高中新课标数学必修一幂函数.docx
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高中新课标数学必修一幂函数
高中新课标数学必修一2.3幕函数
知识梳理
一.定义
一般地,函数y=√z叫做幕函数,其中X是自变量,α是常数.
函数
>'=兀
>?
=V2
一]
y=x
图
象
-V=<——
0*≡4Cλγ
定义域
R
R
R
[θ,+8)
(-oo,θ)U(O,+s)
值域
R
[θ,+S)
R
[θ,+S)
(-8,0)U(O,+8)
奇函数
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在(-cθ,+oθ)±
单调递增
在(-8,0)上
单调递减
在[θ,+oo)上
单调递增
在(-oθ,÷oθ)Jt
单调递增
在[o,+S)上
单调递增
在(-8,0)上单调递减在(0,+S)上单调递减
公共点
(U)
典例解析
题型一:
幕函数的概念
例1•有下列函数
(Dy=√x;
(2)y=X°;(3)y=2";(4)y=x",J(5)y=3x2;
(6)y=X2+1;
⑺y=_丄.
X
貝中,是幕函数的有(只填序号)•
规律方法:
⑴理解幕函数y=Xa的概念应注意以下几点:
①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且αeR;③
系数为1・
⑵幕函数与指数函数的区别:
指数函数y=ax-自变量(全体实数)
I一底数(大于O且不等于1)
幕函数y=Λ*"常数〔只研究α=l,2,3,―)・1)
I一自变量(与α的取值有关)
例2•已知函数/⑴=(加2_加_1冲-3,加为何值时,f(x):
⑴是幕函数;⑵是幕函数,且是(0,+s)上的增函数:
⑶是正比例函数;
⑷是反比例函数;⑸是二次函数.
规律方法:
本题将正比例函数,反比例函数,二次函数和幕函数放在一起考査,转化为系数和指数的取值问题,要注意区别它们之间的不同点,根据各自定义:
①正比例函^y=kx(k≠0)t②反比例函^y=-(k≠0)t③二
次函数y=^2+^v+c(^≠0);④幕函数y=xα(α是常数)•
题型二:
幕函数的图象
例3•如图所示的曲线是y=Λ"在第一象限的图象,已知αj∙4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的
4
4「
规律方法:
1•農函数的指数与图象特征的关系:
当a≠0,1时爲函数y=屮在第一象限的图象特征:
α取值
a>∖
OVaVl
a<0
y
1/
r,
图象
1
yIA
O
1X
_VLA
——k―≡►
a1X
σ∖∖X
特殊点
过(0,0),(1,1)
过(0,0),(1,1)
过(1,1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=X2
1
y=
1
y=χ~'9y=x2
2・農函数y=xα随着a值的改变图象的变化规律是:
随着a的由小变大■图象在直线X=1的右侧,由低到高.认识幕函数的图象重点在于掌握其特征•对于y=xσ,当QVo时,在第一象限内为双曲线形;当0<αV1
时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α>1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上•
题型三:
幕函数的定义域
例5.求下列函数的泄义域
规律方法:
y=χα的定义域的求法.
α的分类
y=χα的定义域
α为正整数
R
α为负整数
(-8,0)U(O,+S)
a=匕(p、q已Mq
且互质,g>l)
g为偶数
[θτ+θθ)
"为奇数
R
a=-匕(p,qwN"q
且互质,g>l)
g为偶数
(0»+OO)
Q为奇数
(-S,θ)U(O,+8)
题型四:
幕函数的性质及应用
例6•比较下列各组数的大小.
558I8
⑴32与3・12;
(2)-89与一
(一)9;
9
2・-ZT--2.Z丄
(3)(.-)3与(__)3;(4)4∙153∙8∖(-1∙9)5.
36
规律方法:
分类
对象
方法
指数相同,底数不同
aJ—aXl与x2
利用幕函数V=Λ-α的单调性
指数不同,底数相同
αxb与H
利用指数函数y=/的单调性
底数,指数都不同
亦与皆
寻找中间变量bx'⅛,-或0或1
例7•已知幕函数/C)=MiL3,仏UM)的图象关于y轴对称,且在(o,+s)上是减函数:
⑴求/3)的解析式:
Inm
⑵求满足(a+1)~<(3-2«)~的G的取值范味
规律方法:
⑴•单调性:
幕函数y=Λ-α在第一象限的图象特征:
①当Q>1时,图象过点(0,0),(,1,1)递增,如y=疋.②当丄
OVaVl时,图象过点(0,0>(,l,l)递增,如y=x7.@当αV0时,图象过点(1,1)递减,且以两坐标轴为渐进线,如y=x~,.
