北师大版七年级数学下册第四章《三角形》质量检测卷解析版.docx
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北师大版七年级数学下册第四章《三角形》质量检测卷解析版
第四章《三角形》质量检测卷(解析版)
(全卷满分100分限时90分钟)
一.选择题:
(每小题3分,共36分)
1.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是()
A.∠B+∠A=∠CB.∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
5
C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的一个内角
【答案】B
【解析】本题考查了直角三角形的判定
根据三角形的内角和是
及邻补角是
,对各选项进行分析即可。
A、∵∠B+∠A=∠C,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;
B、∵∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
5,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;
C、∵∠A=2∠B=3∠C,∴∠A≠90°,∴△ABC不是直角三角形;
D、∵一个外角等于和它相邻的内角,∴每一个角等于90°,∴△ABC是直角三角形;
故选C.
2..下列说法正确的是()
A.三角形的角平分线是射线B.三角形的中线是线段
C.三角形的高是直线D.直角三角形仅有一条高线
【答案】B
【解析】三角形的角平分线,中线,高都是线段,故A,C错误,B正确;
任何三角形都有三条高线,故D错误.
故选B.
3.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是()
A.6B.3C.2D.11
【答案】A
【解析】试题解析:
设第三条边长为x,根据三角形三边关系得:
7-3<x<7+3,
即4<x<10.
结合各选项数值可知,第三边长可能是6.
故选A.
4.在下列长度的四根木棒中,能与长为4cm、9cm的两根木棒钉成一个三角形的是()
A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm
【答案】C
【解析】试题解析:
根据三角形的三边关系,得:
第三边应大于两边之差,且小于两边之和,
即9-4=5,9+4=13.
∴第三边取值范围应该为:
5<第三边长度<13,
故只有C选项符合条件.
故选C.
5.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在( )
A.三角形内部B.三角形的一边上C.三角形外部D.三角形的某个顶点上
【答案】A
【解析】三角形三条角平分线所在的直线一定交于一点,这一点是三角形的内心即内切圆的圆心,此点在三角形(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)内部.
故选:
A.
6.三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定
【答案】B
【解析】本题主要考查了三角形的形状
根据外角是锐角,可得相邻的内角是钝角,即可判断。
一个外角是锐角,
相邻的内角是钝角,
这是一个钝角三角形,故选B。
7.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图,根据△O′C′D′≌△OCD,可得∠A′O′B′=∠AOB,则说明△O′C′D′≌△OCD的依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【答案】A
【解析】如图,在△
≌△DOC中
∴△
≌△DOC(SSS),∴∠
=∠DOC,故选A.
8.已知△ABC≌△DEF,若AB=5,BC=6,AC=8,则△DEF的周长是()
A.8B.18C.19D.20
【答案】C
【解析】试题解析:
∵AB=5,BC=6,AC=8,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+6+8=19,
∵△ABC≌△DEF,
∴△DEF的周长等于△ABC的周长,
∴△DEF的周长是19.
故选C.
9.如图,∠A=∠B,∠C=α,DE⊥AC,FD⊥AB,则∠EDF等于()
A.αB.90°-
αC.90°-αD.180°-2α
【答案】B
【解析】∵∠A=∠B,∠C=α,
∴∠A=∠B=
(180°-α),
∵DE⊥AC,FD⊥AB,
∴∠AED=∠FDB=90°,
∴∠ADE=90°-
(180°-α)=
α,
∴∠EDF=180°-90°-
α=90°-
α,
故选B.
10.下列判断正确的是( )
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C.有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等
D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】A.只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时,才能成立;
B.30°角没有对应关系,不能成立;
C.如果这个角是直角,此时就不成立了;
D.符合全等三角形的判断方法:
AAS或者ASA.
故选:
D.
