版高中数学 第二章 数列 231 等比数列二 学案 新人教B版必修5.docx
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版高中数学第二章数列231等比数列二学案新人教B版必修5
2.3.1 等比数列
(二)
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
知识点一 等比数列通项公式的推广
思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形:
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
等比数列也有类似变形吗?
思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为an=dn+a1-d,其单调性由公差的正负确定;等比数列的通项公式是否也可做类似变形?
梳理 公比为q的等比数列{an}中,an=a1qn-1=·qn.{an}的单调性由a1,q,q-1共同确定如下:
当或时,{an}是递增数列;
当或时,{an}是递减数列;
q<0时,{an}中的项交替为正值或负值;
q=1时,{an}是常数列.
知识点二 由等比数列衍生的等比数列
思考 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8,下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列;
(2){3+an}是等比数列;
(3){}是等比数列;(4){a2n}是等比数列.
梳理
(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项:
ak1,ak2,ak3,…,akn,…,若k1,k2,k3,…,kn,…成等差数列,那么ak1,ak2,ak3,…,akn,…是等比数列.
(2)如果{an},{bn}均为等比数列,那么数列{},{an·bn},{},{|an|}仍是等比数列.
知识点三 等比数列的性质
思考 在等比数列{an}中,a=a1a9是否成立?
a=a3a7是否成立?
a=an-2an+2(n>2,n∈N+)是否成立?
梳理 一般地,在等比数列{an}中,若m+n=s+t,则有am·an=as·at(m,n,s,t∈N+).
若m+n=2k,则am·an=a(m,n,k∈N+).
类型一 等比数列性质的应用
例1 已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
反思与感悟 在等比数列的有关运算中,常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,通过本例可以看出:
结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
跟踪训练1
(1)在递增等比数列{an}中,a1a9=64,a3+a7=20,求a11的值.
(2)已知数列{an}成等比数列.若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.
类型二 灵活设项求解等比数列
例2 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
反思与感悟 合理地设出所求数中的三个,根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键,一般地,三个数成等比数列,可设为,a,aq;三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d.
跟踪训练2 三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.
类型三 等差数列与等比数列的综合应用
例3 设数列{an}的前n项和Sn=n2,数列{bn}满足bn=(m∈N+).
(1)若b1,b2,b8成等比数列,试求m的值;
(2)是否存在m,使得数列{bn}中存在某项bt满足b1,b4,bt(t∈N+,t≥5)成等差数列?
若存在,请指出符合题意的m的个数;若不存在,请说明理由.
反思与感悟
(1)在等差数列与等比数列的综合问题中,特别要注意它们的区别,避免用错公式.
(2)方程思想的应用往往是破题的关键.
跟踪训练3 已知{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项公式an及Sn;
(2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式.
1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为( )
A.2B.3
C.4D.8
2.在等比数列{an}中,an>0,且a1·a10=27,则log3a2+log3a9等于( )
A.9B.6
C.3D.2
3.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为________.
4.已知an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列?
1.解题时,首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法,指应用通项公式、前n项和公式、等差中项、等比中项等列出方程(组),求出基本量.
3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在等比数列中,由通项公式an=a1qn-1,得==qn-m,所以an=am·qn-m(n,m∈N+).
思考2 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
则an=a1qn-1=·qn,其形式类似于指数型函数,但q可以为负值.由于an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1),所以{an}的单调性由a1,q,q-1的正负共同决定.
知识点二
思考 由定义可判断出
(1),(3),(4)正确.
知识点三
思考 ∵a5=a1q4,a9=a1q8,
∴a1a9=aq8=(a1q4)2=a,
∴a=a1a9成立.
同理a=a3a7成立,a=an-2·an+2也成立.
题型探究
类型一
例1 解
(1)∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,
∴a+2a3a5+a=36,
∴(a3+a5)2=36,
又∵an>0,∴a3+a5=6.
(2)把a=a1a3代入已知,
得a=8,∴a2=2.
设前三项为,2,2q,
则有+2+2q=7.
整理,得2q2-5q+2=0,
∴q=2或q=.
∴或
∴an=2n-1或an=23-n.
跟踪训练1 解
(1)∵在等比数列{an}中,a1·a9=a3·a7,
∴由已知可得a3·a7=64
且a3+a7=20.
联立得或
∵{an}是递增等比数列,
∴a7>a3.
∴取a3=4,a7=16,
∴16=4q4,
∴q4=4.
∴a11=a7·q4=16×4=64.
(2)由a3a5=a,得a3a4a5=a=8.
解得a4=2.
又∵a2a6=a3a5=a,
∴a2a3a4a5a6=a=25=32.
类型二
例2 解 方法一 设四个数依次为a-d,a,a+d,,
由条件得
解得
或
所以当a=4,d=4时,
所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,
所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设四个数依次为-a,,a,aq(a≠0),
由条件得
解得或
当a=8,q=2时,
所求四个数为0,4,8,16;
当a=3,q=时,
所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
跟踪训练2 4,8,16或16,8,4
类型三
例3 解 当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=S1=1,符合上式.
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1
(n∈N+).
(1)由bn=(m∈N+)知,
b1=,b2=,b8=,
∵b1,b2,b8成等比数列,
∴()2=×.
解得m=9或m=0(舍去),故m=9.
(2)若存在m,使b1,b4,bt成等差数列,
则2b4=b1+bt,
∴×2=+,
∴t===7+.
由于m、t∈N+且t≥5,
令m-5=36,18,9,6,4,3,2,1,
即m=41,23,14,11,9,8,7,6时,t均为大于5的整数.
∴存在符合题意的m值,且共有8个数.
跟踪训练3 解
(1)因为{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,
所以an=19-2(n-1)=-2n+21,
Sn=19n+×(-2)=-n2+20n,
即an=-2n+21(n∈N+),
Sn=-n2+20n(n∈N+).
(2)因为{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,
所以bn-an=3n-1,
即bn=3n-1+an=3n-1-2n+21
(n∈N+).
当堂训练
1.A 2.C 3.8 4.不是等比数列
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