沪科版八年级数学上册教案《一次函数》.docx
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沪科版八年级数学上册教案《一次函数》
《一次函数》
教学设计
第1课时《正比例函数的图象和性质》
1.认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式的特点;
2.理解和掌握正比例函数图象的性质,能利用所学知识解决相关实际问题;
3.经历利用正比例函数图象直观分析正比例函数性质的过程,体会数形结合的思想方法和研究函数的方法,形成合作交流、独立思考的学习习惯.
、
教学重点:
认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式的特点。
教学难点:
理解和掌握正比例函数图象的性质,能利用所学知识解决相关实际问题。
一、情境导入
生活中,我们常常见到各式各样的钟表.时钟的秒针每旋转一圈,表示时间过了1min;旋转两圈,表示时间过了2min……
~
那么,秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢
二、合作探究
探究点一:
一次函数与正比例函数
【类型一】一次函数与正比例函数的识别
下列函数关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数
(1)y=-x-4;
(2)y=5x2-6;
(3)y=2πx; (4)y=-
;
(5)y=
; (6)y=8x2+x(1-8x).
-
解析:
首先看每个函数的表达式能否变形转化为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的形式,如果x的次数是1,则是一次函数,否则不是一次函数;在一次函数中,如果常数项b=0,那么它是正比例函数.
解:
(1)是一次函数,不是正比例函数;
(2)不是一次函数,也不是正比例函数;
(3)是一次函数,也是正比例函数;
(4)是一次函数,也是正比例函数;
(5)不是一次函数,也不是正比例函数;
(6)是一次函数,也是正比例函数.
方法总结:
一个函数是一次函数的条件:
自变量是一次整式,一次项系数不为零;判断一个函数是正比例函数的条件:
自变量是一次整式,一次项系数不为零,常数项为零.
#
【类型二】根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值
已知函数y=(m-5)xm2-24+m+1.
(1)若它是一次函数,求m的值;
(2)若它是正比例函数,求m的值.
解析:
(1)要使函数是一次函数,根据一次函数的定义x的指数m2-24=1,且一次项系数m-5≠0;
(2)要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m+1=0这个条件.
解:
(1)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m=±5且m≠5,所以m=-5.所以当m=-5时,函数y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数;
(2)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m2-24=1且m-5≠0且m+1=0.所以m=±5且m≠5且m=-1,这样的m不存在,所以函数y=(m-5)xm2-24+m+1不可能为正比例函数.
方法总结:
函数是一次函数,则k≠0,且自变量的次数为1.当b=0时,一次函数为正比例函数.
~
探究点二:
正比例函数的图象和性质
【类型一】正比例函数的图象
已知正比例函数y=kx(k≠0),当x=-1时,y=-2,则它的图象大致是( )
解析:
将x=-1,y=-2代入正比例函数y=kx(k≠0)中,求出k的值为2,即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象,故选C.
方法总结:
本题考查了正比例函数的图象,知道正比例函数的图象是过原点的直线,且当k>0时,图象过第一、三象限;当k<0时,图象过第二、四象限.
【类型二】正比例函数的性质
已知正比例函数y=-kx的图象经过第一、三象限,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)三点在函数y=(k-2)x的图象上,且x1>x3>x2,则y1,y2,y3的大小关系为( )
-
A.y1>y3>y2B.y1>y2>y3
C.y1
解析:
由y=-kx的图象经过第一、三象限,可知-k>0即k<0,∴k-2<0.由正比例函数的性质可知,y=(k-2)x的函数值y随x的增大而减小,则由x1>x3>x2得y1 方法总结: 正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的变化情况由k的符号决定.k>0时,y随x的增大而增大;k<0时,y随x的增大而减小. 探究点三: 两点法画正比例函数的图象 画出函数y=-2x的图象. 解析: 当x=0时,y=0;当x=1时,y=-2.经过原点O(0,0)和点A(1,-2)作直线,则这条直线就是函数y=-2x的图象. 解: 如图所示. ( 方法总结: 作函数图象的一般步骤: 列表,描点,连线,正比例函数的图象是经过原点的直线,只需再另外找一点就可作出图象. 三、板书设计 教学反思: 本节内容第一次涉及一个具体的函数的学习和研究,要让学生体会研究函数的方法步骤和知识结构,因此,本课的教与学的活动,要学生有比较清醒的方案意识.教学中随着一环扣一环的提问、练习、点拨,突出教学目标.通过观察—比较—交流—归纳,利用图象和解析式的统一化抽象为具体,降低了难度,突破了正比例函数的性质这一难点.让学生进行课堂小结,不仅使学生从总体上把握知识,强化知识的理解和记忆,还培养了学生良好的个性和思维品质. 第2课时 《一次函数的图象和性质》教学设计 : 1.理解和掌握一次函数解析式的特点及意义,掌握一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的性质,能根据k与b的值说出函数的有关性质; 2.会用描点法和平移的方法画一次函数图象,理解和掌握截距的概念; 3.利用数形结合思想,进一步分析一次函数与正比例函数的联系,从而提高比较鉴别能力;通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法的多样性. 