高考数学一轮复习金版教程第1讲 随机抽样.docx
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高考数学一轮复习金版教程第1讲随机抽样
第1讲 随机抽样
1.简单随机抽样
(1)定义:
设一个总体含有N个个体,从中
逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会
都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样方法:
抽签法和
随机数法.
(3)抽签法与随机数法的区别与联系
抽签法和随机数法都是简单随机抽样方法,但是抽签法适合在总体和样本都较少,容易搅拌均匀时使用,而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外,还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况,这时利用随机数法能够快速地完成抽样.
2.分层抽样
(1)定义:
在抽样时,将总体分成
互不交叉的层,然后按照一定的
比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体是由
差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的.
2.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.
1.某班有男生36人,女生18人,用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本,则抽取的女生人数为( )
A.6B.4
C.3D.2
答案 C
解析 抽取的女生人数为
×18=3,故选C.
2.为了了解全年级240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是( )
A.总体是240B.个体是每一个学生
C.样本容量是40名学生D.样本容量为40
答案 D
解析 研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么.本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标,故A,B不正确;而样本容量是数量,故C不正确,D正确.
3.(2020·郑州摸底)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的一共有20000人,其中各种态度对应的人数如下表所示:
最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4800
7200
6400
1600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽选100人进行更为详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时,每类人中应抽选的人数分别为( )
A.25,25,25,25B.48,72,64,16
C.20,40,30,10D.24,36,32,8
答案 D
解析 因为抽样比为
=
,所以每类人中应抽选的人数分别为4800×
=24,7200×
=36,6400×
=32,1600×
=8.故选D.
4.(2021·广西南宁高三月考)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区有10个特大型销售点,要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法分别为.
答案 分层抽样、简单随机抽样
解析 由调查①可知个体差异明显,故宜用分层抽样;调查②中个体数较少,且个体之间没有明显差异,故宜用简单随机抽样.
5.(2020·广东省七校联考)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,若从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则抽取的第3支疫苗的编号为.(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
答案 068
解析 由题意,得从随机数表第7行第8列的数开始向右读,符合条件的前三个编号依次是331,455,068,故抽取的第3支疫苗的编号是068.
考向一 简单随机抽样
例1
(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查;
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0B.1
C.2D.3
答案 A
解析 ①不是简单随机抽样.因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的.②不是简单随机抽样.因为它是放回抽样.③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样.故选A.
(2)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08B.07
C.02D.01
答案 D
解析 选出来的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.
(1)简单随机抽样需满足:
①被抽取的样本总体的个体数有限;②逐个抽取;③是不放回抽取;④是等可能抽取.
(2)抽签法与随机数法的适用情况
①抽签法适用于总体中个数较少的情况,随机数法适用于总体中个数较多的情况;
②一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.
1.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为( )
A.180B.400
C.450D.2000
答案 C
解析 设这个学校高一年级的学生人数约为x,则
=
,∴x=450.故选C.
2.福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01,02,…,33的33个数中随机选取,某彩民利用下面的随机数表选取6个数作为6个红色球的号码,选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的号码为( )
A.23B.09
C.02D.17
答案 C
解析 从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的号码依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的号码为02.故选C.
考向二 分层抽样
例2
(1)某学校高一年级1802人,高二年级1600人,高三年级1499人,现采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为( )
A.35,33,30B.36,32,30
C.36,33,29D.35,32,31
答案 B
解析 先将每个年级的人数凑整,得高一1800人,高二1600人,高三1500人,则三个年级的人数所占比例分别为
,
,
,因此,各年级抽取人数分别为98×
=36,98×
=32,98×
=30,故选B.
(2)(2020·河南百校联盟仿真)2020年夏季来临,某品牌饮料举行夏季促销活动,瓶盖内部分别印有标识A“谢谢惠顾”、标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”,每箱中印有A,B,C标识的饮料数量之比为3∶1∶2,若顾客购买了一箱(12瓶)该品牌饮料,则兑换“品牌纪念币”的数量为( )
A.2B.4
C.6D.8
答案 B
解析 根据题意,得“品牌纪念币一枚”的瓶数占总体的
=
,则一箱中兑换“品牌纪念币”的数量为
×12=4.
分层抽样的步骤
(1)将总体按一定标准分层.
(2)计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量.
(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).
