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计数
计数
1.为了迎接党的十八大胜利召开,北京某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。
如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是。
(A)1205秒(B)1200秒(C)1195秒(D)1190秒
2.方程
中的
,且
互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()
A.60条B.62条C.71条D.80条
3.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为()
A.96B.48C.24D.0
4.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中,如果某人不亚于其他99人,就称他为棒小伙子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()
(A)1个(B)2个(C)50个(D)100个
5.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是()
(A)57(B)49(C)43(D)37
6.设集合
,如果
方程
至少有一个根
,就称方程为合格方程,则合格方程的个数为()
7.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”,现从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有()
A、105个B、70个C、55个D、40个
8.球面上有七个点,其中四个点在同一个大圆上,其余无三点共一个大圆,也无两点
与球心共线,那么经过球心与球面上的任意两点可作球的大圆有
A.15个B.16个C.31个D.32个
9.将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有
(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种
10.从四面体的顶点及各棱的中点中任取3个点确定一个平面,则不同的平面的个数()
A.17B.23C.25D.29
11.设{an}是等差数列,从{a1,a2,a3,···,a20}中任取3个不同的数,使这三个数仍成等差数列,则这样不同的等差数列最多有
(A)90个(B)120个(C)160个(D)180个
12.现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位安排参加志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作有一人参加。
甲不会开车、乙不会翻译,但都能从事其他三项工作,而丙丁戌能胜任全部四项工作,则不同安排方案的种数是
A.108B.78C.72D.60
13.将A、B、C、D、E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件,若文件A、B必须放入相邻的抽屉内,文件C、D也必须放入相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有()种.
A.192B.144C.288D.240
14.某班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有()
A.144种B.150种C.196种D.256种
15.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列
中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有()
A.576B.720C.864D.1152
16.用1,2,3这三个数组成一个五位数,每个数字至少出现一次,则能被3整除的五位数有( )
(A)50 (B)51 (C)60 (D)71
17.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐,要求任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总数为()
(A)6(B)12(C)72(D)144
18.若三个连续的两位数满足下列条件:
①它们的和仍为两位数;②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大;则称这样的三个数为“三顶数”,则这样的“三顶数”的组数有()组。
A.9B.10C.11D.12
19.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有()
A12种B18种C36种D48种
20.两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()
A.10种B.15种C.20种D.30种
21.方程
中的
,且
互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()
A、60条B、62条C、71条D、80条
22.将A、B、C、D四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且A、B两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为____.
23.形如45132这样的数叫做“五位波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为.
24.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每面恰染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
则不同的染色方法共有_______种。
(注:
如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同。
)
25.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是.
26.三位数(100,101,,999)共900个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如198倒过来看是861;有的卡片则不然,如531倒过来看是,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_____张卡片.
27.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有________种.
28.袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则第4次恰好取完所有红球的概率为.
29.将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8。
则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种。
30.正方体木块
的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点
移动:
①点P只能沿正方体木块的棱或表面对角线移动;②点P每一变化位置,都使P点到点
的距离缩短,③若在面对角线上移动时,不能在中点处转入另一条面对角线,动点P共有_______种不同的运行路线.
31.2011年浙江省新课程自选模块考试试卷中共有18道试题,要求考生从中选取6道题进行解答,其中考生甲第1,2,9,15,16,17,18题一定不选,考生乙第3,9,15,16,17,18题一定不选,且考生甲与乙选取的6道题没有一题是相同的,则满足条件的选法种数共有.(用数字作答)
32.六张卡片上分别写有数字0,1,2,4,6,9,其中写有6,9的卡片可以通用(6
倒过来可以看作9),从中任选3张卡片拼在一起组成三位数,其中各位上数字和是3的倍
数的三位数有个。
33.甲、乙等五名同学站成一排,甲不站左端,乙不站右端,共有种不同的排法(用数字作答)
34.已知
三边a,b,c的长都是整数,且
,如果
,则符合条件的三角形共有个(结果用m表示).
