第7讲 空间向量的应用平行垂直.docx
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第7讲空间向量的应用平行垂直
第7讲空间向量的应用—平行垂直
【学习目标】
知识点一 空间两直线的平行与垂直
知识点二利用空间向量解决线面平行
知识点三利用空间向量解决面面平行
知识点四__利用空间向量解决垂直问题(_
知识点五利用空间向量解决面面垂直
知识点六 利用空间向量解决探索性问题
【知识区】
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.
(2)一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有无数多个,任意两个都是共线向量.
2.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则
(1)线线平行:
l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R;
线面平行:
l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0;
面面平行:
α∥β⇔u∥v⇔u=kv,k∈R.
(2)线线垂直:
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;
线面垂直:
l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R;
面面垂直:
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m⇔n=λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
2.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量:
l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称
为直线l的方向向量,与
平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
(2)①定义:
与平面垂直的向量,称做平面的法向量.
②确定:
设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为
.
3.空间位置关系的向量表示
4.空间向量与空间角的关系
(1)两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹角为θ,则cosφ=|cosθ|=
(其中φ为异面直线a,b所成的角).
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=
.
(3)求二面角的大小
a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈
,
〉.
b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉.
4.点到平面的距离的求法
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d=
.
知识点一 空间两直线的平行与垂直
【参考知识点】
(1)线线平行:
l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R;
线线垂直:
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;
【例1】 设a,b是不相交的两条直线l1,l2的方向向量,试判断下列各条件下两条直线l1,l2的位置关系:
(1)a=
,b=
;
(2)a=
,b=
;
(3)a=
,b=
.
【实践区】
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