教学重点: 理解和掌握一次函数解析式的特点及意义,掌握一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的性质,能根据k与b的值说出函数的有关性质。 教学难点: 会用描点法和平移的方法画一次函数图象,理解和掌握截距的概念。 教学过程: ¥ 一、情境导入 问题: 某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.当向上登高时,他们所在位置气温为多少 分析: 从大本营向上登高,当海拔每升高1km时,气温从15℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从15℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为y=15-6x(x≥0).当然,这个函数也可表示为y=-6x+15(x≥0). 当登山队员由大本营向上登高时,他们所在位置气温就是x=时函数y=-6x+15的值,即y=-6×+15=12(℃). 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同它的图象又具备什么特征我们这节课将学习这些问题. 二、合作探究 探究点一: 一次函数的图象 【类型一】画一次函数的图象 . 作出一次函数y= x+1的图象,并根据图象回答下列问题: (1)当x=3时,y=________;当y=- 时,x=________; (2)图象与x轴的交点坐标是________,与y轴的交点坐标是________; (3)当y>0时,x________. 解析: 作y= x+1的图象,取(0,1),(-2,0)两点,已知x代入解析式求y,已知y代入解析式求x.列表如下: x 0 -2 { y= x+1 1 0 描点、连线,y= x+1的图象如下图: (1)当x=3时,y=;当y=- 时,x=-5; (2)图象与x轴的交点坐标是(-2,0),与y轴的交点坐标是(0,1); (3)当y>0时,x>-2. ; 方法总结: 一次函数的图象y=kx+b是与坐标轴相交的直线,只需描出点(0,b),(- ,0)就可以作出图象. 【类型二】一次函数图象的平移 (1)将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数表达式可能是________(写出一个即可). (2)将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数表达式为( ) A.y=2x-1B.y=2x-2 C.y=2x+1D.y=2x+2 解析: (1)y=-6x的图象向上平移可得到y=-6x+b(b>0),例如y=-6x+1(答案不唯一); (2)y=2x的图象向右平移1个单位后所得图象对应的函数表达式为y=2(x-1),即y=2x-2.故选B. 方法总结: (1)上下平移: 一次函数y=kx+b的图象可以看作由直线y=kx沿y轴平移|b|个单位长度得到的(当b>0,向上平移;当b<0,向下平移); (2)左右平移: 直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x+m)+b,向右平移m(m>0)个单位长度得到直线y=k(x-m)+b. ) 探究点二: 一次函数的性质 【类型一】一次函数图象的性质 已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4). (1)m为何值时,y随x的增大而减小 (2)m、n为何值时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方 (3)m、n为何值时,函数图象过原点 解析: (1)因为k<0时,y随x的增大而减小,故6+3m<0; (2)要使直线与y轴的交点在x轴的下方,必有6+3m≠0,同时n-4<0;(3)直线过原点是正比例函数的特征,即6+3m≠0且n-4=0. 解: (1)依题意,得6+3m<0,即m<-2.故当m<-2时,y随x的增大而减小; · (2)依题意,得 解得n<4且m≠-2.故当m≠-2且n<4时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方; (3)依题意,得 解得n=4且m≠-2.故当m≠-2且n=4时,函数图象过原点. 方法总结: 一次函数y=kx+b(k≠0)中,k的符号决定直线上升或下降,b的符号决定直线与y轴的交点位置,在考虑b的值时,同时要考虑k≠0这一隐含条件,在利用一次函数的性质解决问题时,常常结合方程和不等式求解. 【类型二】一次函数y=kx+b中k、b符号的确定 两个一次函数y1=ax+b与y2=bx+a,它们在同一坐标系中的图象可能是( ) 解析: 解此类题应根据k,b的符号从而确定y=kx+b图象的位置或根据图象确定k,b的符号.A选项中,由y1的图象知a>0,b<0,则y2的图象应过第一、二、四象限,故A错,C对;B选项中,由y1的图象知a>0,b>0,则y2的图象应过第一、二、三象限,故B错;D选项中,由y1的图象知a<0,b>0,则y2的图象应过第一、三、四象限,故D错.故选C. 方法总结: 对于两种不同函数的图象共存同一坐标系问题,一般常假设某一图象正确,然后根据相同字母系数的符号的不变性,来判定另一图象是否正确,进而解决问题. : 三、板书设计 经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略,在结合图象探究一次函数性质的过程中,增强学生数形结合的意识,渗透分类讨论的思想,通过对一次函数图象及性质的探究,在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力. 第3课时 《用待定系数法求一次函数的解析式》 1.理解和掌握用待定系数法求一次函数的解析式,了解待定系数法的思维方式与特点;(重点) ) 2.明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实; 3.通过一次函数图象和性质的研究,体会数形结合法在解决问题中的作用,并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题.