高三理科数学二轮总复习专题训练 训练一综合测试题.docx
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高三理科数学二轮总复习专题训练训练一综合测试题
专题一综合测试题
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},集合M={1,3},N={2,3,4},则(∁UM)∩(∁UN)=( )
A.{3} B.{4,6}
C.{5,6}D.{3,6}
解析:
∁UM={2,4,5,6},∁UN={1,5,6},∴(∁UM)∩(∁UN)={5,6},故选C.
答案:
C
2.已知全集I=R,若函数f(x)=x2-3x+2,集合M={x|f(x)≤0},N={x|f′(x)<0},则M∩∁IN=( )
A.[,2]B.[,2)
C.(,2]D.(,2)
解析:
由f(x)≤0解得1≤x≤2,故M=[1,2];f′(x)<0,即2x-3<0,即x<,故N=(-∞,),∁IN=[,+∞).故M∩∁IN=[,2].
答案:
A
3.设某种蜡烛所剩长度P与点燃时间t的函数关系式是P=kt+b.若点燃6分钟后,蜡烛的长为17.4cm;点燃21分钟后,蜡烛的长为8.4cm,则这支蜡烛燃尽的时间为( )
A.21分钟B.25分钟
C.30分钟D.35分钟
解析:
由,解得k=-0.6,b=21,由0=-0.6t+21,解得t=35.
答案:
D
4.已知命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”.若命题“綈p且q”是真命题,则实数a的取值范围为( )
A.a≤-2或a=1B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1D.a>1
解析:
命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,∴a≤x2在[1,2]上恒成立,∴a≤1,∴綈p为a>1.
命题q:
“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”,∴方程有解,Δ=4a2-4(2-a)≥0,a2+a-2≥0,∴a≥1或a≤-2.
若命题“綈p且q”是真命题,则a>1,故选D.
答案:
D
5.(2011·山东肥城模拟)幂函数f(x)=xn(n=1,2,3,,-1)具有如下性质:
f2
(1)+f2(-1)=2[f
(1)+f(-1)-1],则函数f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
解析:
由f2
(1)+f2(-1)=2[f
(1)+f(-1)-1]⇒n=2,f(x)=x2为偶函数,所以选B.
答案:
B
6.(2011·潍坊模拟)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围是( )
A.B.
C.[3,12]D.
解析:
f′(x)=3x2+4bx+c,由题意,得
f(-1)=2b-c,当直线过A时f(-1)取最小值3,当直线过B时取最大值12,故选C.
答案:
C
7.设集合I是全集,A⊆I,B⊆I,则“A∪B=I”是“B=∁IA”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
由B=∁IA⇒A∪B=I,而A∪B=IB=∁IA,故“A∪B=I”是“B=∁IA”的必要不充分条件.
答案:
B
8.若曲线xy=a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )
A.2a2B.a2
C.2|a|D.|a|
解析:
设切点坐标为(x0,y0),曲线方程即y=,y′=-,故切线斜率为-,切线方程为y-=-(x-x0).令y=0,得x=2x0,即切线与x轴的交点A的坐标为(2x0,0);令x=0,得y=,即切线与y轴的交点B的坐标为(0,).故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×|2x0|||=2|a|.
答案:
C
9.(2011·天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x-1)f′(x)≤0,且y=f(x+1)为偶函数,当|x1-1|<|x2-1|时,有( )
A.f(2-x1)>f(2-x2)
B.f(2-x1)=f(2-x2)
C.f(2-x1) D.f(2-x1)≤f(2-x2) 解析: 由(x-1)f′(x)≤0⇒或得函数f(x)在区间(-∞,1]上为增函数,在区间[1,+∞)上为减函数.又由y=f(x+1)为偶函数,得函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 由|x1-1|<|x2-1|⇒(x1-x2)(x1+x2-2)<0⇒或 若则x2>1.此时,当x1>1,则f(x1)>f(x2),即f(2-x1)>f(2-x2); 当x1<1⇒2-x1>1,又x2>2-x1⇒f(2-x1)>f(x2),即f(2-x1)>f(2-x2). 同理,当时,也有上述结论. 答案: A 10.如图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,设M是CD边的中点,则当点P沿着A-B-C-M运动时,以点P经过的路程x为自变量,三角形APM的面积函数的图象的形状大致是( ) 解析: y=,选A. 答案: A 11.已知函数f(x)=在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是( ) A.0 C.a≤eD.a≥e 解析: f′(x)==,因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,故f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即lna≥1-lnx在[1,+∞)上恒成立.设φ(x)=1-lnx,φ(x)max=1,故lna≥1,a≥e,选D. 答案: D 12.有下列命题: ①函数y=cos(x-)cos(x+)的图象中,相邻两个对称中心的距离为π; ②函数y=的图象关于点(-1,1)对称; ③关于x的方程ax2-2ax-1=0有且仅有一个实数根,则实数a=-1; ④已知命题p: 对任意的x∈R,都有sinx≤1,则綈p: 存在x∈R,使得sinx>1.其中所有真命题的序号是( ) A.①②B.③④ C.②③④D.①②④ 解析: ①函数y=cos(x-)cos(x+)=cos2x,相邻两个对称中心的距离为d==,故①不正确;②函数y=的图象对称中心应为(1,1),故②不正确;③正确;④正确. 答案: B 二、填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上. 13.已知函数f(x)=则f[f(-2010)]=________. 