最新高三第六次模拟考试数学文试题 含答案.docx
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最新高三第六次模拟考试数学文试题含答案
2019-2020年高三第六次模拟考试数学(文)试题含答案
高三数学文科备课组
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,共3页,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔和2B铅笔,将自己的准考证号、姓名和考试科目填写清楚。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知是虚数单位,则
(A)(B)(C)(D)
(2)已知集合,且,则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知命题,则是
(A)(B)
(C)(D)
(4)已知向量的夹角的余弦值是,且满足︱︱︱︱,则︱︱
(A)(B)(C)(D)
(5)已知,且则
(A)(B)(C)(D)
(6)执行如图所示的程序框图,输出的值为
(A)(B)
(C)(D)
(7)已知等比数列的公比为,且成等差数
列,则
(A)或(B)
(C)或(D)
(8)已知抛物线的焦点为,准线为,且与轴交于点,是抛物线上一点,,垂足为,,则四边形的面积等于
(A)(B)(C)(D)
(9)已知函数,满足
,则
(A)(B)(C)(D)不确定
(10)甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是
(A)(B)(C)(D)
(11)如图,一个几何体的三视图是三个直角三角形,则该几何体的最长的棱长等于
正视图
侧视图
俯视图
1
第(11)题图
(A)(B)
(C)(D)
(12)过双曲线的左焦点作圆的切线,切点在双曲线上,则双曲线的离心率等于
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
(13)在空间直角坐标系中,,则.
(14)某校为了调查高三年级参加某项户外活动的文科生和理科生的参与情况,用简单随机抽样,从报名参加活动的所有学生中抽取名学生,已知每位学生被抽取的概率为.若按文科生和理科生两部分采取分层抽样,共抽取名学生,其中名是理科生,则报名参加活动的文科生共有人.
(15)已知函数
,则.
(16)关于函数的五个命题:
①在区间上是单调递增函数;
②只有极小值点,没有极大值点;
③的解集是;
④函数在处的切线方程为;
⑤函数最多有个零点.
其中,是真命题的有(请把真命题的序号填在横线上).
三.解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本题满分12分)
已知数列的前项和为,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列的前项和为,且满足,求.
(18)(本小题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:
8281797895889384
乙:
9295807783809085
(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据,并写出乙组数据的中位数;
(Ⅱ)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为,,乙的方差为,现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加较合适?
请说明理由;
(Ⅲ)从甲、乙不低于85分的成绩中各抽取一次成绩,求甲学生成绩高于乙学生成绩的概率.
(参考公式:
)
F
S
A
B
C
D
E
(19)(本题满分12分)
在底面为正方形的四棱锥中,平面,、是、的中点,
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)若,求点到平面的距离.
(20)(本题满分12分)
设椭圆的左、右焦点分别为、,长轴长等于,离心率为,直线过焦点且与椭圆交于两点(在第一象限),与的面积比为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求直线的方程
(21)(本小题满分12分)
已知,函数
,,且曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,若对任意的,且,都有,求证:
.(参考公式:
为常数).
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,自圆外一点引圆的切线,切点为,
为的中点,过点引圆的割线交圆于
,两点,且,,
.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)记和的面积分别为和,求.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:
极坐标与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),曲线.
(Ⅰ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求的极坐标方程;
(Ⅱ)射线与的异于极点的交点为,与的交点为,求.
(24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)若不等式的解集为,求实数的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若,使得
,求实数的取值范围.
东北师大附中第六次摸底考试
数学(文)试卷答案
一、选择题ACBBDCBAAABD
二、填空题(13)(14)(15)(16)①⑤
三、解答题(17)解:
(Ⅰ)由得,且
则数列为以3为首项公比为3的等比数列,故
(Ⅱ)设等差数列的公差为,则由,得,
解得,又
18.解:
(1)茎叶图:
甲
乙
98
7
7
8421
8
0035
53
9
025
乙组数据的中位数为84.
(2)计算
,
由,说明甲学生发挥稳定,
由,说明乙学生成绩稍高一些,如果想冒险一点取得好成绩,就派乙去参加,想保守一些就让甲去参赛.