11.已知:
a、b、c是△ABC三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么( )
A.M>0B.M=0C.M<0D.不能确定
【答案】C
【解析】试题解析:
∵a、b、c是△ABC三边长,
∴a+b+c>0,a+b−c>0,a−b−c<0,
∴M=(a+b+c)(a+b−c)(a−b−c)<0.
故选C.
12.如图所示,在△ABC中,AQ=PQ,PR=PS,∠RAP=∠SAP,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则下列三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BPR≌△QPS中()
A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确
【答案】B
【解析】∵PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,
∴∠PAB=∠PAC,∠PSA=∠PRA=90°,
在△PAR和△PAS中,
,
∴△PAR≌△PAS(AAS),
∴AR=AS,∴①正确;
∵AQ=PQ,
∠CAP=∠APQ,
∵∠CAP=∠BAP,
∴∠BAP=∠APQ,
∴PQ∥AB,∴②正确;
∵PR⊥AB,PS⊥AC,
∴∠PRB=∠PSC=90°,
∴PQ>PS,
∵PR=PS,
∴PQ>PR,
∴不能推出△BRP≌△CQP,∴③错误.
故选B.
二.填空题(每题3分,共12分)
13.一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm则它的周长是__________.
【答案】37
【解析】①7cm是腰长时,三角形的三边分别为7cm、7cm、15cm,
∵7+7=14<15,
∴不能组成三角形,
②7cm是底边时,三角形的三边分别为7cm、15cm、15cm,
能组成三角形,
周长=7+15+15=37cm,
综上所述,它的周长是37cm.
故答案为:
37cm.
14.如图,已知CD是△ABC的中线,E为CD的中点,若△ABC面积为m,则△ADE的面积为_________.
【答案】
【解析】∵CD为△ABC的中线,E是CD的中点,
∴△ACE的面积等于△ABC面积的四分之一,
∵△ABC的面积为m,
∴△ACE的面积为
m,
故答案为:
m.
15.如图,在△ABC中,点P是△ABC三条角平分线的交点,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=___度.
【答案】90
【解析】试题分析:
由在△ABC中,点P是△ABC的内心,根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,即可得∠PBC=
∠ABC,∠PCA=
∠ACB,∠PAB=
∠BAC,又由三角形内角和定理,即可求得∠PBC+∠PCA+∠PAB的度数.
试题解析:
∵在△ABC中,点P是△ABC的内心,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCA=
∠ACB,∠PAB=
∠BAC,
∵∠ABC+∠BCA+∠BAC=180°,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=
(∠ABC+∠BCA+∠BAC)=
×180°=90°.
16.如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ,以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中完全正确的是___________.
【答案】①②③⑤
【解析】试题解析:
①△ABC和△DCE均是等边三角形,点A,C,E在同一条直线上,
∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE,故本选项正确;
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP,
又∵∠PCQ=∠ACB=
CB=AC,
∴△BCQ≌△ACP,
∴CQ=CP,又∠PCQ=
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠QPC=
=∠ACB,
∴PQ∥AE,故本选项正确;
③∵∠ACB=∠DCE=
∴∠BCD=
∴∠ACP=∠BCQ,
∵AC=BC,∠DAC=∠QBC,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确;
④已知△ABC、△DCE为正三角形,
故∠DCE=∠BCA=
⇒∠DCB=
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60∘⇒∠DPC>
故DP不等于DE,故本选项错误;
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形,
∴∠ACB=∠DCE=
AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB,
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=
∴∠AOB=
故本选项正确.
综上所述,正确的结论是①②③⑤.
故答案为:
①②③⑤.
三.解答题:
(共52分)
17.在直角三角形中,两个锐角的比为1:
5,求较大锐角的度数.
【答案】75°.
【解析】分析:
设较小锐角的度数为x,则较大锐角的度数为5x.,根据直角三角形两个锐角互余,即可得到关于x的方程,至此,本题可解.
本题解析:
设较小锐角的度数为x,则较大锐角的度数为5x.
