八年级上册111三角形的中线高线角平分线同步测试人教版含答案解析.docx
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八年级上册111三角形的中线高线角平分线同步测试人教版含答案解析
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试(人教版含答案解析)
三角形的中线、高线、角平分线时间:
60分钟总分:
100题号一二三四总分得分
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)下列说法错误的是( )A.三角形三条高交于三角形内一点B.三角形三条中线交于三角形内一点C.三角形三条角平分线交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段下面四个图形中,线段BD是△ABC的高的是( )A.B.C.D.如图,在△ABC中,若AD⊥BC,点E是BC边上一点,且不与点B、C、D重合,则AD是几个三角形的高线( )
A.4个B.5个C.6个D.8个如图,AD⊥BE于D,以AD为高的三角形有( )个.A.3B.4C.5D.6
如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有( )①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD边AD上的中线;③CH是△ACD边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个B.2个C.3个D.4个如图,兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在( )
A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高线,AB=3,AC=5,DE=2,那么点D到AB的距离是( )
A.10/3B.5/3C.6/5D.2已知:
三角形的两边长分别为3和7,则第三边的中线长x的取值范围是( )A.2 A.〖20〗^∘B.〖30〗^∘C.〖10〗^∘D.〖15〗^∘一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在( )A.三角形内部B.三角形的一边上C.三角形外部D.三角形的某个顶点上二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)如图,DB是△ABC的高,AE是角平分线,∠BAE=〖26〗^∘,则∠BFE=______. 平行四边形ABCD中,∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分,则平行四边形ABCD的周长为______cm.如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=〖50〗^∘,则∠BOC=______.如图所示,D是BC的中点,E是AC的中点,若S_(△ADE)=1,则S_(△ABC)=______. 如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线,若AB=8cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,则AC=______cm. 在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时,不一定画在三角形内部的是______.如图,已知△ABC中,∠B=〖65〗^∘,∠C=〖45〗^∘,AD是∠ABC的高线,AE是∠BAC的平分线,则∠DAE=______. 如图,在△ABC中,∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1,得∠A_1;∠A_1BC与∠A_1CD的平分线相交于点A_2,得∠A_2;…;∠A_2011BC与∠A_2011CD的平分线相交于点A_2012,得∠A_2012,则∠A_2012=______.如图,在△ABC中,AB=13,AC=10,AD为中线,则△ABD与△ACD的周长之差=______. 如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点G,AD与BF相交于点H,∠BAC=〖50〗^∘,∠C=〖70〗^∘,则∠AHB=______. 三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=〖40〗^∘,∠C=〖60〗^∘,求∠DAE的度数. 如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求BC的长. 如图所示: △ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC=〖60〗^∘,∠C=〖70〗^∘,求∠CAD,∠BOA的度数是多少? 如图△ABC中,∠A=〖20〗^∘,CD是∠BCA的平分线,△CDA中,DE是CA边上的高,又有∠EDA=∠CDB,求∠B的大小. 四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,则: (1)∵AE是△ABC的中线,∴BE=______=1/2______; (2)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=______=1/2______;(3)∵AF是△ABC的高,∴∠AFB=______=〖90〗^∘;(4)∵AE是△ABC的中线,∴BE=CE,又∵S_(△ABE)=1/2______,S_(△AEC)=1/2______,∴S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2______. 已知,如图,AE是∠BAC的平分线,∠1=∠D.求证: ∠1=∠2. 答案和解析【答案】1.A2.A3.C4.D5.B6.A7.A8.A9.A10.A11.〖64〗^∘12.32或3413.〖115〗^∘14.415.1016.高线17.〖10〗^∘18.α/2^201219.320.〖120〗^∘21.解: ∵∠B=〖40〗^∘,∠C=〖60〗^∘,∴∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖80〗^∘,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=1/2∠BAC=〖40〗^∘,∴∠AEC=∠B+∠BAE=〖80〗^∘,∵AD⊥BC,∴∠ADE=〖90〗^∘,∴∠DAE=〖180〗^∘-∠ADE-∠AED=〖10〗^∘.答: ∠DAE的度数是〖10〗^∘.22.