解析: f[f(-2010)]=f[f(-2008)]=f[f(-2006)]=f[f(-2004)]=…=f[f(0)]=f (2)=22-4=0. 答案: 0 14.已知函数f(x)=ln+sinx,则关于a的不等式 f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是________. 解析: 已知f(x)=ln+sinx是奇函数, 又f(x)=ln+sinx=ln[]+sinx= ln(--1)+sinx,f(x)在(-1,1)上单调递增,故f(x)是(-1,1)上的增函数.由已知得f(a-2)<-f(a2-4),即f(a-2) 故⇒⇒ 答案: (,2) 15.已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为________. 解析: f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立,m≥-()2+,令g(x)=-()2+,则当=1时,函数g(x)取得最大值1,故m≥1. 答案: [1,+∞) 16.(2011·扬州模拟)若函数f(x)=x3-a2x满足: 对于任意的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,则a的取值范围是________. 解析: 问题等价于在[0,1]内f(x)max-f(x)min≤1恒成立.f′(x)=x2-a2,函数f(x)=x3-a2x的极小值点是x=|a|,若|a|>1,则函数f(x)在[0,1]上单调递减,故只要f(0)-f (1)≤1即可,即a2≤,即1<|a|≤;若|a|≤1,此时f(x)min=f(|a|)=|a|3-a2|a|=-a2|a|,由于f(0)=0,f (1)=-a2,故当|a|≤时,f(x)max=f (1),此时只要-a2+a2|a|≤1即可,即a2(|a|-1)≤,由于|a|≤,故|a|-1≤×-1<0,故此时成立;当<|a|≤1时,此时f(x)max=f(0),故只要a2|a|≤1即可,此式显然成立.故a的取值范围是[-,]. 答案: [-,] 三、解答题: 本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) (2011·广东惠州模拟)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: y=x3-x+8(0 (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升? 解: (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时, 要耗油×2.5=17.5(升). 答: 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得 h(x)=·=x2+-(0 h′(x)=-=(0 令h′(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数. ∴当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值,∴它是最小值. 答: 当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少为11.25升. 18.(本小题满分12分) (2011·安徽)设f(x)=,其中a为正实数. (1)当a=时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 解: 对f(x)求导得f′(x)=ex① (1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=. 结合①,可知 x f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点. (2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0 19.(本小题满分12分) 设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且当-1≤x<0时,f(x)=2x3+5ax2+4a2x+b. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当1 解: (1)当0 当x=0时,f(0)=-f(-0),∴f(0)=0. ∴f(x)=. (2)当0 f′(x)=6x2-10ax+4a2=2(3x-2a)(x-a)= 6(x-)(x-a). ①当<<1,即1 当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0, ∴f(x)在上单调递增,在上单调递减, ∴g(a)=f=a3-b. ②当1≤≤2,即≤a≤3时,f′(x)≥0, ∴f(x)在(0,1]上单调递增. ∴g(a)=f (1)=4a2-5a+2-b, ∴g(a)=. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx(a∈R,a≠0). (1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间及极值; (2)讨论函数f(x)的单调性. 解: (1)依题意得,当a=8时,f(x)=x2-4x-6lnx,f′(x)=2x-4-=, 由f′(x)>0得(x+1)(x-3)>0,解得x>3或x<-1.注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞). 由f′(x)<0得(x+1)(x-3)<0,解得-1 综上所述,函数f(x)在x=3处取得极小值,这个极小值为f(3)=-3-6ln3. (2)f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,所以f′(x)=2x-4+=. 设g(x)=2x2-4x+2-a. ①当a≤0时,有Δ=16-4×2×(2-a)=8a≤0,此时g(x)≥0,所以f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a>0时,Δ=16-4×2×(2-a)=8a>0, 令f′(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+或x<1-, 令f′(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1- ; 当a≥2时,1-≤0,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
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