根据题意,得x+5x=90.
解方程,得x=15.
所以5x=75,即较大锐角的度数为75°.
18.如图,AB∥CD,BC⊥AB,若AB=4cm,S△ABC=12cm2,求△ABD中AB边上的高.
【答案】6cm.
【解析】试题分析:
根据三角形的面积求出
的边AB上的高BC,再根据平行线间的距离相等解答.
试题解析:
解得:
∵AB∥CD,
∴点D到AB边的距离等于BC的长度,
∴
中AB边上的高等于6cm.
19.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在山的另一边同时施工,工人师傅在AC上取一点B,在小山外取一点D,连接BD,并延长使DF=BD,过F点作AB的平行线段MF,连接MD,并延长,在其延长线上取一点E,使DE=DM,在E点开工就能使A、C、E成一条直线,你知道其中的道理吗?
【答案】说明见解析
【解析】试题分析:
首先证明
≌
,可得
进而得到BE∥MF,再由
∥MF根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,可得A、C、E三点在一条直线上.
试题解析:
≌
∴BE∥MF,
∵AB∥MF,
根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,
在一条直线上.
20.如图,已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,判断∠EAD与
(∠C-∠B)的关系,并说明理由.
【答案】∠EAD=
(∠C-∠B).理由见解析
【解析】试题分析:
根据三角形内角和定理求出
求出∠DAC和∠EAC,相减即可得出答案.
试题解析:
理由是:
∵AE平分∠BAC,
∵AD⊥BC,
21.已知:
如图,△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D,过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N,求证:
BM+CN=MN.
【答案】见解析
【解析】试题分析:
根据角平分线的定义可得∠1=∠2,∠3=∠4,再根据两直线平行,内错角相等可得∠6=∠2,∠3=∠5,然后求出∠1=∠6,∠4=∠5,根据等角对等边的性质可得BM=DM,CN=DN,然后列式求解即可得证.
试题解析:
证明:
∵BD、CF平分∠ABC、∠ACB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵MN∥BC,
∴∠6=∠2,∠3=∠5,
∴∠1=∠6,∠4=∠5,
∴BM=DM,CN=DN,
∴BM+CN=DM+DN,
即BM+CN=MN.
22.如图所示,在△ABC中,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,AD是高,∠BAC=54°,∠C=66°,求∠DAC、∠BOA的度数.
【答案】∠DAC=24°,∠BOA=123°
【解析】试题分析:
因为AD是高,所以∠ADC=90°,又因为∠C=66°,所以∠DAC度数可求;因为∠BAC=54°,∠C=66°,所以∠BAO=27°,∠ABC=60°,BF是∠ABC的角平分线,则∠ABO=30°,故∠BOA的度数可求.
试题解析:
∵AD是高,∴∠ADC=90°,
∵∠C=66°,
∴∠DAC=180°﹣90°﹣66°=24°
∵∠BAC=54°,∠C=66°,AE是角平分线,
∴∠BAO=27°,∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠ABO=30°,
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=123°.
23.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图甲的位置时,试说明:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图乙的位置时,试说明:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图丙的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】
(1)证明见解析;()证明见解析;(3)AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等)理由见解析.
【解析】试题分析:
(1)由∠ACB=90°,得∠BCE+∠ACD=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.则∠ADC=∠CEB=90°,根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE.,易得
Rt△ADC≌Rt△CEB,所以AD=CE,DC=BE,即可得到DE=DC+CE=BE+AD.
(2)根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE,易得△ADC≌△CEB,得到AD=CE,DC=BE,所以DE=CE-CD=AD-BE.
(3)DE、AD、BE具有的等量关系为:
DE=BE-AD.证明的方法与
(2)相同.
试题解析:
(1)①∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE;
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.又∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴CD=BE.AD=CE,
∴DE=CE-CD=AD-BE;
(3)当MN旋转到图丙的位置时,AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等).
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD.
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