解: 延长AD到E使AD=DE,连接CE,在△ABD和△ECD中{■(AD=DE@∠ADB=∠EDC@BD=DC)┤,∴△ABD≌△ECD,∴AB=CE=5,AD=DE=6,AE=12,在△AEC中,AC=13,AE=12,CE=5,∴AC^2=AE^2+CE^2,∴∠E=〖90〗^∘,由勾股定理得: CD=√(DE^2+CE^2)=√61,∴BC=2CD=2√61,答: BC的长是2√61.23.解: ∵AD⊥BC,∴∠ADC=〖90〗^∘,∵∠C=〖70〗^∘,∴∠CAD=〖180〗^∘-〖90〗^∘-〖70〗^∘=〖20〗^∘;∵∠BAC=〖60〗^∘,∠C=〖70〗^∘,∴∠BAO=〖30〗^∘,∠ABC=〖50〗^∘,∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠ABO=〖25〗^∘,∴∠BOA=〖180〗^∘-∠BAO-∠ABO=〖180〗^∘-〖30〗^∘-〖25〗^∘=〖125〗^∘.故∠CAD,∠BOA的度数分别是〖20〗^∘,〖125〗^∘.24.解: ∵DE是CA边上的高,∴∠DEA=∠DEC=〖90〗^∘,∵∠A=〖20〗^∘,∴∠EDA=〖90〗^∘-〖20〗^∘=〖70〗^∘,∵∠EDA=∠CDB,∴∠CDE=〖180〗^∘-〖70〗^∘×2=〖40〗^∘,在Rt△CDE中,∠DCE=〖90〗^∘-〖40〗^∘=〖50〗^∘,∵CD是∠BCA的平分线,∴∠BCA=2∠DCE=2×〖50〗^∘=〖100〗^∘,在△ABC中,∠B=〖180〗^∘-∠BCA-∠A=〖180〗^∘-〖100〗^∘-〖20〗^∘=〖60〗^∘.故答案为: 〖60〗^∘.25.CE;BC;∠CAD;∠BAC;∠AFC;S_(△ABC);S_(△ABC);S_(△ABC)26.证明: ∵∠1=∠D,∴AE//DC(同位角相等,两直线平行),∴∠EAC=∠2(两直线平行,内错角相等),∵AE是∠BAC的平分线,∴∠1=∠EAC,∴∠1=∠2.【解析】1.【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质,熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解: A.三角形的三条高所在的直线交于一点,三条高不一定相交,故本选项说法不正确;B.三角形的三条中线交于三角形内一点,故本选项说法正确;C.三角形的三条角平分线交于一点,是三角形的内心,故本选项说法正确;D.三角形的中线,角平分线,高都是线段,因为它们都有两个端点,故本选项说法正确.故选A.2.解: 线段BD是△ABC的高,则过点B作对边AC的垂线,则垂线段BD为△ABC的高.故选A.根据三角形高的定义进行判断.本题考查了三角形的角平分线、中线和高: 三角形有三条中线,有三条高线,有三条角平分线,它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.3.解: ∵在△ABC中,AD⊥BC,点E是BC边上一点,且不与点B、C、D重合,∴AD是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC的高.故选C.根据三角形高的定义可知,三角形的高可以在三角形内部,可以是三角形的边,还可以在三角形外部,结合图形即可求解.本题考查了三角形的高的定义: 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意: 锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.4.解: ∵AD⊥BC于D,而图中有一边在直线CB上,且以A为顶点的三角形有6个,∴以AD为高的三角形有6个.故选: D.由于AD⊥BC于D,图中共有6个三角形,它们都有一边在直线CB上,由此即可确定以AD为高的三角形的个数.此题主要考查了三角形的高,三角形的高可以在三角形外,也可以在三角形内,所以确定三角形的高比较灵活.5.解: ①根据三角形的角平分线的概念,知AG是△ABE的角平分线,故此说法错误;②根据三角形的中线的概念,知BG是△ABD的边AD上的中线,故此说法错误;③根据三角形的高的概念,知CH为△ACD的边AD上的高,故此说法正确;④根据三角形的角平分线和高的概念,知AH是△ACF的角平分线和高线,故此说法正确.故选B.根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断.连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线;三角形的一个角的角平分线和对边相交,顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线;从三角形的一个顶点向对边引垂线,顶点和垂足间的线段叫三角形的高.本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念,注意: 三角形的角平分线、中线、高都是线段,且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.6.解: 猎狗到△ABC三个顶点的距离相等,则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点.故选: A.用线段垂直平分线性质判断即可.此题考查了线段垂直平分线的性质,以及三角形的角平分线、中线和高,熟练掌握性质是解本题的关键.7.解: ∵AC=5,DE=2,∴△ADC的面积为1/2×5×2=5,∵AD是△ABC的中线,∴△ABD的面积为5,∴点D到AB的距离是2×5÷3=10/3.故选A.根据三角形的面积得出△ADC的面积为5,再利用中线的性质得出△ABD的面积为5,进而解答即可.此题考查三角形的面积问题,关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5.8.解: 7-3<2x<7+3,即2 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.倍长中线,构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解.本题主要考查了三角形的三边关系,注意此题构造了一条常见的辅助线: 倍长中线.9.解: ∵∠BAC=〖60〗^∘,∠C=〖80〗^∘,∴∠B=〖40〗^∘.又∵AD是∠BAC的角平分线,∴∠BAD=1/2∠BAC=〖30〗^∘,∴∠ADE=〖70〗^∘,又∵OE⊥BC,∴∠EOD=〖20〗^∘.故选A.首先根据三角形的内角和定理求得∠B,再根据角平分线的定义求得∠BAD,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC,最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解.