江苏省高等数学竞赛试题汇总.docx
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江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)
一填空题(每题4分,共32分)
1.
limsinx
sin(sinx)
x
0
sinx
2.
y
ln(x
1
x2),y/
1
x2
3.
y
cos2x,y(n)(x)
4.
1
x
2
xexdx
5.
1
2
1x4dx
6.
圆
2x
2y
z
20
的面积为
x2
y2
z2
4x2y2z19
7.
z
f(2x
y,x),f
可微,
f/
(3,2)
2,f
/
(3,2)3,则dz
(x,y)(2,1)
y
1
2
8.
级数
1
(
1)nn!
的和为
.
n1
2nn!
二.(10分)
设f(x)在a,b上连续,且
b
b
b
f(x)dx
a
a
a,b,使得f(x)dx0
.
a
xf(x)dx,求证:
存在点
三.(10分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2,E为D1C1的中点,F为侧面正方形BCC1B1的中点,
(1)试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。
(2)试求过点A1,E,F的平面截正方
体所得到的截面的面积.
四(12分)已知ABCD是等腰梯形,BC//AD,ABBCCD
8,求
AB,BC,AD的长,使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
五(12分)求二重积分
cos2xsin2ydxdy,其中
D
D:
x2
y2
1,x
0,y
0
六、(12分)求
x2yexdx
x1
ydy,其中
为曲线
x2
x2
0
x
1
从O0,0到A1,
1.
y2
2x1
x
2
七.(12分)已知数列an单调增加,a11,a22,a3
5,,an13anan1
n
2,3,
记xn
1
,判别级数
xn的敛散性.
an
n1
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科三级)
一填空题(每题4分,共32分)
1.
limsinxsin(sinx)
x0
sinx
2.
y
arctanx2
extanx,y/
3.设由xyyx确定yyx,则dy
dx
4.
y
cos2x,y(n)(x)
5.
1
2
xexdx
x
6.
z
f(2x
y,x),f可微,f1
/(3,2)
2,f2
/(3,2)
3
,则dz(x,y)
(2,1)
y
7设f
u,v
可微,由Fxz2,y
z2
0确定z
z
x,y,则z
z
x
y
8.设D:
x2
y2
2x,y0,则
x2
y2dxdy
D
二.(10分)设a为正常数,使得x2
eax对一切正数x成立,求常
数a的最小值三.(10分)设fx在0,1上连续,且
1
1
0,1,使得f(x)dx0.
f(x)dx
xf(x)dx,求证:
存在点
000
四.(12分)求广义积分
1
21x4dx
五.(12分)过原点0,0作曲线ylnx的切线,求该切线、曲线
ylnx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体
积.
六、(12分)已知ABCD是等腰梯形,BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长,使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
七(12分)求二重积分
cos2xsin2ydxdy,其中
D
D:
x2y21,x0,y0
2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
一.填空题(每题5分,共40分)
1.
a
,b
时,lim
ax
2x
arctanx
x
bx
x
2
2.
a
,b
时f(x)ln(1ax)
x
在
bx
1
x0时关于x的无穷小的阶数最高。
3.
2sin2xcos4xdx
0
4.
通过点1,1,
1
与直线x
t,y
2,z
2
t的平面方程为
5.
设z
2x
nz
(2,1)=
x
2
y
2,则
n
y
6.
设D为y
x,x
0,y
1围成区域,则
arctanydxdy
D
7.
