数值分析第三章上机.docx
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数值分析第三章上机
习题5.1
1.试用MATLAB程序计算下列矩阵的特征值和特征向量。
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)在MATLAB工作窗口输入
A=[-5217;2-83;33-3];[V,D]=eig(A,'nobalance'),
运行后输出结果为
V=1.00000.8519-0.1481i0.8519+0.1481i
0.2867-0.3978-0.2085i-0.3978+0.2085i
0.5203-0.2056+0.1199i-0.2056-0.1199i
D=4.418900
0-10.2095+0.9982i0
00-10.2095-0.9982i
在MATLAB工作窗口输入
b=eig(A);b'
运行后输出结果为
ans=4.4189-10.2095-0.9982i-10.2095+0.9982i
其中ans为特征值,V为特征值对应的特征向量。
(2)在MATLAB工作窗口输入
A=[-11215;2583;153-3];[V,D]=eig(A,'nobalance'),
运行后输出结果为
V=0.79280.60810.0416
0.0030-0.07210.9974
-0.60950.79060.0590
D=-22.524900
08.26400
0058.2609
在MATLAB工作窗口输入
b=eig(A);b'
运行后输出结果为
ans=22.52498.264058.2609
其中ans为特征值,V为特征值对应的特征向量。
(3)在MATLAB工作窗口输入
A=[-21-2;-53-3;102];[V,D]=eig(A,'nobalance'),
运行后输出结果为
V=1.0000+0.0000i1.0000-0.0000i1.0000
1.0000-0.0000i1.0000+0.0000i1.0000
-1.0000-0.0000i-1.0000+0.0000i-1.0000
D=1.0000+0.0000i00
01.0000-0.0000i0
001.0000
在MATLAB工作窗口输入
b=eig(A);b'
运行后输出结果为
ans=1.0000-0.0000i1.0000+0.0000i1.0000
其中ans为特征值,V为特征值对应的特征向量。
(4)在MATLAB工作窗口输入
A=[460;-3-50;-3-61];[V,D]=eig(A,'nobalance'),
运行后输出结果为
V=1.00001.00001.0000
-0.5000-1.0000-0.5000
-0.5000-1.0000-0.2367
D=1.000000
0-2.00000
001.0000
在MATLAB工作窗口输入
b=eig(A);b'
运行后输出结果为
ans=1-21
其中ans为特征值,V为特征值对应的特征向量。
2.试用MATLAB程序求一个正交的相似变换阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:
(1)
;
(2)
解
(1)在MATLAB工作窗口输入
A=[110-1;11-10;0-111;-1011];[V,D]=eig(A)
运行后输出结果为
V=-0.50000.70710.00000.5000
0.5000-0.00000.70710.5000
0.50000.70710.0000-0.5000
-0.500000.7071-0.5000
D=-1.0000000
01.000000
001.00000
0003.0000
其中V为正交的相似变换矩阵,D为对角矩阵。
(2)在MATLAB工作窗口输入
A=[220;032;023];[V,D]=eig(A)
运行后输出结果为
V=1.00000.42640.8165
00.6396-0.4082
00.63960.4082
D=2.000000
05.00000
001.0000
其中V为正交的相似变换矩阵,D为对角矩阵。
习题5.2
1.用手工计算
的主特征值和对应的近似特征向量,迭代4次。
解:
取
,根据迭代公式(5.20),得
于是规范化向量,得
,将
代入迭代公式(5.20),得
后,求
,再代入(5.20),求
如此下去,迭代4次将结果列入表中。
k
0
1
12
2
5.333333
3
4.500000
4
4.222222
2.用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的近似特征向量,精度为0.000001.将计算结果与习题5.1第1题中的
(1)和
(2)的计算结果比较
(1)
(2)
解:
用幂法计算矩阵A的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序保存为mifa.m.
function[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)
lambda=0;k=1;Wc=1;,jd=jd*0.1;state=1;V=V0;
while((k<=max1)&(state==1))
Vk=A*V;[mj]=max(abs(Vk));mk=m;
tzw=abs(lambda-mk);Vk=(1/mk)*Vk;
Txw=norm(V-Vk);Wc=max(Txw,tzw);V=Vk;lambda=mk;state=0;
if(Wc>jd)
state=1;
end
k=k+1;Wc=Wc;
end
if(Wc<=jd)
disp('请注意:
迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下:
')
else
disp('请注意:
迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下:
')
end
Vk=V;k=k-1;Wc;
(1)在MATLAB工作窗口输入
A=[-5217;2-83;33-3];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D]=eig(A),Dzd=max(diag(D)),wuD=abs(Dzd-lambda),wuV=V(:
2)./Vk,
运行后输出结果为
请注意:
迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下:
k=100lambda=9.000134369672956
Vk=0.958178234834750
-1.000000000000000
-0.063651893093300
Wc=2.743865089428584
V=
0.8597238347529040.862071948671790
0.246514481282726-0.355157737910271-0.272758810536981i
0.447331575540638-0.222388924390123+0.082708730486796i
Dzd=-10.209457513809461+0.998212270480910i
wuD=19.235510080756690
wuV=0.899698946741850
0.355157737910271+0.272758810536981i
3.493830483001483-1.299391525803686i
由输出结果可见,迭代次数k已经达到最大迭代次数max1=100,并且lambda的相邻两次迭代的误差Wc≈2.743865>2,由wuV可以看出,lambda的特征向量Vk与真值Dzd的特征向量Vzd对应分量的比值相差较大,所以迭代序列发散.实际上,实数矩阵A的特征值的近似值为
,并且对应的特征向量的近似向量分别为
,
,
此例说明,当n阶实矩阵有复数特征值时,不宜用幂法计算它的主特征值
对应的特征向量
。
(2)在MATLAB工作窗口输入
A=[-11215;2583;153-3];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D]=eig(A),Dzd=max(diag(D)),wuD=abs(Dzd-lambda),wuV=V(:
2)./Vk,
运行后输出结果为
请注意:
迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下:
k=15lambda=58.260924539570283
Wc=3.932376845790027e-007
.0416********
1.000000000000000
.0591********
V=
0.7927721948811660.6080978586791290.041584147137548
0.003017542695588-0.0721394352968010.997389992084911
-0.6095105753466300.7905775712382160.059025099709393
D=
-22.5249041323628170008.2639795236655830
0058.260924608697195
Dzd=58.260924608697195
wuD=6.912691219440603e-008
wuV=14.585173063868170
-0.072139435296801
13.358948493257911
由输出结果可看出,迭代15次,相邻两次迭代的误差Wc=3.932376845790027e-007,矩阵A的主特征值的近似值lambda=58.260924539570283和对应的特征向量的近似向量
。
lambda与习题5.1第1题中的
(2)的
的最大特征值
近似相等,绝对误差约为2.453957028e-005,
与特征向量
,
的第1个分量的绝对误差约等于0.000092879,第2个分量的绝对值误差约等于0.002600000,第3个分量的绝对值误差约等于0.000179625.由wuV可以看出,
的特征向量V(:
3)与Vk的对应分量的比值近似相等.因此,用程序mifa.m计算的结果达到预先给定的精度
.
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- 数值 分析 第三 上机