先把教科书读厚再把教科书读薄.docx
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先把教科书读厚再把教科书读薄
先把教科书读厚,再把教科书读薄——
例谈基于教科研读的教学设计
(一)
我是编教科书的,今天讲得内容自然要和教科书挂钩!
平时又比较喜欢听课,在听课的过程中必然会涉及教科书的编写。
怎么去解读教科书?
怎么去理解教科书?
怎么去用好教科书?
这都是我们老师平常在上课时总会碰到的一些实际问题。
所以今天我们谈一谈怎么样先把教科书读厚,再把教科书读薄地过程。
这句话其实大家都很熟悉。
不光是教科书,所有的书都有这样一个过程。
有的是先读厚再读薄,有的是先读薄再读厚,这是角度不同。
那么我作为一个教科书编写者,直到现在我也不敢说把教科书先读厚了再读薄了。
我会通过一些例子和你们进行交流。
平时我们在教学设计的时候怎么样看教科书,怎么样利用用好教科书。
那对于同样的一本教科书上的内容,不同的老师有不同的解读方式,有不同的设计方式,可能最后会取得不同的效果。
我们人教社去昆明参加了观摩课,其中不乏有很多很精彩的课,但也看到了一些问题。
我想这些课精彩在哪儿?
问题又出在哪儿?
我们可以从这些方面去看。
首先,这一节课对于数学知识,或者说我们现在所讲的技能、知识、数学思想、数学活动经验,关于数学方面的这些东西,老师有没有一个本质的理解,理解又是不是深刻到位。
毫无疑问,数学老师必须要对数学形成一个本质的理解。
很多出问题的课,是因为老师可能对数学知识理解的程度不够到位。
第二,我们在教学的时候,必然会用到教科书,那么对于教科书上的这些呈现方式、素材,老师怎么去理解、使用,这是很重要的。
第三,教学设计。
有了教科书的素材以后,怎么进行教学设计。
我们大家都知道进行教案设计时,首先是基于教科书,教科书上的内容是以怎么样的方式展开呈现。
但当你真正具体教学时,肯定不会完全按教科书进行设计,你会设计一些情境,或者说用不同的切入方式、展开模式,所以这样的教学设计和教材又是不完全一样的。
有了好的教学设计以后,到实施时,我们会发现很多时候教学设计是比较理想的,会出现很多问题。
我们也会看到,老师在实施的时候会反射,从他的教学行为投射出平时教学的一些问题。
对我来说冲击最大的,就是学生观。
我们教学展示到底是为了展示教案还是教学设计,抑或是学生这堂课上得到的东西?
他得到了什么发展?
状态是怎么样的?
他们的这种好奇心、探索精神有没有在这些课上被激发出来?
老师在上课的关注点是在想着教案走到哪儿了,还是学生是怎么回答这个问题的?
当学生回答的这个方式跟你预想的不一样的,怎么去利用这些资源?
其实这是一个关于教师本质的问题:
我们教学到底是为了什么?
另一个问题是老师的调控能力,当这些意外在课堂上产生时,怎么样去进行生成?
有时候,这些错误的资源或者节外生枝的东西,往往会给你提供更好的资源。
如果抓住这些机会,老师的课会非常精彩。
这两天在这些课上,感触非常深是反馈。
老师们的反馈太简单了,太苍白了,太无力了。
老师有时候不太会去关注学生说什么,学生回答的跟你预想的不一样,会说请坐。
接着问其他的学生,总想得到自己预想的结果。
对于学生的反馈,不对哪儿?
好在哪儿?
没有这些精细的分析,往往用“你很棒”、“你很聪明”之类,其实这些反馈在现在的课堂上是苍白无力的。
所以我想还有很多事情等待我们去做,去改变。
今天主要谈三个话题。
第一,怎么样看待教科书?
第二,怎么样把教科书读厚?
第三,怎么样把教课书读薄?