(2)=xλ的奇偶性的判断方法.
α的分类
y=*的奇偶性
XGN
α是偶数
偶函数
α是奇数
奇函数
a=匕q
(p,q互质
p、q已Z
9是奇数
P是奇数时是奇函数
P是偶数是是偶函数
G是偶数
非奇非偶函数
同步练习
1.选择题
A.-B.4
c∙返
D.y∣2
4
2
2
2•函数y=√的图象大致是(
)
322■
3.a=(-)∖Z?
=(-)∖c=(-)5,则小C的大小关系是()
A.a>c>bB.cι>h>c
4•下列说法正确的有()⑴幕函数的图象均过点(IJ):
⑵幕函数y=χ"1在(-OO)上单调递减,在(0,+s)上也单调递减,因此幕函数
y=r1是左义域内的单调函数;⑶幕函数的图象均在两个彖限岀现:
⑷幕函数在第四象限可以有图象:
⑸当d>0时,幕函数在第一象限内均为增函数:
⑹任何两个幕函数的图象最多有三个交点.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.下列不等式在b 1£22 A.CrX>b^B.a3 6•若OVaV”V1,则下列不等式成立的是() A.(l-α)∣>(l-β)f,B.(l+a)">(l+/"C.(l-a)fe>(l-tι)lD.(l-aj,>(l-^)b 7•图中C1,C2,C3为三个呈函数),=_? 在第一象限内的图象,则解析式中指数R的值依次可以是() A.—1,—,3B.—13—C.—,—1,3D.—,3,-1 2222 y 2 2.填空题 &幕函数y=0屛_伽+1902”T的图象不过原点,则In的值为. 9.函^y=(X-Ip的单调区间为. 10•函数y=(//LV2+4x+2)^2+χ2-InX+1的泄义域为R.则m的取值范囤. 3.解答题 11.已知幕函数/(λ)=丿"'+"F,(加∈7V*). ⑴试确泄函数的定义域,并指明函数在左义域上的单调性; ⑵若该函数还经过(2,λU),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的取值范围. 12.已知幕函数/(Q=疋"八2",(用eZ)为偶函数,且在(0,+OO)上单调递增. ⑴求/(X);⑵设g(x)=JTG)+2x+C,若g(x)>2,对于XWR恒成立,求C的取值范用. 能力挑战 1.已知/(x)=芒",+,”+3伽eZ)为偶函数,且/⑶V/⑸• ⑴求〃7;⑵若^(X)=IOgfl[/M-«4(«>0且α≠1),在[2,3]上为增函数,求“的取值集合. 」23 2•已知幕函数/(λ-)=√2p+,,+2,(/7∈∕V).⅛(0,+∞)上是增函数,在泄义域上是偶函数. ⑴求〃的值,并写出相应的函数/3)的解析式; ⑵对于⑴中求得的函数/⑴.设函数g(x)=—0V(x)]+(2g-1)∙/(x)+L则是否存在实数√t7<0),使得g(x)在区间(-s,-4]上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数? 若存在,请求出来,若不存在,请说明理由. 2.3幕函数答案 典例解析 题型一: 幕函数的概念 例1.(1X2X4) 解: ⑶中y=22j是指数函数;⑸中X2的系数是3,故不是幕函数;⑹中y=√+l,不是√1的形式,故不是幕函数,⑺中丄的系数是一1,故不是幕函数. 例2.解: ⑴∙.∙/(λ)是幕函数,故m2-m-↑=∖,即m2-m-2=0,解得In=2或ιn=-∖. R21_1 ⑵若/(X)是幕函数,且又是(0,+≪>)上的增函数厕一也一=,AZH=-I・ —5/? 1—3>0, ⑶若f(X)是正比例函数,则一5∕π-3=l.解得m=~-,此时,m2-m-∖≠0Mm=-- 22 ⑷若f(%)是反比例函数,则一5∕λ∕-3=-L则加=一二,此时一〃2-1HO,故Ul=——・ ⑸若/(x)是二次函数,则一5也一3=2,即In=-\,此时m2-m-∖≠0,故加=—1. 综上所述,当m=2或加=-l,∕(x)是幕函数;当/π=-1⅛,∕(λ)既是幫函数,又是(O,P)上的增函数;当m=~-时J(X)是正比例函数;当m=⑴是反比例函数;当加=—1时J(X)是二次函数. 题型二: 幕函数的图象 例3.B. 