图397所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 图397 ①直线AM与CC1是相交直线; ②直线AM与BN是平行直线; ③直线BN与MB1是异面直线; ④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为________.(注: 把你认为正确的结论序号都填上) ③④ [由题图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线. 因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.] 8.如图398所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB= ∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________. 图398 60° [取A1C1的中点E,连结B1E,ED,AE, 在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求, 设AB=1,则A1A= ,AB1= ,B1E= ,AE= ,故∠AB1E=60°.] 9.如图399,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. 【导学号: 62172217】 图399 4 [取CD的中点为G(图略),由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内,所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.] 10.如图3910是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中, 图3910 ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是____________. ②③④ [把正四面体的平面展开还原,如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.] 二、解答题 11.如图3911,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H. 图3911 (1)求AH∶HD; (2)求证: EH,FG,BD三线共点. [解] (1)∵ = =2,∴EF∥AC, ∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH, 平面EFGH∩平面ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴ = =3.∴AH∶HD=3∶1. (2)证明: ∵EF∥GH,且 = , = , ∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD, 又P∈FG,FG⊂平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点. 12.如图3912,E,F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点,求证: 四边形B1EDF是平行四边形.【导学号: 62172218】 图3912 证明: 设Q是DD1的中点,连结EQ,QC1,如图.因为E是AA1的中点,Q是DD1的中点,所以EQ綊A1D1. 又A1D1綊B1C1,所以EQ綊B1C1, 所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1E綊C1Q. 又Q,F分别是D1D,C1C的中点, 所以QD綊C1F, 所以四边形DQC1F为平行四边形, 所以C1Q綊DF. 故B1E綊DF,所以四边形B1EDF是平行四边形. B组 能力提升 (建议用时: 15分钟) 1.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是____________. ①若AC与BD共面,则AD与BC共面; ②若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线; ③若AB=AC,DB=DC,则AD=BC; ④若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC. ③ [①中,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面;②中,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线;③中,若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC;④中,若AB=AC,DB=DC,可以证明AD⊥BC.] 2.如图3913,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为________. 图3913 [取DE的中点H,连结HF,GH. 由题设,HF綊 AD, ∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角). 在△GHF中,可求HF= , GF=GH= , ∴cos∠GFH= = .] 3.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小. 图3914 [解] 如图,取AC的中点G,连结EG,FG,则EG綊 AB,FG綊 CD, 由AB=CD知EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°, ∴∠EGF=30°或150°. 由EG=FG知△EFG为等腰三角形, 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°; 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°. 故EF与AB所成的角为15°或75°. 4.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求证: (1)D,B,F,E四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线. [证明] (1)∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点, ∴连结D1B1(图略),易知EF∥D1B1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面. 即D,B,F,E四点共面. (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α, 又设平面BDEF为β, 因为Q∈A1C1,所以Q∈α. 又因为Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点, 同理,P点也是α与β的公共点, 所以α∩β=PQ. 又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C, 则R∈α且R∈β, 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
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