第1讲中点专题.docx
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第1讲中点专题
第1讲-中点专题
序号
知识点
典型练习
1
连接三角形两边中点的线段叫做中位线.
三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,已知DE=6cm,则BC的长是().
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.12cm
2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.直角三角形中,两条直角边长为
6,8,斜边上的中线长是______.
3
中点四边形:
顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形.
3.顺次连接矩形四边的中点,所得的四边形一定是().
A.正方形B.矩形
C.菱形D.平行四边形
4.如图,已知四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
(1)求证:
四边形EFGH是平行四边形.
(2)探索下列问题,并选择一个进行证明.
a.原四边形ABCD的对角线AC,BD满足______时,四边形EFGH是矩形.
b.原四边形ABCD的对角线AC,BD满足______时,四边形EFGH是菱形.
c.原四边形ABCD的对角线AC,BD满足______时,四边形EFGH是正方形.
(3)已知四边形ABCD和对角线AC、BD,顺次连接各边中点得四边形MNPQ,给出以下6个命题:
①若所得四边形MNPQ为矩形,则原四边形ABCD为菱形;
②若所得四边形MNPQ为菱形,则原四边形ABCD为矩形;
③若所得四边形MNPQ为矩形,则AC⊥BD;
④若所得四边形MNPQ为菱形,则AC=BD;
⑤若所得四边形MNPQ为矩形,则∠BAD=90°;
⑥若所得四边形MNPQ为菱形,则AB=AD.以上命题中,正确的是( )
A.①②B.③④C.③④⑤⑥D.①②③④
5.(15聚贤期末)如图,在△ABC中,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,CE=
AB.
求证:
四边形CFED是矩形.
6.
(1)如图,△ABC的周长为16,G,H分别为AB,AC的中点,分别以AB,AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC,连接DG,GH,EH,则DG+GH+EH的值为( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
(2)(14江都市校级期中)如图,△ABC边长分别为AB=14,BC=16,AC=26,P为∠A的平分线AD上一点,且BP⊥AD,M为BC的中点,则PM的值是________.
7.(13省实一模)如图,已知△ABC中,AC=3,BC=5,D是AB的中点,CD=2,则△ABC的面积为.
第7题第8题
8.如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,则AE的长是___________.
9.在△ABC中,BE,CF分别为边AC,AB上的高,D为BC的中点,DM⊥EF于点M.
求证:
FM=EM.
10.(07广州改编)如图,△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.
(1)如果点D,E分别在边AC,AB上,那么BM,DM的数量关系与位置关系是
;
(2)证明
(1)中的结论成立.
11.在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A,B.
(1)求证:
MA=MB;
(2)探究:
在旋转三角尺的过程中,四边形AOBM的面积是否是定值;
(3)连接AB,探究:
在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?
若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
12.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形ABCD的周长是().
A.4B.8
C.12D.16
13.顺次连接对角线互相垂直的四边形四边的中点,所得的四边形一定是().
A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形
14.(16白云期末)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,若△DEF的周长是8cm,则△ABC的周长是.
15.如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为.
16.(15广州)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3
,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.
第14题第15题第16题
17.在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)如图1,求证:
BE+CF>EF.
(2)如图2,若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,探索线段BE,CF,EF之间的数量关系,并加以证明.
18.
(1)在□ABCD中,AB=2AD,F为AB的中点,CE⊥AD交AD延长线E,求证:
∠BFE=3∠AEF.
18.
(2)(11广州改编)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,CE⊥AB于点E,求证:
∠EFD=3∠AEF.
19.如图,△ABC的周长为64,E,F,G分别为AB,AC,BC的中点,A′,B′,C分别为EF,EG,GF的中点,△A′B′C′的周长为_________.
第19题第20题
20.如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC,若∠ABC=∠BEF=60°,则
=().
A.
B.
C.
D.
21.(14南沙一模)已知:
如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(不要求证明)
第一讲-参考答案
1.D2.53.C
4.证明:
(1)连接AC,BD,
∵四边形ABCD中,E,F,G,H分别
为AB,BC,CD,DA的中点,
∴EH∥BD,FG∥BD,
∴EH∥FG,
同理:
GH∥EF,
∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)AC⊥BD;AC=BD;AC⊥BD且AC=BD.(证明略)
(3)B
5.证明:
∵D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,
∴DE∥BC,且DE=
BC,DF=
AB,CF=
BC,
∴DE=CF,
∴四边形CFED是平行四边形,
又∵CE=
AB,∴CE=DF,
∴平行四边形CFED是矩形.