设为x2
y2
2x(y
0)
上从
O(0,0)
到A(2,0)的一段弧,则
(yex
x)dx
(ex
xy)dy=
8.幂级数
nxn的和函数为
,收敛域
n1
为
。
二.(8分)设数列
xn
为
x13,x2
33,
xn2
3
3xn(n1,2,)
证明:
数列xn收敛,并求其极限
三.(8分)设f(x)在a,b上具有连续的导数,求证
maxf(x)
1
b
b
/(x)dx
f(x)dx
f
axb
b
a
a
a
四.(8分)1)证明曲面
:
x
(b
acos)cos
y
asin
z
(b
acos)sin
0
2,0
20ab为旋转曲面
2)求旋转曲面所围成立体的体积
五.(10分)函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数,算子
A定义为
A(u)xu
yu,
x
y
1)求A(u
A(u));2)利用结论
1)以
y,
xy为新的自变量改
x
变方程x2
2u2xy
2u
y2
2u
0
的形式
x2
xy
y2
六.(8分)求lim
1
t
t
sin(xy)2dy
dx
t
0
t6
0
x
七.(9分)设
:
x2
y2
z2
1(z
0)的外侧,连续函数
f(x,y)2(x
y)2
x(z2
ez)dydz
y(z2
ez)dzdx
(zf(x,y)
2ez)dxdy
求f(x,y)
八.(9分)求f(x)
x2(x
3)
的关于x的幂级数展开式
(x
1)3(1
3x)
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)
一.填空(每题5分,共40分)
1.
2.
f
x
ax3
,lim
14lnf1f2
fn
n
n
1
x
e
tx2
1dt
lim
x
5
x
00
3.
1arctanx2dx
0
2
1x
4.
已知点A4,0,0
B(0,
2,0),C(0,0,2),O为坐标原点,则四面体OABC
的内接球面方程为
5.
设由x
zeyz确定z
z(x,y),则dze,0
6.
函数f
x,yex
axb
y2中常数a,b满足条件
时,f1,0为其极大值.
7.设是yasinx(a
0)上从点
0,0
到
0的一段曲线,a
时,曲线积分
x2
ydx
2xy
ey2
dy取最大值.
8.级数
1
n1
n1
n
条件收敛时,常数p的取值范围是
n1
np
二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经
2
小时到
达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为
100公里/小时,
求证:
该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于
200公
里/小时3
三.(10分)曲线
的极坐标方程为
1cos
0
,求该曲
2
线在
所对应的点的切线L的直角坐标方程,并求切线
L与x
4
轴围成图形的面积.
四(8分)设f(x)在
上是导数连续的有界函数,
fxfx
1,
求证:
fx
1.x,
五(12分)本科一级考生做:
设锥面
z2
3x2
3y2(z0)被平面
x3z40截下的有限部分为.
(1)求曲面的面积;
(2)用
薄铁片制作的模型,A(2,0,23),B(1,0,3)为上的两点,O为原
点,将沿线段OB剪开并展成平面图形D,以OA方向为极坐标
轴建立平面极坐标系,写出D的边界的极坐标方程.
本科二级考生做:
设圆柱面
x2
y2
1(z0)
被柱面zx2
2x2截下
的有限部分为.为计算曲面
的面积,用薄铁片制作
的模型,
A(1,0,5),B(1,0,1),C1,0,0为
上的三点,将
沿线段BC
剪开并展成
平面图形D,建立平面在极坐标系,使D位于x轴正上方,点A坐标为0,5,写出D的边界的方程,并求D的面积.
2
六(10分)曲线x2z绕z轴旋转一周生成的曲面与z1,z2所
y0
围成的立体区域记为,
本科一级考生做
本科二级考生做
1
x2y2z2dxdydz
x2y2z2dxdydz
七(10分)本科一级考生做
1)设幂级数
an
2xn的收敛域为1,1,
n1
求证幂级数
anxn的收敛域也为
1,1;2)试问命题
1)的逆命
n1
n
题是否正确,若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:
求幂级数
n
2n
的收敛域与和函数
n12
nx
1
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
一.填空(每题5分,共40分)
1.
2.
3.
lim
12
22
n2
3
2
3
2
3
2
n
n
1
n
2
n
n
lim
x1
e
t2
1dt
0
x
3
x0
lim
x2
3x
2ax
b
0,则a,b
x
4.
fx
1
xx2esinx,f
0
5.
设由x
zeyz确定z
z(x,y),则dze,0
6.函数fx,yexaxb
y2中常数a,b满足条件
时,f
1,0
为其极大值.
7.交换二次积分的次序
2ex
e
x,ydy
.
dx1
f
1
x
8.设D:
2x
x2
y2,0
yx
2,则
1
dxdy
D
x2
y2
二.(8分)设f
x
ax2
bsinxc
x
0,试问a,b,c为何值时,fx
ln1x
x
0
在x0
处一阶导数连续,但二阶导数不存在.