(难点) 教学重点: 理解和掌握用待定系数法求一次函数的解析式,了解待定系数法的思维方式与特点 教学难点: 通过一次函数图象和性质的研究,体会数形结合法在解决问题中的作用,并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题 : 一、情境导入 【 我们在画函数y=2x,y=3x-1时,至少应选取几个点为什么 前面我们学习了给定一次函数解析式,可以说出它的性质,反过来给出有关的信息,能否求出解析式呢 一次函数关系式y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢 二、合作探究 探究点: 用待定系数法求一次函数的解析式 【类型一】根据两组x,y的值确定一次函数的解析式 已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式. 解析: 先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程组即可求出待定系数k和b的值,再代回所设的函数解析式即可. 、 解: 设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-5x+5. 方法总结: “两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式. 【类型二】根据图象确定一次函数的解析式 如图所示,一次函数的图象过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为( ) A.y=-x+2B.y=x+2 C.y=x-2D.y=-x-2 解析: 由正比例函数y=-x可知,当x=-1时,y=1,∴点B的坐标为(-1,1).设一次函数的表达式为y=kx+b,把点B(-1,1),A(0,2)的坐标代入所设函数表达式,得 解得 ∴y=x+2.故选B. ? 方法总结: (1)利用待定系数法求一次函数的表达式时一定要有两个独立的条件,如两个点的坐标,或x与y的两对对应值等; (2)注意通过读图获取有用的信息,如本题中,A点的纵坐标为2,即函数图象的截距为2,B点的横坐标为-1,由B点在直线y=-x上可得其纵坐标. 【类型三】根据直线平移规律确定一次函数的解析式 如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=________. 解析: ∵直线y=2x与直线y=kx+b平行,∴k=2.∵直线y=kx+b过点(1,-2),∴2+b=-2.∴b=-4.∴kb=2×(-4)=-8.故答案为-8. 方法总结: 两直线y=k1x+b与y=k2x+b平行,则k1=k2.先由两直线平行求得k,再把点(1,-2)代入y=kx+b求解可得b的值. 【类型四】根据一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积确定函数的解析式 已知一次函数图象经过点(0,-2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为3,求一次函数的表达式. , 解析: 根据条件: ①图象过点(0,-2);②与两坐标轴围成的三角形的面积为3,画出函数图象的草图是解题的关键. 解: 根据已知条件画出此一次函数图象的草图,如图所示的直线AB或直线A′B. 设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),把(0,-2)代入,得b=-2.所以直线与x轴的交点的横坐标为 .所以OA或OA′的长为| |. 因为直线与两坐标轴围成的△AOB(或△A′OB)的面积为3,且OB=|-2|=2,S△AOB= OA·OB或S△A′OB= OA′·OB,所以 ×2×| |=3. 所以|k|= ,即k=± . 所以一次函数的表达式为y= x-2或y= - x-2. " 易错提醒: 题目只给出直线与y轴的交点坐标,并没有明确给出与x轴相交的具体位置,所以与x轴的交点有两种情况,不要漏解. 三、板书设计 经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维. 第4课时 《一次函数的应用——分段函数》教学设计 \ 1.理解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象; 2.在多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数; 3.通过画函数的图象,并借助图象研究函数的性质,体验数与形的内在联系,感受函数图象的简洁美. 教学重点: 理解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象。 教学难点: 在多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数。 ? 一、情境导入 小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家,其中x表示时间,y表示小明离他家的距离. 该图表示的函数是正比例函数吗是一次函数吗你是怎样认为的 二、合作探究 探究点一: 对分段函数图象的理解 《 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时,两车的距离y(千米)与货车行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示,现有以下4个结论: ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时;②甲、乙两地之间的距离为120千米;③图中点B的坐标为(3 ,75);④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时. 以上4个结论中正确的是________. 解析: 根据题意可判断图中OA为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距,AB为快递车在甲地卸货时两车的间距,BC为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距.通过分析找出各个阶段量的关系,可求出正确结论.①A点为快递车到达乙地的时刻,快递车从甲地到乙地共用3小时,两车速度差为120÷3=40(千米/时),已知货车速度为60千米/时,则快递车速度为100千米/时,①正确;②甲、乙两地的距离为100×3=300(千米),②错误;③B点为快递车卸货结束的时刻,快递车卸货45分钟,因此B点横坐标为3 ,此时货车行驶距离为60×3 =225(千米),300-225=75(千米),所以B点纵坐标为75,则点B的坐标为(3 ,75),③正确;④BC段所用时间为4 -3 = (小时),在B点时两车相距75千米,相遇时货车行驶距离为60× =30(千米),快递车行驶距离为75-30=45(千米),故此段快递车的速度为45÷ =90(千米/时),④正确.