(只要学生理由充分,即可得满分)
(3)共有12个基本事件,其中,甲成绩高于乙成绩有7个基本事件,所以
(19)(Ⅰ)证明:
取的中点,连接、,
由于点为侧棱的中点,为的中点
故在中,,
由于是的中点
故,
故
故为平行四边形
故,又平面,平面
故平面
(Ⅱ)由面,
又面,故
又,故面,又面
故到面的距离为的长,即为5.
设点到平面的距离为h.
又故故
(20)(Ⅰ)解:
.
(Ⅱ)解:
设直线的方程是与联立得
设,则
,
又与同底,所以与的面积比为,
所以代入上式消去得:
因为点A在第一象限,.
所以直线为:
(21)解 (Ⅰ),,
,,依题意有,,因为,
解得;
又,所以可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以可得在上单调递减,在上单调递增,所以,若对任意的,且,都有,不妨设
设
,
可得,
单调递减,
所以对
,因为,而在上单调递减,所以
即.
(22)解:
(Ⅰ)∵是圆的切线,是圆的割线,∴,
又∵为的中点,∴,
∴,且,
∴,∴,
又∵
,
且,,∴.
(Ⅱ)是圆的切线,∴,∴,∴,
在中,,,,
由正弦定理得:
,∵,∴,
∴
.
(23)解:
(Ⅰ)曲线为参数)可化为普通方程:
,
由可得曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)射线与曲线的交点的极径为,
射线与曲线的交点的极径满足,解得,所以
.
(24)解:
(Ⅰ)∵,∴,
∵的解集为,∴,∴.
(Ⅱ)∵
∵,使得
,即
成立,
∴,即,解得,或,
∴实数的取值范围是.
2019-2020年高三第六次模拟考试数学(理)试题含答案
高三数学理科备课组
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合,,则
(A)(B)(C)(D)
(2)已知复数为纯虚数,那么实数
(A)(B)(C)(D)
(3)已知命题:
“”,命题:
“直线与直线互相垂直”,则命题是命题的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(4)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题:
粮仓开仓收粮,粮农送来米1536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约
(A)134石(B)169石(C)192石(D)338石
(5)执行右边的程序框图,若输出,则输入的值为
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
(6)若展开式中含有常数项,则的最小值是
(A)(B)(C)(D)
2
1
正视图
侧视图
俯视图
(7)一个多面体的三视图如右图所示,正视图为等腰直角三角形,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该多面体的表面积为
(A)2(B)
(C)(D)
(8)已知是与的等比中项,若则有
(A)最小值10(B)最小值(C)最大值10(D)最大值
(9)在中,,,为线段的三等分点,则=
(A) (B) (C) (D)
(10)已知点是双曲线的一个焦点,过点且斜率为的直线与圆相切,则双曲线的离心率为
(A)(B)(C)2(D)3
(11)如图,棱长为1的正方体中,为线段上的动点,则下列结论正确的有
三棱锥的体积为定值
的最大值为90°
的最小值为2
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)已知曲线:
上一点,曲线:
上一点,当时,对于任意,都有恒成立,则的最小值为
(A)1(B)(C)(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(13)已知实数满足约束条件
,则的最大值为.
(14)已知抛物线,过焦点,且倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限交于点,若,则抛物线方程为.
(15)将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,则由函数与的图像所围成的封闭图形的面积为.
(16)已知各项均为正数的数列满足
,若,则.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知的内角的对边分别为,
且满足
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若的面积为,且求的值.
(18)(本小题满分12分)
xx1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如下表:
生二胎
不生二胎
合计
70后
30
15
45
80后
45
10
55
合计
75
25
100
(Ⅰ)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且视频率为概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)根据调查数据,是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.
参考公式:
,其中.
参考数据:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
(19)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2
,PA⊥PD,Q为PD的中点.
(Ⅰ)证明:
CQ∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,为椭圆的一个顶点,直线交椭圆于(异于点)两点,.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)求△面积的最大值.