怎么样看待教科书?
我想从一个例题的教学说起。
这个例题其实是我们前不久在浙江省教研室合作的微课的一个项目,现在我们正不断地开发数字化新的产品。
在开发微课时会涉及两个维度,第一个是技术方面,我们的微课呈现方式是什么?
微课呈现方式我们可以不考虑,最重要的还是这些微课要设计成什么样,想要设计得精彩。
有时候方式或许没有花里胡哨,但是却把知识的来龙去脉讲得非常清楚,过程也展开得非常清楚,这很重要。
个人觉得这是把微课做好的核心。
再来看这道例题,当时我在省的一个微课,因版权问题,我只是把流程展示出来,这里面和我们教科书有关的,和教科书的编写意图有关的,老师在理解这个教材的时候,当然会产生了一些的误差,有的时候是教材编的不够明确,或者说教材编的不够完善。
大家看一看具体的例题:
有一个孩子说,我五投三中,另外一个孩子说我六投四中,那么老师现在提出一个问题,他们谁投得准一些?
这是一个什么问题?
就是求一个数是另一个数的几分之几,然后进行比较。
那么有的孩子说,三除以五等于五分之三,四除以六等于六分之四。
另外有一种孩子说,三除以五他得到了小数的结果,到此为止,大家认为这个问题解决了吗?
如果是解决谁投得准一些,显然已经解决。
这个时候老师又说,我们可以写成百分数,通过百分数的大小比较。
这样的学过程大家应该能明白了吧,可以通过三种方式,一种分数,一种小数,一种百分数。
为什么我们要用百分数?
我们看看教材的问题是什么?
他们两人的命中率分别是多少?
谁的命中率高?
这两个问题有什么区别?
命中率指的指的是一个数占另一个数的百分之几,所以如果要求命中率,必须把结果转化成百分数。
百分数只有在求命中率的时候才有这种需求,把教材上的问题用那样一种方式呈现,百分数出现的需求就不存在。
当老师改造教材的时候,换一种说法就会出问题。
这个例题中间,知识点有哪些?
分数大小比较、通分、小数分数互化、去近似值,还有百分率的理解。
所以在这个问题中,新的知识点有两个:
1.求一个数是另一个数的百分之几是多少?
这是过去的一类的实际问题的解决。
2.分数、小数化为百分数的方法。
用过人教版教材的老师应该记得,过去教小数、分数、百分数的互化是怎么教的,它用了四个例题。
第一个例题是小数化为百分数,第二个例题是百分数化为小数,第三个例题是分数化为百分数,第四个例题是百分数化为分数。
那现在为什么要这样改编,我想最主要的原因是要突出转化的必要性。
过去我们的例题是直接指令性的,比如“请你把这个小数改写成百分数”。
做了这样的修订后,我们知道把分数和小数化成百分数是实际的需要,因为题目最后的结果要用百分数表示,不能用分数和小数表示。
那么什么情形下需要将百分数化成小数或分数呢?
最直接的应用就是求一个数的百分之几是多少。
如果说五十乘上百分之五十,如果不把百分之五十写成分数,你是不会计算的。
这个时候才有要把一个百分数化成小数或者分数的需求。
所以我们把这两点知识融合起来,就是为了体现出分数、小数化百分数的需求性。
而在后面的一个例题里是求一个数的百分之几是多少的时候,要把百分数化成分数或者小数,所以背景交代清楚很重要。
那么为什么在编写教材的时候,左边编写的是小数化百分数,右边编写的是分数化百分数?
因为三分之二除不尽。
先教小数,然后再去解决三分之二的问题。
所以就这么简单的一道问题,由于问题提出的方式用左右编排的形式也很有讲究。
如果老师在这样一道例题上理解不到位的话,可能就会在教学设计上出问题。
如今是一个大数据的时代,是一个数字化的时代,是一个云计算的时代,怎么样来看待新时代下教科书的功能?
