梯形难题汇编.docx
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梯形难题汇编.docx
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梯形难题汇编
梯形
【例题1】【1】下列命题中是真命题的是()
(A)有两个角相等的梯形是等腰梯形
(B)有两边相等的梯形是等腰梯形
(C)对角线相等的梯形是等腰梯形
(D)角平分线相等的梯形是等腰梯形
【2】下列说法正确的是()
(A)平行四边形是一种特殊的梯形
(B)等腰梯形的两邻角相等
(C)等腰梯形不可能是直角梯形
(D)有两邻角相等的梯形是等腰梯形
【3】直角梯形ABCD中,AB//DC,∠B=∠C=90°,AD=20,BC=10,则∠A可以是()
(A)45°(B)90°(C)135°(D)150°
【例题2】【1、2】梯形ABCD中,AD//BC,已知AD+BC=3,AC=
,BD=
,求此梯形面积.
【3】梯形ABCD中,DC//AB,BC=2,AB=AC=AD=
,求BD.
【例题3】【1、2】如图,在梯形ABCD中,AD//BC.E、F分别是AD、BC的中点,
∠B+∠C=90°.求证:
【3】如图,已知梯形ABCD中,DC=8,AB=28,M、N分别是AB、CD的中点,且∠A+∠B=90°,求MN的长.
【例题4】【1、2】若梯形中位线被它的两条对角线三等分,则梯形两底之比是.
【3】在梯形ABCD中,AD//BC,点E、M是AB的三等分点,且EF//MN//BC,设AD=5cm,BC=11cm,求EF、MN的长.
【例题5】【1、2】梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,AE⊥BC于E,AE=4AD,AC=BC,求
的值.
【3】梯形ABCD中,AB=AD=DC=1,AD//BC,且BD=BC,求BC的长.
【例题6】【1】底角为60°的等腰梯形周长为60,这样的梯形的面积最大值是多少?
【2】已知AD是△ABC的中线,E是AD的中点,CE延长线交AB于F,则EF:
FC=.
【3】梯形ABCD中,AD//BC,BD是对角线,EF为中位线,若S△ABD:
S△BDC=1:
2,则
S梯形AEFD:
S梯形EBCF=.
【例题7】【1、2】已知MN是梯形ABCD的中位线,上底AD=30,下底BC=40,AC、BD与MN分别交于F、E,求EF的长.
【3】在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=16,求DM的长.
【例题8】【1、2】在直角梯形ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,∠A=60°,AB=2CD,E、F分别为AB、AD的中点,连接EF、EC,BF、CF.
(1)判断四边形AECD的形状(不需要证明);
(2)在不添加其他条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“≌”表示,并证明;
(3)若CD=2,求四边形BCFE的面积.
【3】在△ABC中,AC=7,BC=4,D为AB的中点,E为AC边上一点,且∠AED=90°+
∠C,求CE的长.
【例题9】【1、2】如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,AC与BD相交于E,∠ADB=60°,且BE:
ED=3:
1,BD=12,求梯形ABCD的周长.
【3】已知梯形的四条边长为1、2、3、4,求这个梯形的中位线的长及面积.
【例题10】【1、2】如图,在梯形ABCD中,AB//DC,AD=BC,AB=10,CD=4,延长BD到E,使DE=BD,作EF⊥AB交BA的延长线于点F,求AF的长度.
【3】如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点
(1)求证:
△MDC是等边三角形
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E、F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
【例题11】【1、2】如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O,BE平分∠CBD,交OC于F,交CD于E,求证:
【3】如图,过□ABCD的各个顶点向形外一条直线l作垂线,垂足分别是A′、B′、C′、D′.求证AA′+CC′=BB′+DD′
【例题12】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过点E作EF⊥BD交BC于点F,连接DF,G为DF中点,连接EG、CG.
(1)求证:
EG=CG
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
②③
【练习1】梯形ABCD中,AD//BC,BD=20,AC=15,高为12,则AD+BC=.
【练习2】等腰梯形的两底长分别为a、b,且对角线互相垂直,求它的一条对角线长.
【练习3】在梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,AB=10,CD=4,延长BD至E,使DE=BD,作EF⊥AB交BA的延长线于点F,求AF的长度.
【练习4】如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AB//CD,∠CAD=60°,E是AC的中点,且AD=CD,求证:
(1)BE//AD;
(2)BC=ED.
【练习5】【1、2】如图,在等腰梯形ABCD中,∠BCD=60°,AD//BC,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P.
(1)求证:
AF=BE;
(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论.
.
【3】如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=a,CD=b(a>b),M是DC延长线上的一点,且AM把梯形分成面积相等的两部分,求CM的长.
【练习6】如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=60°,点E、F、G分别是AO、BC、DO的中点,求证:
△EFG是等边三角形.
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