幻方常规解法汇总.docx
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幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总
没法,组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写,虽然没见有啥用,但还是记录下,免得日后再找。
按目前填写幻方的方法,是把幻方分成了三类,即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方,列出最常用解法(考试用,不求强大,只求有效!
)。
奇数阶幻方(罗伯法)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是:
把1(或最小的数)放在第一行正中;按以下规律排列剩下的(n×n-1)个数:
1、每一个数放在前一个数的右上一格;
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;
5、如果这个数所要放的格已经有数填入,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例,用该填法获得的5阶幻方:
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
双偶数阶幻方(对称交换法)
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方,即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义:
就是在n阶幻方中,如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和(即n×n+1),我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中,每一对和为10的数,是一对互补数;在四阶幻方中,每一对和为17的数,是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法:
先看看4阶幻方的填法:
将数字从左到右、从上到下按顺序填写:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
内外四个角对角上互补的数相易,(方阵分为两个正方形,外大内小,然后把大正方形的四个对角上的数字对换,小正方形四个对角上的数字对换)即(1,16)(4,13)互换(6,11)(7,10)互换即可。
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写。
写好后,按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数,一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方。
以8阶幻方为例:
(1)先把数字按顺序填。
然后,按4×4把它分割成4块(如图)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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18
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40
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43
44
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48
49
50
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52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
(2)每个小方阵对角线上的数字(如左上角小方阵部分),换成和它互补的数。
64
2
3
61
60
6
7
57
9
55
54
12
13
51
50
16
17
47
46
20
21
43
42
24
40
26
27
37
36
30
31
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32
34
35
29
28
38
39
25
41
23
22
44
45
19
18
48
49
15
14
52
53
11
10
56
8
58
59
5
4
62
63
1
单偶数阶幻方(象限对称交换法)
以n=10为例,10=4×2+2,这时k=2
(1)把方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数。
(3)在B象限任一行的中间格,自右向左,标出k-1列。
(注:
6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换),将B象限标出的这些数,和D象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法:
6=4×1+2,这时k=1
三阶幻方的解法
第一种:
杨辉法:
九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出。
1
24
357
68
9
294
753
618
第二种:
九宫图也是幻方的别称,三阶幻方就是著名的洛书,他的排列是:
:
“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,五居中央(9在上中,1在下中。
3在左中,7在右中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下)
第三种:
罗伯法:
最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样
816
357
492
四阶幻方的解法
1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵
2、内外四个角对角上互补的数相易,(方阵分为两个正方形,外大内小,然后把大正方形的四个对角上的数字对换,小正方形四个对角上的数字对换)即
(1,16)(4,13)互换
(6,11)(7,10)互换
162313
511108
97612
414151
另:
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写。
写好后,按4*4把它划分成k*k个方阵。
因为n是4的倍数,一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方。
五阶幻方的解法:
罗伯法:
最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样。
17241815
23571416
46132022
101219213
11182529
(在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,
所以1的右上方应该是第五行的第四个,
接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,
在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;
在10的下方填11,然后按上面的方法填,
每次填五个数,直到完成.
无论从上到下还是从左到右都是五排,
所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,
因此,你可以验算一下是否每个和都是65.
此法适合于一切奇阶幻方.)
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