知识的来源不再像之前一样只来源于教科书了,我们可以从手机、网络及各种地方获取。
现在这些孩子得到的信息容量远远超过我们上学的那个时候。
过去我们教科书的呈现方式是静态的、呆板的。
科技在进步,我们的生活方式在改变,对于孩子而言,教育也一样。
教与学的方式发生了很大的变化,我们现在用微课的形式、慕课的形式、翻转课堂的模式,最近开始出现弹幕的形式。
这些方式都冲击着我们传统教育学的方式。
那么我们传统的教科书,它的作用和定位怎么样去鉴定,给我们提出了很多思考的空间。
我们是编纸质教科书的,但是当这些新技术来临的时候,将来我们用什么样的方式去呈现?
那么教材到底是什么东西?
数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题,基本线索和知识结构,是实现数学课程目标,实施数学教学的重要资源。
所以这是一个重要资源,不是唯一的资源。
我们的教材也不光是教科书,还有很多其他的教学材料。
我们给孩子的学习提供了一个主题、基本的线索和知识结构。
我们的教材不能完全和教学过程一样,教材是很难完全教学过程化的。
在教学中,我们看到的现象是什么?
有时候老师特别忠实于教材,这是多年以来的文化影响。
在过去的年代,中国人所用的教学材料甚少,只有教科书,以至于老师对教材看得特别重,教材怎么说的上课就必须怎么说,非常忠实于教材。
我们看到特别忠实于教材的这种教学设计,教学往往变成了教材静态内容的一种分布呈现。
我们要从“教教材”到“用教材教”,这句话大家耳熟能详,是不是真正的实现转换了呢?
我们是不是真的在用教材教了呢?
我们有没有建立起一个特别好的教材观?
这才是一个基本的载体、基本的素材,在研究调查时要研究显性的材料背后的一些东西,包括它所蕴含的这些数学思想方法和知识点的建构。
大家回忆一下刚才那道例题,就这么呈现出来的,就是求命中率,大家有没有体会到为什么要用命中率引入。
所以理解这个教材不要再像过去那样“教教材”而是“用教材去教”。
能在教材的基础上有所发挥,并规避教材中一些不太合适的地方,让它创造得更好。
这样完美的转化我们是不是实现了?
今天听完课以后,我们有很多感概。
“鸡兔同笼”问题,这个内容原来是放在六年级的,现在提到了四年级。
首先要想为什么要叫“鸡兔同笼”问题?
“鸡兔同笼”问题是干什么的?
我们可以看整个教材的呈现过程。
首先呈现了古代经典《孙子算经》上面的一个鸡兔同笼问题,这是一个比较复杂的35个头,94只脚的问题。
学生在解决的时候,老师让学生猜测可能有几只鸡几只兔子,有的孩子猜12只鸡,23只兔子。
这个时候老师就停止了,为什么不让学生继续猜?
算一算有多少只脚呢?
为什么要在这个时候停止?
大家都去猜,就会有各种猜法。
这个问题很复杂,我们来解决一个更简单的问题。
教材是有这样一种思路,就是遇到一个难的问题时要化繁为简,来解决一个相对简单的问题。
在解决8个头26只脚这样一个简单问题的时候,怎么样发现鸡和兔的只数,这个时候其实还是猜。
有的猜是6只鸡、2只兔子,有的猜是3只鸡、5只兔子。
可以让孩子去经历这样一个过程,但是今天这堂课所有的过程都是老师带着孩子。
我们怎么样不重不漏地把所有可能性列出来?
其实无论做教学设计,还是做数学知识都是一样的,但如果把这个过程交给孩子完成,孩子会得到各种各样精彩的结论。
他们会逐渐地从一些没有规律的想、无序的思考,慢慢地过渡到有序的思考。
一旦这个过程由老师包办代替,整个孩子的这种状态便不会激发出来。
所以同样的内容,我们都是从经典的问题到简单的问题,总体的教学设计的流程是一样的,但是由于在设计的时候,有些结论性的话是老师说的,还是学生说的?
