全称量词与存在量词逻辑联结词且或非.docx
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全称量词与存在量词逻辑联结词且或非
1-3全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
基础巩固
一、选择题
1.(2012·湖北文,4)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
[答案] B
[解析] 本题主要考查了特称命题与全称命题的互化问题.将“存在”改为“任意”,将“它的平方是有理数”改为它的平方不是有理数即可,命题的否定指将特称命题改为全称命题,否定其结论,或将全称命题改为特称命题,否定其结论.
2.(2012·南昌调研)下列四个命题中,其中为真命题的是( )
A.任意x∈R,x2+3<0 B.任意x∈N,x2≥1
C.存在x∈Z,使x5<1D.存在x∈Q,x2=3
[答案] C
[解析] 由于任意x∈R,都有x2≥0,因而有x2+3≥3,故A为假命题;
由于0∈N,当x=0时,x2≥1不成立,故B为假命题;
由于-1∈Z,当x=-1时,x5<1,故C为真命题;
由于使x2=3成立的数只有±
,而它们都不是有理数,
因此没有任何一个有理数的平方能等于3,故D是假命题.故选C.
3.(文)若p是真命题,q是假命题,则( )
A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题D.綈q是真命题
[答案] D
[解析] 本题主要考查逻辑联结词.利用命题真值表进行判断.
根据命题真值表知,q是假命题,綈q是真命题.
(理)命题p:
x2+y2<0;q:
x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( )
A.p或qB.p且q
C.qD.綈p
[答案] B
[解析] 命题p为假,命题q为真,故p且q为假.
4.已知命题p:
∃n∈N,2n>1000,则綈p为( )
A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n>1000
C.∃n∈N,2n≤1000D.∃n∈N,2n<1000
[答案] A
[解析] 本题考查特称命题的否定,属于容易题.由于特称命题的否定是全称命题,因而綈p为∀n∈N,2n≤1000.
5.(文)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 若命题“p或q”为真命题,则p、q中至少有一个为真命题.若命题“p且q”为真命题,则p、q都为真命题,因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件.
(理)下列各组命题中,满足“p或q为真”,且“非p为真”的是( )
A.p:
0=∅;q:
0∈∅
B.p:
在△ABC中,若cos2A=cos2B,则A=B;
q:
y=sinx在第一象限是增函数
C.p:
a+b≥2
(a,b∈R);
q:
不等式|x|>x的解集为(-∞,0)
D.p:
圆(x-1)2+(y-2)2=1的面积被直线x=1平分;q:
椭圆
+
=1的离心率为e=
[答案] C
[解析] A中,p、q均为假,故“p或q为假”,排除A;B中,cos2A=cos2B⇔1-2sin2A=1-2sin2B⇔sin2A-sin2B=0⇔(sinA+sinB)(sinA-sinB)=0⇒A-B=0,故p为真,从而“非p”为假,排除B;C中,p为假,从而“非p”为真,q为真,从而“p或q”为真;D中,p为真,故綈p为假.
6.下列命题中真命题的个数是( )
①∀x∈R,x4>x2;
②若p∧q是假命题,则p,q都是假命题;
③∃x∈{x|x∈Z},log2x>0.
A.0B.1
C.2D.3
[答案] B
[解析] 易知①当x=0时不等式不成立,对于全称命题只要有一个情况不满足,命题即假;②错,只需两个命题中至少有一个为假即可;③正确,命题中含有存在量词“∃”,是存在性命题,且为真命题,即只有一个命题是正确的,故选B.
二、填空题
7.命题p:
{2}∈{1,2,3},q:
{2}⊆{1,2,3},则对复合命题的下述判断:
①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;⑤非p为真;⑥非q为假.其中判断正确的序号是________.(填上你认为正确的所有序号)
[答案] ①④⑤⑥
[解析] p:
{2}∈{1,2,3},q:
{2}⊆{1,2,3},p假q真,故①④⑤⑥正确.
8.已知命题p:
∀x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题綈p是真命题,那么实数a的取值范围是________.
[答案] a≤
[解析] 因为命题綈p是真命题,所以命题p是假命题,而当命题p是真命题时,就是不等式ax2+2x+3>0对一切x∈R恒成立,这时应有
,解得a>
,因此当命题p是假命题,即命题綈p是真命题时实数a的取值范围是a≤
.
三、解答题
9.已知c>0,设p:
函数y=cx在R上递减;q:
不等式x+|x-2c|>1的解集为R,如果“p或q”为真,且“p且q”为假,求c的范围.