此类题要首先明确思路,考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义.10.解: 一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在三角形的内部.故选A.根据三角形的高的性质即可判断.本题考查了三角形的高线,锐角三角形的三高线交于三角形内部一点,直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点,钝角的三条高所在的直线一定交于一点,这交点一定在三角形的内部.11.【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用,解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得,∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘,而∠AFD与∠FAD互余,与∠BFE是对顶角,故可求得∠BFE的度数.【解答】解: ∵AE是角平分线,∠BAE=〖26〗^∘,∴∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘,∵DB是△ABC的高,∴∠AFD=〖90〗^∘-∠FAD=〖90〗^∘-〖26〗^∘=〖64〗^∘,∴∠BFE=∠AFD=〖64〗^∘.故答案为〖64〗^∘.12.解: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,AD//BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE, (1)当AE=5时,AB=5,平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32; (2)当AE=6时,AB=6,平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34;故答案为: 32或34.由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE,由已知得到∠ABE=∠CBE,推出AB=AE,分两种情况 (1)当AE=5时,求出AB的长; (2)当AE=6时,求出AB的长,进一步求出平行四边形的周长.本题主要考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,三角形的角平分线等知识点,解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想.13.解;∵∠A=〖50〗^∘,∴∠ABC+∠ACB=〖180〗^∘-〖50〗^∘=〖130〗^∘,∵∠B和∠C的平分线交于点O,∴∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=1/2×〖130〗^∘=〖65〗^∘,∴∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)=〖115〗^∘,故答案为: 〖115〗^∘.求出∠ABC+∠ACB=〖130〗^∘,根据角平分线定义得出∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB,求出∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=〖65〗^∘,根据三角形的内角和定理得出∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB),代入求出即可.本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点,关键是求出∠OBC+∠OCB的度数.14.解: ∵D是BC的中点,E是AC的中点,∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半,△ADE的面积等于△ACD的面积的一半,∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一,又∵S_(△ADE)=1,∴S_(△ABC)=4.故答案为: 4.先根据D是BC的中点,E是AC的中点,得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一,再根据S_(△ADE)=1,得到S_(△ABC)=4.本题主要考查了三角形的面积,解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.15.解: ∵AE是△ABC的边BC上的中线,∴CE=BE,又∵AE=AE,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,∴AC-AB=2cm,即AC-8=2cm,∴AC=10cm,故答案为: 10;依据AE是△ABC的边BC上的中线,可得CE=BE,再根据AE=AE,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,即可得到AC的长.本题考查了三角形的角平分线、中线和高,求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键.16.解: 三角形的角平分线和中线都在三角形内部,而锐角三角形的三条高在三角形内部,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部.故答案为: 高线.根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解.考查了三角形的角平分线、中线和高: 三角形有三条中线,有三条高线,有三条角平分线,它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.17.解: 在△ABC中,∵∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖70〗^∘,∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠CAE=〖35〗^∘.又∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=〖90〗^∘,∵在△ABD中∠BAD=〖90〗^∘-∠B=〖25〗^∘,∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘.由三角形的内角和定理,可求∠BAC=〖70〗^∘,又由AE是∠BAC的平分线,可求∠BAE=〖35〗^∘,再由AD是BC边上的高,可知∠ADB=〖90〗^∘,可求∠BAD=〖25〗^∘,所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘.