高中数学 第一章 统计案例 122 独立性检验 23 独立性检验的基本思想 24 独立性检验的应用学案 北师大版.docx
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高中数学第一章统计案例122独立性检验23独立性检验的基本思想24独立性检验的应用学案北师大版
2.2 独立性检验
2.3 独立性检验的基本思想
2.4 独立性检验的应用
1.了解独立性检验的基本思想方法.(重点)
2.了解独立性检验的初步应用.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 独立性检验
阅读教材P21~P24第1行部分,完成下列问题.
设A,B为两个变量,每一个变量都可以取两个值,变量A:
A1,A2=
1;变量B:
B1,B2=
1,有下面2×2列联表:
B
A
B1
B2
总计
A1
a
b
a+b
A2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
其中,a表示变量A取A1,且变量B取B1时的数据;b表示变量A取A1,且变量B取B2时的数据;c表示变量A取A2,且变量B取B1时的数据;d表示变量A取A2,且变量B取B2时的数据.
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关:
________(填“是”或“否”).
【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目,即
=
,
=
,两者相差较大,所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.
【答案】 是
教材整理2 独立性检验的基本思想
阅读教材P24“练习”以下至P25“练习”以上部分,完成下列问题.
在2×2列联表中,令χ2=
,当数据量较大时,在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断:
(1)当χ2≤2.706时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;
(2)当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联;
(3)当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联;
(4)当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联.
对分类变量X与Y的统计量χ2的值说法正确的是( )
A.χ2越大,“X与Y有关系”的把握性越小
B.χ2越小,“X与Y有关系”的把握性越小
C.χ2越接近于0,“X与Y无关系”的把握性越小
D.χ2越大,“X与Y无关系”程度越大
【解析】 χ2越大,X与Y越不独立,所以关联越大;相反,χ2越小,关联越小.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
___________________________________________________
解惑:
___________________________________________________
疑问2:
___________________________________________________
解惑:
___________________________________________________
疑问3:
___________________________________________________
解惑:
___________________________________________________
[小组合作型]
2×2列联表
在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁以上的70人,六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主,另外27人则以肉类为主;六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表,并利用
与
判断二者是否有关系.
【精彩点拨】
→
→
→
【自主解答】 2×2列联表如下:
年龄在六
十岁以上
年龄在六
十岁以下
总计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
总计
70
54
124
将表中数据代入公式得
=
≈0.671875.
=
=0.45.
显然二者数据具有较为明显的差距,据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.
1.作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.注意应该是4行4列,计算时要准确无误.
2.利用2×2列联表分析两变量间的关系时,首先要根据题中数据获得2×2列联表,然后根据频率特征,即将
与
的值相比,直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,但方法较粗劣.
[再练一题]
1.在一项有关医疗保健的社会调查中,发现调查的男性为530人,女性为670人,其中男性中喜欢吃甜食的为117人,女性中喜欢吃甜食的为492人,请作出性别与喜欢吃甜食的列联表.
【解】 作列联表如下:
喜欢甜食情况
性别
喜欢
甜食
不喜欢
甜食
总计
男
117
413
530
女
492
178
670
总计
609
591
1200
独立性检验
在500人身上试验某种血清预防感冒的作用,把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较,结果如表所示.问:
能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.
未感冒
感冒
总计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
总计
474
526
1000
【精彩点拨】 独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值,然后和临界值对照作出判断.
【自主解答】 假设感冒与是否使用该种血清没有关系.
由列联表中的数据,求得χ2的值为χ2=
≈7.075.
χ2=7.075≥6.635,
查表得P(χ2≥6.635)=0.01,
故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下,即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用.
1.熟练掌握χ2统计量的数值计算,根据计算得出χ2值,对比三个临界值2.706,3.841和6.635,作出统计推断.
2.独立性检验的一般步骤:
(1)根据样本数据列2×2列联表;
(2)计算χ2=
的值;
(3)将χ2的值与临界值进行比较,若χ2大于临界值,则认为X与Y有关,否则没有充分的理由说明这个假设不成立.
[再练一题]
2.“十一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮,黄金周过后,统计本地与外地来的游客人数,与去年同期相比,结果如下:
【导学号:
67720005】
本地
外地
总计
去年
1407
2842
4249
今年
1331
2065
3396
总计
2738
4907
7645
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为票价上浮后游客人数与所处地区有关系?
【解】 按照独立性检验的基本步骤,假设票价上浮后游客人数与所处地区没有关系.
因为χ2=
≈30.35>6.635.
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为票价上浮后游客人数与所处地区有关系.
[探究共研型]
独立性检验的综合应用
探究1 当χ2>3.841时,我们有多大的把握认为事件A与B有关?
【提示】 由临界值表可知当χ2>3.841时,我们有95%的把握认为事件A与B有关.
探究2 在研究打鼾与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.我们是否可以判定100个心脏病患者中一定有打鼾的人?
【提示】 这是独立性检验,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”.这只是一个概率,即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有.
为了解某市创建文明城市过程中,学生对创建工作的满意情况,相关部门对某中学的100名学生进行调查,其中有50名男生对创建工作表示满意,有15名女生对创建工作表示不满意.已知在全部100名学生中随机抽取1人,其对创建工作表示满意的概率为
.是否有充足的证据说明,学生对创建工作的满意情况与性别有关?
【精彩点拨】 解决本题首先根据对工作满意的概率,确定对工作满意的男女生人数,再画出2×2列联表,最后根据2×2列联表计算χ2,并进行判断.
【自主解答】 由题意得2×2列联表如下:
满意
不满意
总计
男生
50
5
55
女生
30
15
45
总计
80
20
100
χ2=
≈9.091>6.635,
所以我们有99%的把握认为学生对创建工作的满意情况与性别有关.
1.独立性检验的基本思想是:
要确认两个变量有关系这一结论成立的可信程度,首先假设结论“两个变量没有关系”成立,在该假设下我们构造的统计量χ2应该很小,如果用观测数据计算的统计量χ2很大,则在一定程度上说明假设不合理.由χ2与临界值的大小关系,作出判断.
2.独立性检验仍然属于用样本估计总体,由于样本抽取具有随机性,因而作出的推断可能正确,也可能错误,有95%(或99%)的把握说事件A与B有关,则推断结论为错误的可能性仅为5%(或1%).
[再练一题]
3.有两个变量x与y,其一组观测值如下2×2列联表所示:
y
x
y1
y2
x1
a
20-a
x2
15-a
30+a
其中a,15-a均为大于5的整数,则a取何值时,有95%的把握认为x与y之间有关系?
【解】 由题意χ2=
=
=
.
∵有95%的把握认为x与y之间有关系,
∴χ2>3.841,
∴
>3.841,a>7.7或a<1.5.
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