(21)(本小题满分12分)
已知函数
,其中为非零实数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个极值点,且,求证:
.(参考数据:
)
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,自圆外一点引圆的切线,切点为,为的中点,过点引圆的割线交圆于,两点,且,,.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)记△和的面积分别为
和,求.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:
极坐标与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),曲线.
(Ⅰ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求的极坐标方程;
(Ⅱ)射线与的异于极点的交点为,与的交点为,求.
(24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)若不等式的解集为,求实数的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若,使得
,求实数的取值范围.
东北师大附中第六次模拟考试数学(理)答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
C
B
B
D
B
C
C
A
C
二、填空题
13.6;14.;15.2;16..
三、解答题
17.解析:
(Ⅰ)∵
,
∴
,
∴
,
∴,由正弦定理得,∴.
(Ⅱ)∵∴,
,
所以,,
当时,
∴
,∴.
当时,
∴
,∴.
故或
18.解:
(Ⅰ)由已知得70后“生二胎”的概率为,并且~,………1分
所以
,其分布列如下
0
1
2
3
所以,.
(Ⅱ)
,
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.
19.(Ⅰ)证明 如图所示,取PA的中点N,连接QN,BN.
在△PAD中,PN=NA,PQ=QD,
所以QN∥AD,且QN=
AD.
在△APD中,PA=2,PD=2
,PA⊥PD,
所以AD=
=4,而BC=2,所以BC=
AD.
又BC∥AD,所以QN∥BC,且QN=BC,
故四边形BCQN为平行四边形,所以BN∥CQ.
P
A
Q
D
B
C
x
y
z
M
O
又BN⊂平面PAB,且CQ平面PAB,所以CQ∥平面PAB.
(Ⅱ)如图,取AD的中点M,连接BM;取BM的中点O,连接BO、PO.
由
(1)知PA=AM=PM=2,
所以△APM为等边三角形,
所以PO⊥AM.同理BO⊥AM.
因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.
如图,以O为坐标原点,分别以OB,OD,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,-1,0),B(
,0,0),P(0,0,
),C(
,2,0),
则
=(
,3,0).
因为Q为DP的中点,故Q
,所以
=
.
设平面AQC的法向量为m=(x,y,z),
则
可得
令y=-
,则x=3,z=5.故平面AQC的一个法向量为m=(3,-
,5).
设直线PD与平面AQC所成角为θ.
则sinθ=|cos〈,m〉|==.
从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.
20.解:
(Ⅰ)依题意
,解得,所以椭圆方程为.
(Ⅱ)【方法1】设代入得
,
由
,得,
,
,
,
整理得,或(舍).
直线过定点,
此时
.
△面积的最大值为.
解法2:
设代入得
,
由
,得,
,
,
,
整理得,或(舍).
点到直线的距离为,
设,则
,
当,即时,△面积的最大值为.
解法3:
设直线方程为与联立,得,
,,同理
,
当,即,时,△面积的最大值为.
21.解:
(Ⅰ)
.
当时,即时,,在上单调递增;
当时,由得,,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
当时,由得,,在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)解法1:
由
(1)知,,且,所以.由得,.
.
构造函数
,
,
在上单调递增,
又,所以在时恒成立,命题得证.
解法2:
由
(1)知,,且,所以.
.
由得,.
构造函数
.
,
设
,
则
,因为,所以,,故在上单调递增,所以,即,所以在上单调递增,
所以,故.
22.解:
(Ⅰ)∵是圆的切线,是圆的割线,∴,
又∵为的中点,∴,
∴,且,
∴,∴,
又∵
,
且,,∴.
(Ⅱ)是圆的切线,∴,∴,∴,
在中,,,,
由正弦定理得:
,∵,∴,
∴
.
23.解:
(Ⅰ)曲线为参数)可化为普通方程:
,
由可得曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)射线与曲线的交点的极径为,
射线与曲线的交点的极径满足,解得,所以
.
24.解:
(Ⅰ)∵,∴,
∵的解集为,∴,∴.
(Ⅱ)∵
∵,使得
,即
成立,
∴,即,解得,或,
∴实数的取值范围是.
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