二年级数学 奥数讲座 一笔画问题.docx
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二年级数学奥数讲座一笔画问题
2019-2020年二年级数学奥数讲座一笔画问题
一天,小明做完作业正在休息,收音机中播放着轻松、悦耳的音乐。
他拿了支笔,信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字。
突然,他脑子里闪出一个念头,这几个字都能一笔写出来吗?
他试着写了写,“中”和“日”可以一笔写成(没有重复的笔划),但写到“田”字,试来试去也没有成功。
下面是他写的字样。
(见下图)
这可真有意思!
由此他又联想到一些简单的图形,哪个能一笔画成,哪个不能一笔画成呢?
下面是他试着画的图样。
(见下图)
经过反复试画,小明得到了初步结论:
图中的
(1)、(3)、(5)能一笔画成;
(2)、(4)、(6)不能一笔画成。
真奇怪!
小明发现,简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来。
而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来,这其中隐藏着什么奥秘呢?
小明进一步又提出了如下问题:
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度,那么这事又决定于什么呢?
能不能找到一条判定法则,依据这条法则,对于一个图形,不论复杂与否,也不用试画,就能知道是不是能一笔画成?
先从最简单的图形进行考察。
一些平面图形是由点和线构成的。
这里所说的“线”,可以是直线段,也可以是一段曲线。
而且为了明显起见,图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了。
首先不难发现,每个图中的每一个点都有线与它相连;有的点与一条线相连,有的点与两条线相连,有的点与3条线相连等等。
其次从前面的试画过程中已经发现,一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂,也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线,而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连。
看来,这是需要仔细考察的。
第一组(见下图)
(1)两个点,一条线。
每个点都只与一条线相连。
(2)三个点。
两个端点都只与一条线相连,中间点与两条线连。
第一组的两个图都能一笔画出来。
(但注意第
(2)个图必须从一个端点画起)第二组(见下图)
(1)五个点,五条线。
A点与一条线相连,B点与三条线相连,其他的点都各与两条线相连。
(2)六个点,七条线。
(“日”字图)
A点与B点各与三条线相连,其他点都各与两条线相连。
第二组的两个图也都能一笔画出来,如箭头所示那样画。
即起点必需是A点(或B点),而终点则定是B点(或A点)。
第三组(见下图)
(1)四个点,三条线。
三个端点各与一条线相连,中间点与三条线相连。
(2)四个点,六条线。
每个点都与三条线相连。
(3)五个点,八条线。
点O与四条线相连,其他四个顶点各与三条线相连。
第三组的三个图形都不能一笔画出来。
第四组(见下图)
(1)这个图通常叫五角星。
五个角的顶点各与两条线相连,其他各点都各与四条线相连。
(2)由一个圆及一个内接三角形构成。
三个交点,每个点都与四条线相连(这四条线是两条线段和两条弧线)。
(3)一个正方形和一个内切圆构成。
正方形的四个顶点各与两条线相连,四个交点各与四条线相连。
(四条线是两条线段和两条弧线)。
第四组的三个图虽然比较复杂,但每一个图都可以一笔画成,而且画的时候从任何一点开始画都可以。
第五组(见下图)
(1)这是“品”字图形,它由三个正方形构成,它们之间没有线相连。
(2)这是古代的钱币图形,它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成。
圆和正方形之间没有线相连。
第五组的两个图形叫不连通图,显然不能一笔把这样的不连通图画出来。
进行总结、归纳,看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点,为方便起见,把点分为两种,并分别定名:
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点;把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点,这样图中的要么是奇点,要么是偶点。
提出猜想:
一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关,对此列表详查:
从此表来看,猜想是对的。
下面试提出几点初步结论:
①不连通的图形必定不能一笔画;能够一笔画成的图形必定是连通图形。
②有0个奇点(即全部是偶点)的连通图能够一笔画成。
(画时可以任一点为起点,最后又将回到该点)。
③只有两个奇点的连通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点,而另一个奇点为终点);
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成。
最后,综合成一条判定法则:
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成,否则不能一笔画成。
能够一笔画成的图形,叫做“一笔画”。
用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时,只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了,根本不必用笔试着画来画去。
看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解。
从画图的过程来看:
笔总是先从起点出发,然后进入下一个点,再出去,然后再进出另外一些点,一直到最后进入终点不再出来为止。
由此可见:
①笔经过的中间各点是有进有出的,若经过一次,该点就与两条线相连,若经过两次则就与四条线相连等等,所以中间点必为偶点。
②再看起点和终点,可分为两种情况:
如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点,终点和起点就重合了,那么这个重合点必成为偶点,这样一来整个图形的所有点必将都是偶点,或者说有0个奇点;如果笔画完整个图形时最后回不到起点,就是终点和起点不重合,那么起点和终点必定都是奇点,因而该图必有2个奇点,可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成。
附送:
2019-2020年二年级数学奥数讲座找规律
(二)
例1仔细观察下面的图形,找出变化规律,猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图?