[分析]
[解析] 由p知0 设f(x)=x+|x-2c|= ∴f(x)的最小值为2c,即2c>1⇔c> , ∵“p或q”为真,且“p且q”为假,∴p真q假或p假q真; 若p真q假,则c的范围是(0,1)∩ = ; 若p假q真,则c的范围是[1,+∞)∩ =[1,+∞); 因此c的范围是 ∪[1,+∞). 能力提升 一、选择题 1.(2012·辽宁理,4)已知命题p: ∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是( ) A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 [答案] C [解析] 本题主要考查全称命题的否定. 根据特称命题与全称命题的关系,①量词要变化,②命题要否定.注意綈表示命题的否定,还有“∀”与“∃”的含义. 2.(文)下列命题错误的是( ) A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0” B.若命题p: ∃x∈R,x2+x+1=0,则綈p为: ∀x∈R,x2+x+1≠0 C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 D.“x>2”是“x2-3x+2≥0”的充分不必要条件 [答案] C [解析] p∧q为假命题,则p,q中至少有一个是假命题即可,不一定p,q都为假命题. (理)命题p: ∀x∈(1,+∞),函数f(x)=|log2x|的值域为[0,+∞);命题q: ∃m≥0,使得y=sinmx的周期小于 ,则( ) A.p且q为假命题B.p或q为假命题 C.綈p为假命题D.綈q为真命题 [答案] A [解析] 对于命题p,当f(x)=|log2x|=0时,log2x=0,即x=1,1∉(1,+∞),故命题p为假命题.对于命题q,y=sinmx的周期T= < ,即|m|>4,故m<-4或m>4,故存在m≥0,使得命题q成立,所以p且q为假命题. 二、填空题 3.(文)(2012·抚州期末)若命题“∃x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________. [答案] (-∞,-1)∪(3,+∞) [解析] ∵∃x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0是真命题, ∴(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4, ∴a-1>2或a-1<-2, ∴a>3或a<-1. (理)(2012·焦作联考)已知命题p: “∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________. [答案] m≤1 [解析] 若命题綈p是假命题,则命题p是真命题,即关于x的方程4x-2x+1+m=0有实数解,而m=-(4x-2x+1)=-(2x-1)2+1,所以m≤1. 4.已知两个命题,p: 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴一定有公共点;q: 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与y轴一定有公共点.则由这组命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题的真假是________. [答案] 真,假,真 [解析] p为“ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”,p为假; q为 得y=c(c∈R),q为真. 由q为真命题(对c∈R),所以“p或q”为真命题. 因对c∈R,b2-4ac<0可能成立,即对这样的c∈R, p是假命题,所以綈p是真命题. 所以“p且q”是假命题,“綈p”是真命题. 三、解答题 5.判断下列命题的真假. (1)对任意的x,y都有x2+y2≥2xy; (2)所有四边形的两条对角线都互相平分; (3)存在实数a≠2且b≠-1,使a2+b2-4a+2b≤-5; (4)存在实数x使函数f(x)=x+ (x>0)取得最小值4. [解析] (1)是真命题,因为对任意实数x,y,都有x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,∴x2+y2≥2xy. (2)是假命题,只有平行四边形才满足两条对角线互相平分,如梯形就不满足这个条件. (3)是假命题,因为a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2≥0,当且仅当a=2,b=-1时等号成立,所以不存在实数a,b,使(a-2)2+(b+1)2<0,即不存在实数a≠2且b≠-1使a2+b2-4a+2b≤-5. (4)是真命题,因为存在实数x=2>0,使函数f(x)=x+ (x>0)取得最小值4. 6.已知命题p: 存在实数m,使方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q: 存在实数m,使方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求m的取值范围. [分析] 利用已知条件构造关于m的不等式组,进而求得m的取值范围,注意命题真假的要求. [解析] 存在实数m,使方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,则 ,解得m>2, 即m>2时,p真. 存在实数m,使方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根, 则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得1 因“p∨q”为真,所以命题p、q至少有一个为真, 又“p∧q”为假,所以命题p、q至少有一个为假, 因此,命题p、q应为一真一假,即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真. ∴ 或 , 解得m≥3或1 7.(文)设命题p: 函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;q: 关于x的方程x2+2x+loga =0的解集只有一个子集.若“p∨q”为真,“(綈p)∨(綈q)”也为真,求实数a的取值范围. [解析] 当命题p是真命题时,应有a>1;当命题q是真命题时,关于x的方程x2+2x+loga =0无解, 所以Δ=4-4loga <0,解得1 . 由于p∨q为真,所以p和q中至少有一个为真,又“(綈p)∨(綈q)”也为真,所以綈p和綈q中至少有一个为真,即p和q中至少有一个为假,故p和q中一真一假.p假q真时,a无解;p真q假时,a≥ . 综上所述,实数a的取值范围是a≥ . (理)已知命题p: x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q: 不等式ax2+2x-1>0有解,若命题p是真命题、命题q是假命题,求a的取值范围. [解析] ∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根, ∴ , ∴|x1-x2|= = , ∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3. 由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,可得: a2-5a-3≥3, ∴a≥6或a≤-1, ∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1. 命题q: 不等式ax2+2x-1>0有解, ①当a>0时,显然有解; ②当a=0时,2x-1>0有解; ③当a<0时,∵ax2+2x-1>0有解, ∴Δ=4+4a>0,∴-1 从而命题p: 不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1. 又命题q是假命题,∴a≤-1, 故命题p是真命题且命题q是假命题时, a的取值范围为a≤-1.
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