这就变成了完全不同的实施了。
我想课堂的精彩程度效果以及一个孩子在其中得到的了什么,这是很重要的。
如果孩子只是跟着老师走,那么他下次见到这些问题时还是不会。
所以我们就是要让孩子在猜的过程中去发现,当鸡的只数减少,兔子的只数增加时,每把一只鸡换成一只兔子,脚就增加了两只。
当发现这个规律以后,再去探索方法,一切就水到渠成了。
三方面,课标,教材,还有课堂教学。
教材是根据课标的这种思想编写的,课堂教学一方面是参考教材,更多的是在课标的理念下去实施,课标作出修改,教材就要作出修改,这三方面互相形成作用。
不管它怎么影响,我想到三个方面。
第一,社会的需要。
社会需要孩子掌握什么东西?
第二,数学的特点。
我们要让孩子了解数学的什么?
第三,儿童的认知,尤其是小学,我们在安排各部分内容的时候,要符合儿童心理发展的阶段。
不管课标,教材,还是课堂教学,这三方面都是必须要考虑的。
我想最后的评判标准就是看孩子,不是看老师在课上表演得多好,而是看孩子在课上的精神状态。
我们经常会看到一些什么课?
孩子一开始特别兴奋,尤其在暖场的时候,可是上着上着,孩子的这种状态降下来。
大家都听过很多课,很多课把孩子本来有一点清晰的概念教糊涂了。
“以学定教”其实很简单,关键看孩子的状态,先不说孩子获得了多少,只看他的这种态度情感、探究的欲望、兴趣有没有提高。
这其实是一个很重要的指标。
老师在教学时有一个好的教材观,是非常重要的。
第二,怎么要把教科书读厚?
我们中国的教科书有多厚?
我特意找了到一套美国教科书。
我们两套教材加起来,跟它一样高,当然也有纸张的问题。
我们的教科书的确不厚,但其中承载的东西很多。
实际上在评价中国教育时都觉得我们中国的数学内容多,这种情况下我们怎样把我们的教科书读厚,把它里面的东西充分挖掘出来?
第一点就是怎么样充分利用教材所提供的素材。
举几个简单的例子,比大小的时候出现了一个主题图,3只猴子在吃水果,里面有一些桃、梨、香蕉。
教材上就把3只猴子和桃建立一对一关系,和香蕉也建立这样的关系,然后引出同样多,多些少些。
有的老师因为教材是这么编的,照搬不误。
实际上这些素材中,还有很多可以用的素材,比如桃和香蕉的比较、桃和梨的比较、香蕉和梨的比较,当然也有很多老师会做这样的挖掘。
第二点就是要从理解性的角度去理解知识定位,加强横纵联系。
任何一个知识点都不是孤立的,尤其在我们小学数学中,有些看似很简单的知识点,实际上它都是跟各个知识点之间有网络状的千丝万缕的联系。
举一个简单的例子,分解质因数。
现在在教材中不作为正式的教材内容,我们向课标的专家提出,希望能把分解质因数作为正式的教学内容。
理由其实是因为前概念和后概念之间的相互联系性。
我们小学相关的知识怎么和分解质因数产生联系。
大家都知道,我们在教因数和倍数单元的时候,首先教的是2、5、3倍数的特征。
那么大家有没有想过,为什么要教2、5、3倍数的特征?
只是为了了解这个知识点吗?
过去实际上是为了分解质因数时能够比较快地分解。
质数和合数在课标里是有的,什么是质数?
什么是合数?
了解这些有什么用?
互质和质数没有关系。
有了质数和合数的概念以后,才有分解质因数的概念。
要把一个合数分解成若干个质数相乘的积,这时候才会用到基数和。
还有一些细节,比如我们在讲分数化成小数的时候,在这些题目里面有一个要求“能够化成有限小数的化成有限小数,不能化成有限小数的保留两位小数”。
怎么判断能不能化成有限小数呢?