本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质,高线的性质,熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键.18.解: ∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1,∴∠A_1BC=1/2∠ABC,∠A_1CD=1/2∠ACD,根据三角形的外角性质,∠A+∠ABC=∠ACD,∠A_1+∠A_1BC=∠A_1CD,∴∠A_1+∠A_1BC=∠A_1+1/2∠ABC=1/2(∠A+∠ABC),整理得,∠A_1=1/2∠A=α/2,同理可得,∠A_2=1/2∠A_1=1/2×α/2=α/2^2,…,∠A_2012=α/2^2012.故答案为: α/2^2012.根据角平分线的定义可得∠A_1BC=1/2∠ABC,∠A_1CD=1/2∠ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD,∠A_1+∠A_1BC=∠A_1CD,然后整理即可得到∠A_1与∠A的关系,同理得到∠A_2与∠A_1的关系并依次找出变化规律,从而得解.本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义,求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键.19.解: ∵AD是△ABC中BC边上的中线,∴BD=DC=1/2BC,∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD)=AB-AC=13-10=3.则△ABD与△ACD的周长之差=3.故答案为3.根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差.本题考查三角形的中线的定义: 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线,同时考查了三角形周长的计算方法.20.解: ∵在△ABC中,∠BAC=〖50〗^∘,∠C=〖70〗^∘,∴∠ABC=〖60〗^∘,∵在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平线,∴∠EAD=〖90〗^∘-(〖25〗^∘+〖60〗^∘)=5^∘,∴∠AGH=〖25〗^∘+〖30〗^∘=〖55〗^∘,∴∠AHB=〖180〗^∘-〖55〗^∘-5^∘=〖120〗^∘.故答案为: 〖120〗^∘.根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘,再利用角平分线的定义和高的定义解答即可.此题考查三角形的内角和问题,关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘.21.根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数,根据角平分线的定义求出∠BAE的度数,根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数,再根据三角形的内角和定理即可求出答案.本题主要考查了三角形的内角和定理,三角形的外角性质,三角形的角平分线,垂直的定义等知识点,能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.22.延长AD到E使AD=DE,连接CE,证△ABD≌△ECD,求出AE和CE的长,根据勾股定理的逆定理求出∠E=〖90〗^∘,根据勾股定理求出CD即可.本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用,关键是正确地作辅助线,把已知条件转化成一个直角三角形,题型较好.23.因为AD是高,所以∠ADC=〖90〗^∘,又因为∠C=〖70〗^∘,所以∠CAD度数可求;因为∠BAC=〖60〗^∘,∠C=〖70〗^∘,所以∠BAO=〖30〗^∘,∠ABC=〖50〗^∘,BF是∠ABC的角平分线,则∠ABO=〖25〗^∘,故∠BOA的度数可求.本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO,再运用三角形内角和定理求出∠AOB.24.根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数,再根据平角的定义求出∠CDE的度数,再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数,从而得到∠BCA的度数,最后利用三角形内角和等于〖180〗^∘计算即可.本题考查了三角形的角平分线的定义,三角形的高以及三角形的内角和定理,稍微复杂,但仔细分析图形也不难解决.25.解: (1)根据AE是△ABC的中线,可得BE=CE=1/2BC; (2)根据AD是△ABC的角平分线,可得∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC;(3)根据AF是△ABC的高,可得∠AFB=∠AFC=〖90〗^∘;(4)根据AE是△ABC的中线,可得BE=CE,所以S_(△ABE)=1/2S_(△ABC),S_(△AEC)=1/2S_(△ABC),即S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2S_(△ABC).故答案为: (1)CE,BC; (2)∠CAD,∠BAC;(3)∠AFC;(4)S_(△ABC),S_(△ABC),S_(△ABC). (1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线; (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线;(3)从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;(4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用,解题时注意: 三角形有三条中线,有三条高线,有三条角平分线,它们都是线段,三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.26.由∠1=∠D,根据同位角相等,两直线平行可证AE//DC,根据两直线平行,内错角相等可证∠EAC=∠2,再根据角平分线的性质即可求解.本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质,有一定的综合性,但难度不大.
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