初中函数知识点归纳总结非常全.docx
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初中函数知识点归纳总结非常全
初中函数知识点归纳总结非常全函数知识点总结非常全
知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当ba≠时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔yx
点P(x,y)在第二象限0,0><⇔yx点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔yx点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔yx2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上0=⇔y,x为任意实数点P(x,y)在y轴上0=⇔x,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等,纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等,横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于y
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于x(3)点P(x,y)到原点的距离等于2
2yx+
知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量
在某一变化过程,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果bkxy+=(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数bkxy+=的b为0时,kxy=(k为常数,k≠0)。
这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数bkxy+=的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数kxy=的图像是经过原点(0,0)的直线。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数kxy=有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大,图像从左之右上升;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小,图像从左之右下降。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数bkxy+=有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
(3)当b>0时,直线与y轴交点在y轴正半轴上(4)当b<0时,直线与y轴交点在y轴负半轴上6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式kxy=(k≠0)的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式bkxy+=(k≠0)的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念
一般地,函数x
k
y=
(k是常数,k≠0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kxy或xy=k的形式。
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非
零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。
由于反比例函数自变量x≠0,函数y≠0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数x
k
y=
只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数反比例系数的几何意义
若过反比例函数)0(≠=kx
k
y图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PM∙PN=xyxy=∙。
kSkxyx
k
y==∴=,,。
知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念
一般地,如果)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数,,特别注意a不为零,那么y叫做x的二次函数。
)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数,叫做二次函数的一般式。
、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x2-
=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素):
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系描出顶点M,并用虚线画出
(2)求抛物线cbxaxy++=2
与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点CD。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,1.二次函数基本形式:
2yax=的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2.2yaxc=+的性质:
二次函数2yaxc=+的图像可由2yax=的图像上下平移得到(平移规律:
上加下减)。
3.()2
yaxh=-的性质:
二次函数()2
yaxh=-的图像可由2yax=的图像左右平移得到(平移规律:
左加右减)。
4.()2
yaxhk=-+的性质:
知识点八、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
2yaxbxc=++(a,b,c为常数,0a≠);
2.顶点式:
2()yaxhk=-+(a,h,k为常数,0a≠);
3.两点式:
12()()yaxxxx=--(0a≠,1x,2x是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成两
点式,只有抛物线与x轴有交点,即240bac-≥时,抛物线的解析式才可以用两点式表
示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.知识点十、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当
abx2-=时,a
ba
cy442-=最值。
如果自变量的取值范围是21xxx≤≤,那么,首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21xxx≤≤内,若在此范围内,则当x=ab2-时,a
ba
cy442
-=最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21xxx≤≤范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当2xx=时,
cbxaxy++=22
2最大,当1xx=时,cbxaxy++=121最小;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当1xx=时,cbxaxy++=121最大,当2xx=时,cbxaxy++=222最小。
知识点十一、二次函数的性质
2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程20axbxc++=是二次函数2yaxbxc=++当函数值0y=时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:
①当240bac∆=->时,图象与x轴交于两点()()1200AxBx,,,12()xx≠,
其的12xx,是一元二次方程()2
00axbxca++=≠的两根.这两点间的距离21ABxx=-=推导过程:
若抛物线cbxaxy++=2与x轴两交点为()()002
1,,,xBxA,由于1x、2x是方程02
=++cbxax的两个根,故
a
cxxabxx=
⋅-=+2121,()
()
aaac
bac
abxxxxxxxxAB∆=
-=-⎪⎭
⎫⎝⎛-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121②当0∆=时,图象与x轴只有一个交点;
③当0∆<时,图象与x轴没有交点.
1'当0a>时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有0y>;2'
当0a<时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有0y<.记忆规律:
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程的ac4b2
-=∆,在二次函数表示图像与x轴是否有交点。
当∆>0时,图像与x轴有两个交点;当∆=0时,图像与x轴有一个交点;当∆<0时,图像与x轴没有交点。
考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)
、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
如图:
点A坐标为(x1,y1)点B则AB间的距离,即线段AB
2、二次函数图象的平移
①将抛物线解析式转化成顶点式()2
yaxhk=-+,确定其顶点坐标()hk,;②保持抛物线2yax=的形状不变,将其顶点平移到()hk,处,具体平移方法如下:
【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
③平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.函数平移图像大致位置规律(考试题,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)3、直线斜率:
1
21
2tanxxyyk--=
=α
4、设两条直线分别为,1l:
11ykxb=+2l:
22ykxb=+若12//ll,则有1212
//llkk⇔=且12bb≠。
若1212
1llkk⊥⇔⋅=-知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线cbxaxy++=2,abc,的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与2
axy=的a完全一样.
a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;a的绝对值越大,开口越小
(2)
b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
cbxaxy++=2
的对称轴是直线
abx2-
=,故:
①0=b时,对称轴为y轴;②0>a
b
(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③0 (即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.口诀---左同右异 (3)c的大小决定抛物线cbxaxy++=2 与y轴交点的位置. 当0=x时,cy=,∴抛物线cbxaxy++=2与y轴有且只有一个交点(0,c): ①0=c,抛物线经过原点;②0>c,与y轴交于正半轴;
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