过去有一条的规则“这个数里面除了2、5以外,没有其他的质因数,就是可以化成有限小数的。
如果还有其他的质因数,是不能化成有限小数的”。
现在没有分解质因数,这一条就不存在,没法判断。
所以只是一个题目的要求,由于缺少了分解质因数这样一个知识点,就没有办法去操作。
更不用说分解质因数的思想、方法,以及将来到中学后要学的因式分解。
不会因式分解就不会解高次方程,不会进行分式的运算。
所以小学的知识不只是和小学的相关知识有联系,还和中学的一些思想、方法,建立起这样的联系。
有时候你发现,当一个知识点忽略后,整个网络链条就断掉了,所以我想我们在理解一个知识点的时候要瞻前顾后、左顾右盼,不只要理解在同一个知识领域,还有不同领域里头的。
比如数与计算的领域里面,前面要有怎么样的铺垫,建立什么样的基础,后面为什么内容做准备。
知识要理清楚,还有左右关系。
最简单的例子,扇形统计图。
首先要知道扇形。
扇形是什么内容?
扇形是几何的内容,图形与几何的内容。
要知道百分数,我们在认识扇形统计图的时候,经常用百分数解决实际问题。
百分数是什么内容?
数与代数的内容。
所以在扇形统计图这样简单的内容里,其实包含了数与代数、图形与几何、概率统计,这三方面内容。
再举一个例子,有余数除法。
在二年级下册开始学习有余数除法。
为什么要学习有余数除法。
很多老师回答不上来。
这是1924年的民国教材,民国教材从一开始引入除法的时候,就用分数来表示。
当数据变大,口算能力不够,要进行笔算的时候,195除以3是整除。
但在除的过程中我们先用190÷3,得到的就是18余1,这就是有余数除法。
当我们要大数据计算的时候,中间过程必须要有余数除法。
所以我以前编教材的时候,一直在迷惑这个问题,为什么前面要用余数除法,后面就用小数来表示了?
因为没有学有余数除法,这个问题是解决不了的。
那么在这个问题中,在进行除数是一位数的除法时,涉及到什么知识?
表内的乘除法及两位数的加减法。
如果编教材的时候把这两个内容顺序变化了,那就麻烦了,所以搭建教材结构的时候,特别容易出现漏洞。
有时候漏掉一个,后面全都没用了。
再看除数是两位数的时候,同样是有余数除法。
大家都知道两位数乘除一位数的口算,课标从第二学段移到了第一学段,就是因为这样一种情况。
13乘5这样的计算在我们的除法过程中,这是笔算除法,但是里面有口算乘法。
因此这些内容在相关的地方要有铺垫。
有余数除法和整除有本质的区别吗?
有的老师说我们有两种除法,一种是整除,一种是有余数除法。
怎么样去理解余数的概念?
余数能不能是零?
老师们觉得余数可以为零吗?
可以!
可以比除数大吗?
余数其实是可以比除数大的,只不过在大的时候,还要再继续除。
现在我们理解的余数就是那个最终不能再被除的余下来的数。
但实际上,我觉得我们应该用一种更一般的角度去理解余数,就是剩下来的数。
我们不要特别绝对化,包括问能不能是零。
我觉得像这样的问题反映了大家在学术上特别较劲,其实是没有多大意义的。
要理解余数的真正意义是什么。
除法的本质就是分。
怎么分?
要平均分,平均分才可以用除法。
那么分的结果会怎么样?
有的时候分完了,余数是0了,这就是整除。
有余数除法和整除是完全没有冲突的概念。
那么怎么样去处理好教学的层次?
我们在教材上编写了四个例题。
老师们有没有理解为什么要编四个例题?