解: 要确定一个幕函数y=Λα任坐标系内的分布特征,就要弄淸幕函数y=χσ随着a值的改变图象的变化规律,随着a的变大,幕函数y=Xa的图象在直线X=1的右侧由低向髙分布,从图中可以看岀,直线X=1右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,fi∣τ以C∣,C2,C3,Ct的指数G依次为4,1-1,-4. 例4.(6X4)(3) (2)(7X1)(5) 解: 先区分幕函数的正负,若是正指数,再与1比较大小,.若是负数,再区分奇偶性,就可找到对应图象的函数.. 观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随X的增大而减小,则幕指数αvθ.其中第一个函数图像关于原点 _1 对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的左义域为(09+oo).所以第一个函数图像对应y=Λ75;第二 2-3 个图象对应y=三个图象对应〉,=人二;后而四个图象都通过(0,0)和(IJ)两点,故α>0,第四个图象关于 21 y轴对称,第五个图象关于原点对称,龙义域都是R,所以第四个图象对应y=G,第五个图象对应y=x∖由最后两个图象知,函数的左义域为[0,-κo),而第六个图象呈上凸状.α应小于1,第七个图象呈下凸状.α应大于1,故33 第六个图象对应y=F,第七个图象对应y=込,所以按顺序分别填⑹(4)(3X2)(7) (1)(5). 题型三: 幕函数的定义域 3 例5•解: (l)y=/=W,其泄义域为R: 丄 (2)y=P=屁其定义域为[0,+Oθ); 21 (3)y=χi=-F=.,其定义域为(-oo,θ)U(θ,+oo): y∣χJ (4)y=√5=_Lt其定义域为(0,乜): 3 (5)y=(χ+2)2=2∕(χ+2)∖其泄义域为[一2,*c). 题型四: 幕函数的性质及其应用 555 例6•解: ⑴函数y=χA在(0,+≪>)上为减函数,又3<3∙1,所以3~>(3∙1)~. 8]88[[8[8 (2)8^=(-f函数〉,=捂在[0,P)上为增函数,又→∣,所以8^^>(-)∖所以一8^^<-(~Γ. Q2j2Z-22-r1_2 (3)(--P=(-P=(-P,(--P=(-P,因为函数y=P在(0,乜)上为减函数,—>Z 3366666 所以(-∣)^j<(-^ρ. 3o 2223223 ⑷因为4∙P>P=1,0<3∙8^i<Γ5=1,(-l∙9p<0,所以4∙P>3∙8^1>(-l∙9p. 例7•解: (I)T函数/(x)在(0,-KO)上单调递减,.∙.∕√-2∕h-3<0,解得-∖ ∙.∙〃疋AT,.∙.m=1,2,又函数/⑴的图象关于y轴对称,Am2-2nι-3是偶数,而 22-2×2-3=-3为奇数,l2-2×l-3=^为偶数,.∙.m=1,/(x)=x^4. -丄-1-1 (2)^(X)=X3在(一oo,0>(0,rd)上均为减函数,.∙.(α+l)3<(3-2«)3等价于a+∖>3-2a>0或 23 O>tz+1>3—2r∕或α+lvθv3-2d解得α<-l或一VdV-,故a的取值范围为 32 、23 132 ⑶由(I)WF(Λ-)=6∕λf7W+-4-=Λ+^V3: 当a=b=O时,/G)既是奇函数又是偶函数: 当 g)V- a=O,b≠O时,/(x)是奇函数;当a≠O,b=O时,/(x)是偶函数: 当a≠O,b≠O时,/(x)是非奇非偶函数. 同步练习 1.选择题 1.C.解析: 将点(4,丄)代入y=x“得丄=4°,。 =—1,.∙.∕(x)=χP,.∙./⑵=2飞=二,2.D.解 2222 2 析: Vy=X3=V√是R上的偶函数且在(0、+8)上单调递增,故选D.3.A.解析: 构造幕函数 22 y=x5(x∈∕? )由该函数在[0,+8)上单调递增,知a>cχ再构造指数函数γ=(-)v(x∈/? )>由该函数在其左义域内单调递戒得c>b,所以a>c>b∙4.C.解析: 本题需熟练掌握幕函数的图象和性质.然后对每 个命题按性质判断,其Φ(1X5)(6)正确,(2X3)⑷错误,⑹可借助图形观察出来.故选C.5.D解析: 考察函数 12 y=X-1,y=x∖y=x2,y=x',因为b )上单调递减,所以∕<1>CrX;函数 I1I_2 y=X3在(-s,θ)上单调递增,所以by (-。 0)上单调递增,所以b~
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