35.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33,…,99.3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…,999.则
(Ⅰ)4位回文数有个;
(Ⅱ)
位回文数有个.
36.把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中,若有且只有两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,则不同的排法种数共有___________种.
37.把已知正整数
表示为若干个正整数(至少3个
,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为
的一个等差分拆.将这些正整数的不同排
列视为相同的分拆.如:
(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆.问正整数30的不同等差分拆有个.
38.将
这9个数学填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每列从上到下分别依次增大,当4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为种(用数字作答);
试卷答案
1.C
2.B
3.B
4.D
解:
把身高按从高到矮排为1~100号,而规定二人比较,身高较高者体重较小,则每个人都是棒小伙子.故选D.
5.B
解:
8个顶点中无3点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心.
⑴体中心为中点:
4对顶点,6对棱中点,3对面中心;共13组;
⑵面中心为中点:
4×6=24组;
⑶棱中点为中点:
12个.共49个,选B.
6.C
7.C
8.B
9.A
第一步先排第一列有
,在排第二列,当第一列确定时,第二列有两种方法,如图
,所以共有
种,选A.
10.D
略
11.D
略
12.B
略
13.D
略
14.B
略
15.C
先让数字1,3,5,7作全排列,有
种,再排数字6,由于数字6不与3相邻,在排好的排列中,除3的左、右2个空隙,还有3个空隙可排数字6,故数字6有3种排法,最后排数字2,4,在剩下的4个空隙中排上2,4,有
种排法,共有
种,故选C.
16.A
略
17.C
若A、C、E坐大人,则B、D、F坐小孩;
若B、D、F坐大人,则A、C、E坐小孩.共有
种方法.
18.C
略
19.B
20.C.
首先分类计算假如甲赢,比分3:
0是1种情况;比分3:
1共有3种情况,分别是前3局中(因为第四局肯定要赢),第一或第二或第三局输,其余局数获胜;比分是3:
2共有6种情况,就是说前4局2:
2,最后一局获胜,前4局中,用排列方法,从4局中选2局获胜,有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况,共有10+10=20种情况.故选C.
21.B
本题可用排除法,
,6选3全排列为120,这些方程所表示的曲线要是抛物线,则
且
,要减去
,又
和
时,方程出现重复,用分步计数原理可计算重复次数为
,所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.
22.30
23.721
24.230
解:
至少3种颜色:
6种颜色全用:
上面固定用某色,下面可有5种选择,其余4面有(4-1)!
=6种方法,共计30种方法;
用5种颜色:
上下用同色:
6种方法,选4色:
C
(4-1)!
=30;6×30÷2=90种方法;.
用4种颜色:
C
C
=90种方法.
用3种颜色:
C
=20种方法.
∴共有230种方法.
25.420
解:
顶点染色,有5种方法,
底面4个顶点,用4种颜色染,A
=24种方法,用3种颜色,选1对顶点C
,这一对顶点用某种颜色染C
,余下2个顶点,任选2色染,A
种,共有C
C
A
=48种方法;用2种颜色染:
A
=12种方法;
∴共有5(24+48+12)=420种方法.
26.34
解:
首位与末位各可选择1,6,8,9,有4种选择,十位还可选0,有5种选择,共有4×5×4=80种选择.
但两端为1,8,中间为0,1,8时,或两端为9、6,中间为0,1,8时,倒后不变;共有2×3+2×3=12个,故共有(80-12)÷2=34个.
27.51
解:
从这10个数中取出3个偶数的方法有C
种,取出1个偶数,2个奇数的方法有C
C
种,而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0,1,5),(0,1,7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有9种,故应答10+50-9=51种.
28.0.0434
解:
第4次恰好取完所有红球的概率为
×(
)2×
+
×
×
×
+(
)2×
×
=0.0434
29.31
30.12
31.1331
32.40
略
33.78
略
34.
35.90,
(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有
种。
答案:
90
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数。
2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为
.
法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数。
计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导
而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此
则答案为
.
36.20
37.19
38.12
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