每一个例题他的教学要点是什么?
第一个例题就是刚才我讲的。
我们突出除法的本质,除法的本质就是平均分。
最终的余数为什么要比除数小?
这不是规定,是归纳。
那么例3要从分到算。
例2用小棒摆正方形。
为什么商要大于1,余数要大于0。
当这个数越来越大的时候,每次都是画图去圈,显然不是好方法。
竖式计算其实就很简单,口算不够就要用笔算。
有的是用短除的方式,各种各样。
于是在列竖式里,就出现了一个新的数。
我们是先出现有余数除法的竖式,然后再出现整除的竖式,这个过程跟过去不太一样。
所以从这点上也可以看出,有余数除法才具有一般性,而余数是0的是有余数除法的特殊性。
最后例4才是从算理慢慢过渡到算法,为什么可以这样去算,怎么样去算,这就是算法总结的道理。
这样的四道例题的层次就很清晰。
我想理解教材应该从前后知识的关系去理解。
混合运算和运算定律天天在用,为什么在学完了10以内加减法后安排连加、连减、加减混合的学习?
我们在做进位加的时候就是在做连加,在做退位减的时候就是在做连减。
所以一年级上册的时候,连加、连减、加减混合主要的目的是为这做铺垫的,不一定是从算法上做铺垫,而是从思路上。
课标里写得非常详细,第一学段和第二学段中关于混合运算有什么样的要求。
为什么在小学阶段要学习混合运算?
价值何在?
混合运算只是为了解决实际问题吗?
大部分老师认为是为了列综合算式解决实际问题;有的老师想到了更复杂的问题,如当学生算不出来能列方程时是不是只能列出一个混合运算的方程;有的老师说为了思维的完整性,当我们用综合算式来想问题时,思维要高度抽象,更加完整,这些都是理由。
那我们要追问,是不是我们在解决实际问题的时候,就不再要求列综合算式了呢?
如果不要求的话,将来孩子遇到实际问题时,列综合算式的能力会大大下降。
举个例子:
苹果每千克7.8元,梨每千克6元,妈妈买了4千克苹果和4千克梨,一共花了多少钱?
列式有不同的方法,题目里隐含了运算定律、乘法分配律。
解决这样一个问题,我们可以不列综合算式,可以分步解决。
说到方程,如果是这样一类题目:
苹果每千克7.8元,梨每千克6元。
妈妈买了6千克苹果,还买了一些梨,一共花了70.8元。
妈妈买了多少梨?
这个时候列方程。
这个方程是不是要用综合方式?
没有必须。
我们可以这样分步算,列一个最简单的方程。
所以运算、混合运算、运算定律,我们从名词上就可以看到,都是为运算服务的。
那么运算不只是小学的事情,小学更多的是算术,到了中学以后,如果我们都用字母表示,这个时候还能分步吗?
不能分步了。
因为算不出来,所以这个时候就需要用这种综合的方法来呈现。
作者:
丁国忠(人民教育出版社小学数学室编辑,副编审)
先把教科书读厚,再把教科书读薄
——例谈基于教科研读的教学设计
(二)
通过这种通分的方法,像上面那种就是分步计算的方法,如果你列成下面这种方式,那它其实就是综合算式。
如果说是a/12和b/15相加,只能列成这样一个综合算式,这样的情况我们在通分的时候需要加上小括号。
那为什么要加上小括号呢?