3.如下饼图,某学校共有教师120人,从中选出一个30人的样本,其中被选出的青年女教师的人数为( )
A.12B.6
C.4D.3
答案 D
解析 青年教师的人数为120×(1-30%-40%)=36,所以青年女教师有36-24=12人,故青年女教师被选出的人数为12×
=3.故选D.
4.经调查,某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中中年人人数为12,则n=( )
A.30B.40
C.60D.80
答案 B
解析 由题意,设老年人和青年人人数分别为x,y,由分层抽样,得x∶12∶y=1∶3∶6,解得x=4,y=24,则n=4+12+24=40,故选B.
一、单项选择题
1.某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人,用下列哪种方法最合适?
( )
A.抽签法B.随机数法
C.简单随机抽样法D.分层抽样法
答案 D
解析 总体由差异明显的三部分构成,应选用分层抽样法.
2.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体B.个体
C.样本容量D.从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 根据题意,结合总体、样本、个体、样本容量的定义可知,5000名居民的阅读时间的全体是总体.
3.(2021·广东揭阳高三月考)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取40名职工作样本,若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取( )
A.10人B.15人
C.20人D.25人
答案 C
解析 由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取40×50%=20人.故选C.
4.有一批计算机,其编号分别为001,002,003,…,112,为了调查计算机的质量问题,打算抽取4台入样.现在利用随机数表法抽样,在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始,向右读,那么抽取的第4台计算机的编号为( )
A.072B.021
C.077D.058
答案 B
解析 依次可得到需要的编号是076,068,072,021,故抽取的第4台计算机的编号为021.
5.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n=( )
A.54B.90
C.45D.126
答案 B
解析 依题意得
×n=18,解得n=90,即样本容量为90.
6.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为
,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 根据题意,
=
,解得n=28.故每个个体被抽到的概率为
=
.
7.某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取.若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则二车间生产的产品数为( )
A.800B.1000
C.1200D.1500
答案 C
解析 因为2b=a+c,所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的
,根据分层抽样的性质可知二车间生产的产品数占总数的
,即为3600×
=1200,故选C.
8.(2020·苏州模拟)苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类.某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况,对辖区内的居民进行分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人,若在老年人中的抽样人数是35,则在青年人中的抽样人数是( )
A.20B.40
C.60D.80
答案 B
解析 由题可知抽取的比例为k=
=
,故青年人应该抽取的人数为N=800×
=40.故选B.
9.某高中的三个兴趣小组的人数分布如下表(每名同学只参加一个小组):
象棋组
围棋组
桥牌组
高一
90
60
x
高二
30
20
40
现要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,从参加这三个兴趣小组的学生中按小组采用分层抽样的方法抽取60人,已知围棋组被抽出16人,则x的值为( )
A.30B.60
C.80D.100
答案 B
解析 由题意,知
=
,解得x=60,故选B.
二、多项选择题
10.某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人,用分层抽样的方法从中抽取40人,则( )
A.抽取的体育特长生为10人
B.抽取的美术特长生为15人
C.抽取的音长特长生为16人
D.抽取的体育特长生和美术特长生共25人
答案 AC
解析 抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生分别为
×40=10(人),
×40=14(人),
×40=16(人).故选AC.
11.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则下列说法正确的是( )
A.应采用分层抽样法抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
答案 ACD
解析 由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层抽样法抽取,A正确;因为总体量较大,故不宜采用抽签法,所以B错误;设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆,则有
解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;由分层抽样的意义可知D也正确.
三、填空题
12.某小学三年级有甲、乙两个班,其中甲班有男生30人、女生20人,乙班有男生25人、女生25人,现在需要各班按男女生分层抽取20%的学生进行某项调查,则两个班共抽取男生的人数是.
答案 11
解析 根据题意,知两个班共抽取男生的人数为30×20%+25×20%=11.
13.某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在A,B,C,D四个单位回收的问卷数依次成等差数列,且共回收1000份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本,若在B单位抽取30份,则在D单位抽取的问卷是份.
答案 60
解析 由题意,设在A,B,C,D四个单位回收的问卷数分别为a1,a2,a3,a4,在D单位抽取的问卷数为n,则有
=
,解得a2=200,又a1+a2+a3+a4=1000,即3a2+a4=1000,∴a4=400,∴
=
,解得n=60.
14.(2020·江苏无锡期末)如表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据,人数如表所示:
选修物理
选修历史
男生
160
40
女生
80
120
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调查,若在“选修物理的男生”中抽取了8人,则n的值为.
答案 20
解析 由分层抽样的性质得
=
,
解得n=20.
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