三.(9分)过点1,5
作曲线:
yx3
的切线L,
(1)求L的方程;
(2)求
与L所围成平面图形D的面积;(3)求图形D的x
0部
分绕x轴旋转一周所得立体的体积.
四(8分)设f(x)在
上是导数连续的函数,f00,
fx
fx
1,
求证:
fxex1.x0,
1arctanx
五(8分)求
2dx
01x
六(9分)本科三级做:
设
x
y
tan
x
2
y
2
x,y
0,0,
f
x,y
x2
y2
0
x,y
0,0
证明fx,y在点
0,0处可微,并求df
x,y
0,0
民办本科做:
设圆柱面
x2
y2
1(z0)
被柱面z
x2
2x
2截下的有
限部分为.为计算曲面
的面积,用薄铁片制作
的模型,
A(1,0,5),B(1,0,1),C
1,0,0
为
上的三点,将
沿线段BC剪开并展成
平面图形D,建立平面在极坐标系,使D位于x轴正上方,点A坐标为0,5,写出D的边界的方程,并求D的面积.
七(9分)本科一级考生做:
用拉格朗日乘数法求函数
fx,y
x2
2xy2y2在区域
x2
2y2
4上的最大值与最小值.
八(9分)设D为yx,x
y
0所围成的平面图形,求
2
cosx
ydxdy.
D
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一.填空(每题5分,共40分)
1.fx是周期为的奇函数,且在x0处有定义,当x0,时,
2
fxsinxcosx2,求当x,时,fx的表达
2
式
2.
.
tan2x
limsinx
x
2
3.lim
n
n
n
2
2
2
2
n
n
1
n4
n
n
4.
fxx2ln1x,n2时fn0
ex1x
5.
xex
2dx
6.
n
.
n1n12n
7.设fx,y
可微,f1,2
2,fx1,23,fy
1,2
4,x
fx,fx,2x,
则
1
.
8.
设fx
gx
x0
x1,D为
x
y
,则
1其他
fy
f
xydxdy
.
D
二.(10分)设f
x在a,b上连续,fx
在a,b
内可导,f(a)
a,,
b
fxdx
1b2
a2
求证:
a,b内至少存在一点
使得
a
2
f
f
1
三.(10分)设D:
y2
x2
4,yx,2xy
4,在D的边界yx上任
取点P,设P到原点距离为t,作PQ垂直于yx,交D的边界
y2
x2
4
于Q
1)试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;
2)求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
四(10分)已知点P(1,0,
1),Q(3,1,2)
在平面x
2yz
12上求一点
M,使PMMQ最小
五(10
分)求幂级数
1
n
xn的收敛域。
n1n3n
2
六(10
分)设fx,y可微,
f
1,2
2,fx1,2
2,fy1,2
3,
xf
fx,2x,2fx,2x
,求
1.
七(10分)求二次积分
2
2
2
d
1ed
0
2
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
一.填空(每题
5分,共40分)
1.
f
x是周期为
的奇函数,且在x0
处有定义,当x0,
时,
2
f
x
sinxcosx
2
,求当x
时,f
x的表达式.
2
2.
x
0时,x
sinxcosx与cxk为等价无穷小,则c
3.
lim
tan2x
sinx
x
2
4.
5.
6.
lim
n
n
n
2
2
2
2
n
n
1
n4
n
n
fx
x2ln1x,n2时fn0
ex1
x
x
x2dx
e
7.
zarctanx,dz1,1
.
y
8.
设fxgx
x0x1,D为
x,y,则
1其他
fy
f
x
y
dxdy
.
D
二.(10分)设f
x在a,b上连续,fx在a,b
内可导,f(a)
a,,
b
fxdx
1
b
2
a2
求证:
a,b内至少存在一点
使得
a
2
f
f
1
三.(10分)设D:
y2
x2
4,yx,2xy4,在D的边界yx上任
取点P,设P到原点距离为t,作PQ垂直于yx,交D的边界
y2
x2
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