就是为了要保证先算a+b,为了保证先算的层次,如果是这样一种情况,又涉及到了运算定律,提公因式其实就是运算定律乘法分配律的应用。
所以我们在分式运算的时候会大量地用到字母运算,如果你在小学,对这种先算什么后算什么搞不清楚的话,将来到中学的分式运算一定会跌跟斗。
所以我想,这个混合运算的主要目的不是为了解决实际问题,但是它对于将来中学的学习有这么重要的作用,所以我们在小学时一定要让孩子学会用一个综合算式的方法,一个正确的综合算式把你解决问题的多个步骤同时表示出来。
在一个混合算式中间,先算什么再算什么,和你解决问题的时候先求什么再求什么统一起来,所以这是非常重要的。
第三点,把书读厚的想法,尽量去挖掘数学知识背后的数学思想。
实际上我看小学数学很多地方到处都充满了数学思想,而且这种数学思想不是孤立的,往往是融合在一起的。
比如六年级下册的例题,关于数学思考方面的整理和复习。
6个点可以连多少条线段?
8个点呢?
孩子在解决问题的时候,就画6个点、8个点,然后一片混乱。
我们先不解决这个问题,先看看这个问题有没有碰到过,在前面学排列组合的时候就碰到过这样的问题。
“4个队踢球,每两个队踢一场,一共要踢多少场?
”我们可以用这种方法(PPT呈现),实际上右边这种方法是更加有序的一种方式,而左边的方法如果对它进行抽象化、数学化,我们往往不是从一个点出发画两三条线段,而是每两个点之间先连起来,最后看看哪两个点之间还没有连,再连起来。
这两种模型实际上孩子的思路,不太一样,如果要保证不重不漏应该是右边的更加一般化的方法。
前不久在微信上看到的一篇文章里面的一个图(PPT呈现),25个点之间互相连接,图形很美,80个点连出来更美。
那么这里面到底有多少条线呢?
用你们的模型解释一下为什么是这么多。
80个点之间可以连多少条线段?
怎么解决这个问题?
其实这个方法,不管点是在圆上均匀的还是随意散乱的,都跟解决这个问题是没有关系。
当你在解决6个点、8个点的时候,觉得太乱数不过来怎么办?
我们从简单的出发,就是化繁为简。
最简单的方法就是从两个点开始,逐渐增加点数,随着点的增加,它的条数有什么变化呢?
我们的教学过程,其实跟我做的PPT一样,把这个过程展现出来。
从第一个数到第二个数,从第二个数到第三个数、第四个数,有这样的一个变化,那我为什么要加2、加3、加4?
这只是从现象上看到这样一个数的变化规律。
为什么加2?
我记得教材上是用虚线的方式来呈现的,每增加的那个点的前面的所有各点要连起来,那么这是多少条呢?
如果是N个点,就是N-1条,从这种特殊的事例得到一般化的一个公式,所以如果是80个点的话,应该是从1加到79,那这个数到底是多少,我们不要求孩子用一个公式计算。
如果是N个点就是N-1,那么N-1个数的连续自然数相加是(n-1)*n/2。
这个公式还可以怎么解释?
有一次培训,我问老师有多少个点,有的老师就回答(n-1)*n。
为什么?
减一个点,连接的线段会有会重复,所以要除以2。
(n-1)*n/2 不是n-1的连续自然数之和公式的推导,而是另外一种解释的模型,所以这里有数形结合,有推理。
我们从若干具体的规律得到一般性的规律,然后再去解决,那就是一般性的规律应用到具体的情景,因此这里也有归纳推理,有演绎推理。
再来看另外一个问题,从北京到杭州坐高铁,这趟列车七个站,所有车站一共要卖多少种不同的车票?
看起来跟前面这些问题都没有关系,刚才我们解决的是排列组合问题,这是一个卖车票问题,看上去没有关系,实际上模型就是这个模型,只不过把线变成了双方向的线。
这就是数学的模型的思想。
第四个方面,就是关注过程性,帮助学生积累数学活动经验。
我们的教学,一定是动态生成的,关注孩子的数学素养方面的变化的过程,所以我们现在非常强调让学生去积累数学活动经验。
那怎么样积累学生的数学活动经验?
不是说设计一个活动,今天就要培养这些经验,而是通过各种细节的地方,一点一点地试图渗透。
比如我们教“圆”时,就是利用圆来创造、设计美丽的图案
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