故答案为①③④. 方法总结: 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论,读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义,理解问题叙述的过程. 探究点二: 分段函数的具体应用 某医药研究所开发了一种新药.在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药2小时后血液中含药量最高,达到每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时后血液中含药量为每毫升3微克.若当成人按规定剂量服药后,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示. ; (1)分别求出0≤x≤2和x>2时,y与x之间的函数解析式; (2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时药物对疾病的治疗是有效的,那么这个有效时间是多长 解析: (1)根据图象写出函数解析式.前2小时对应的线段是正比例函数的图象,设为y=k1x.把(2,6)代入即可求得k1的值.x>2时对应的图象是一次函数,设为y=k2x+b.把(2,6),(10,3)代入即可求得k2、b的值; (2)由图象可知,有两个时刻成人血液中的含药量为4微克,这两个时刻间的时间段内含药量皆高于4微克. 解: (1)当0≤x≤2时,设函数的解析式为y=k1x(k1≠0).把(2,6)代入y=k1x,得k1=3.∴当0≤x≤2时,y=3x.当x>2时,设函数的解析式为y=k2x+b(k2≠0).把(2,6),(10,3)代入y=k2x+b中,得 解得 ∴当x>2时,y=- x+ ; (2)把y=4代入y=3x,得x= ;把y=4代入y=- x+ ,得x= .∵ - =6,∴这个有效时间是6小时. 方法总结: 本题主要考查根据自变量或函数的取值来确定某段函数的解析式来解决问题. 三、板书设计 分段函数 ¥ 经历一般规律的探索过程,培养学生的抽象思维能力,经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,提升学生的数学应用能力,使学生在探索过程中体验成功的喜悦,树立学习的自信心.体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣. 第5课时 《一次函数的应用——方案决策》教学设计 1.深入了解一次函数的应用价值; 2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题,利用数学模型解决实际问题; 3.进一步感受数学在指导人们的实践活动方面的重要意义,从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值,培养解决实际问题的数学能力. ¥ 教学重点: 深入了解一次函数的应用价值 教学难点: 能将一个具体的实际问题转化为数学问题,利用数学模型解决实际问题 教学过程: 一、情境导入 在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示,请根据图象提供的信息解答下列问题: . (1)分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时,y与x的函数关系式; (2)燃烧多长时间时,甲、乙两根蜡烛的高度相同(不考虑都燃尽时的情况) (3)在哪个时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛高在哪个时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛矮 你会解答上面的问题吗学完本节知识,相信你一定能很快得出答案. 二、合作探究 探究点: 实际问题中的方案选择 电信局为满足不同客户的需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD),若通话时间为500分钟,则应选择哪种方案更优惠( ) A.方案A " B.方案B C.两种方案一样优惠 D.不能确定 解析: 由图可知,通话时间为500分钟时,方案A的费用是230元,方案B的费用是168元,∵230>168,∴选择方案B更优惠.故选B. 方法总结: 根据图象可知通话500分钟两种方案的通话费用,选择费用少的一种方案即可. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼,准备购买10副某种品牌的羽毛球拍,每副球拍配x(x≥2)个羽毛球,供社区居民免费借用.该社区附近A,B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且每副球拍的标价均为30元,每个羽毛球的标价均为3元,目前两家超市同时在做促销活动: A超市: 所有商品均打九折(按标价的90%)销售; [ B超市: 买一副羽毛球拍送2个羽毛球. 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元),在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元).请解答下列问题: (1)分别写出yA和yB与x之间的关系式; (2)若该活动中心只在一家超市购买,你认为在哪家超市购买更划算 (3)若每副球拍配15个羽毛球,请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案. 解析: (1)可根据题意,直接写出yA和yB与x之间的关系式; (2)题在第 (1)题的基础上,分类讨论,得到对应的自变量的取值范围;(3)题须在 (2)题的基础上再次分类讨论,特别需要提醒的是,这里不再限制“只在一家超市购买”,所以,要考虑到B超市免费送羽毛球的情况,经过计算、比较,得到结果. 解: (1)yA=27x+270,yB=30x+240; (2)当yA=yB时,27x+270=30x+240,解得x=10; } 当yA>yB时,27x+270>30x+240,解得x<10; 当yA<yB时,27x+270<30x+240,解得x>10. ∴当2≤x<10时,到B超市购买划算;当x=10时,两家超市都一样;当x>10时,到A超市购买划算; (3)∵x=15>10,∴①选择在A超市购买,y
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