6.
(1)C;
(2)6;7.68.
9.分析:
连接DF,ED,易证DF=
BC,同理得DE=
BC,则DF=DE,
又∵DM⊥EF,∴DM是EF的垂直平分线,∴EM=FM.
10.解:
(1)BM=DM且BM⊥DM;
(2)∵M是EC的中点,∴BM=
EC,DM=
EC,∴DM=BM,
∵M是EC的中点,∴MC=
EC,
∴BM=MC=DM,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BME=∠1+∠2,∠EMD=∠3+∠4,
∴∠BMD=2(∠1+∠3),
∵△ABC等腰直角三角形,∴∠BCA=45°,
∴∠BMD=90°,∴BM=DM且BM⊥DM.
11.分析:
(1)连接OM,由等腰直角三角形POQ可得∠AOM=∠BQM=45°,OM=QM,由等式性质可得∠AMO=∠BMQ,再证明△AOM≌△BQM(ASA)即可;
(2)是定值.S四边形AOBM=S△AOM+S△MOB=S△BQM+S△MOB=S△MOQ=
S△POQ=4;
(3)当MA⊥OP,MB⊥OQ时,AB有最小值,为2
,则△AOB的周长的最小值为4+2
.
12.D13.B14.16cm15.1.516.3
17.
(1)证明:
如图
(1)延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG,
∵在△DCG与△DBE中,CD=BD,∠CDG=∠BDE,DG=DE,
∴△DCG≌△DBE(SAS),∴DG=DE,CG=BE,
又∵DE⊥DF,
∴FD垂直平分线段EG,
∴FG=FE,
在△CFG中,CG+CF>FG,即BE+CF>EF;
(2)结论:
BE2+CF2=EF2.理由如下:
延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG,
∵∠A=90°,∴∠B+∠ACD=90°,
由
(1)∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°,
∴在Rt△CFG中,由勾股定理,得CG2+CF2=FG2,即BE2+CF2=EF2;
(3)解:
EF=EB+FC.理由如下:
如图
(2),延长AB到M,使BM=CF,
∵∠ABD+∠C=180°,又∠ABD+∠MBD=180°,∴∠MBD=∠C,
又∵BD=CD,∴△BDM≌△CDF,
∴DM=DF,∠BDM=∠CDF,
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF
=∠CDB-∠EDF=60°,
∴∠EDM=∠EDF,
∴△DEM≌△DEF,
∴EF=ME=BM+BE,即EF=BE+CF.
18.
(1)证明:
取CD的中点G,连接EG、FG,如图所示:
则DG=CG,
∵CE⊥AD,
∴∠DEC=90°,
∴EG=
CD=DG,
∴∠1=∠DEG,
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=2AD,
∴AB=CD=2AD,AB∥CD,
∵F是AB的中点,
∴AF=DG,AF∥DG,
∴四边形AFGD是平行四边形,
∴∠ADG=∠AFG,AD∥FG,AD=FG,
∴∠1=∠4,∠2=∠AEF,EG=FG,
∴∠2=∠3,
∴∠4=∠AEF+∠3,
∴∠2+∠4=∠AEF+∠AEF+∠3=3∠AEF,
即∠BFE=3∠AEF.
(2)证明:
连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,∴AF=FD,
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF,
在△AFG和△CFD中,
,∴△AFG≌△CFD(AAS),
∴CF=GF,AG=CD,
∵CE⊥AB,在Rt△GEC中,F是CG的中点,∴EF=
CG
∴EF=GF,
∴∠AEF=∠G,
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,∴AG=5,AF=
AD=
BC=5,
∴AG=AF,∴∠AFG=∠G,
在△EFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF,
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
∴∠EFD=3∠AEF.
19.1620.B
21.
(1)证明:
在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=
FD,
同理,在Rt△DEF中,EG=
FD.∴CG=EG;
(2)解:
(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:
连接AG,过G点作MN⊥AD于M,
与EF的延长线交于N点.
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG,
∴AG=CG.
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG.
∴MG=NG,
在矩形AENM中,AM=EN.
在Rt△AMG与Rt△ENG中,∵AM=EN,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG,
∴AG=EG.∴EG=CG;
证法二:
延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG,
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC
=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,∴EG=
MC,
∴EG=CG;
(3)解:
(1)中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:
EG⊥CG.
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