解:
仔细观察图7—1,可知:
第1组左边是个大菱形,右边是个小菱形。
第2组左边是个大三角形,右边是个小三角形。
其规律是:
每组中左右两边图形的形状相同,大小不同。
都是左边的图形大,右边的图形小。
猜出答案:
第3组中右边空白格内应填个小长方形。
(如图7—3)。
仔细观察图7—2可知:
第1组左边是个圆,而且左半圆涂有阴影线。
右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的。
第2组左边是个等腰三角形,而且左半部(直角三角形)涂有阴影线,右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的。
其规律是:
每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半,顺时针旋转放置后成为右边图形。
猜出答案:
第3组中右框内应填个阴影小长方形。
如图7—4示。
例2按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状,猜一猜第3组的“?
”处应填什么图?
解:
图7—5的?
处应填○▲。
注意观察第1组和第2组,每组都是由三对小图形组成;而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成;而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边,“黑色”的在右边。
再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去,可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律:
它们都在向左移动,当一对小图形移动到最左边后,下一步它就回到了最右边。
按这个移动规律,可知图7—5中第3组“?
”处应填:
○▲。
图7—6的?
处应填□△0。
仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的。
构成的规律是:
当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时,6个小图形都在向左移动,而且移动的同时又在重新分组和组合,但排列顺序保持不变,当某一个小图形移动到了最左边时,下一步它就回到了最右边。
按这个规律可知图7—6中第3组中间“?
”处是:
□△0。
例3观察图7—7的变化,请先回答:
在方框(4)中应画出怎样的图形?
再答按
(1)、
(2)、(3)、……的顺序数下去,第(10)个方框中是怎样的图形?
解:
先按
(1)、
(2)、(3)、……的顺序仔细观察,可发现:
方框中的箭头是按逆时针方向旋转的;方框中的其他小图形,如△、□和○也都是按逆时针方向旋转的。
也就是说,方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转。
因此,方框(4)中的小图形应画成图7—8状。
再按已找到的规律,进一步可发现图形的变化是有“周期性”的,也就是说,每过4个方框后,同样的图形又重新出现一次。
如,你可看到第
(1)和第(5)是完全一样的;因此,你可以想像得到,第
(2)和第(6)及第(10)个图形应当是完全一样的。
即第(10)个方框中的图形应是图7—9所示的样子。
例4观察图7—10的变化,请先回答:
第(4)、(8)个图中,黑点在什么地方?
第(10)、(18)个图中,黑点在什么地方?
解:
(1)按图7—10中
(1)、
(2)、(3)、……的顺序仔细观察,可发现黑点位置的变化规律:
在
(1)中,黑点在最上面第一条横线上;
在
(2)中,黑点下降了一格,在上面第二条横线上;
在(3)中,黑点又下降了一格,在中间一条线上了。
按黑点位置的这种变化可推测出:
在(4)中,黑点又下降一格,它的位置应如图7—11所示。
继续观察下去:
在(5)中,黑点下降到最下面的一条横线上;
在(6)中,黑点开始往上升一格;
在(7)中,黑点再上升一格,按着黑点位置的这种变化可推测出:
在(8)中,黑点又上升一格,它的位置应如图7—12所示。
(2)进一步仔细观察图7—10
(1)~(9),可发现黑点位置变化的“周期性”规律:
也就是说,每隔8个小图,黑点又回到原来的位置。
因为2+8=10,2+8+8=18。
所以第(10)、(18)个小图中,黑点的位置应与第
(2)个小图相同,见图7—13所示。
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