2L 图形平移旋转翻折.docx
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2L图形平移旋转翻折
二、图形的综合
图形平移
讲方法
一、平行四边形与平移
由于在平移变换下,如图,□ABCD中,△ABE沿着AD方向平移后,成为△DCF,与平移方向不平行的线段例如AB、BE、AE,变为与之平行且相等的线段,即AB//DC,AE⊥DF,BE//CF,因此,对于已知条件中有平行四边形的几何题,我们可以考虑用平移变换
二、共线相等线段与平移
由于在平移变换下,如图,△ABC沿着BC方向平移至△DEF,与平移方向平行的线段例如BC,变为与之共线且相等的线段,即BC=EF,BC与EF共线,因此,对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题,也可以考虑用平移变换处理.
三、不共线线段与平移
两条线段既不平行也不共线,但是我们可以通过平移变换移动其中一条线段,使两条线段有一个公共端点,并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形,再利用特殊三角形的性质加上其他相关条件使问题解决.
总结:
线段相等不等腰,平移共点变等腰
1.如图,若AB=CD,并相交,平移CD与AB共顶点,会出现平行四边形CDD/C/和等腰△AD/B
2.如图,若AB=CD,无交点,平移CD与AB共顶点,同样会产生平行四边形CDD/C/和等腰△ABD/
学思路
铺垫
如图,已知两条长度为1的线段AB和CD相交于O点,且∠AOC=600
求证:
AC+BD≥1
思路:
①相等线段,不共顶点,平移出等腰
②夹角60度,平移后等腰变等边
③线段不等关系,利用三角形三边关系证明
压轴题
1、已知∠ABC=90,D是直线AB上的点,AD=BC
(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?
若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
图1图2
提能力
1.如图,设P是矩形ABCD内一点,求证:
PA2+PC2=PB2+PD2
2.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的:
要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形,如图4,可得S△BDE=1,∴以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积等于1.
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题
如图5,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图5中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于__________
图3图4图5
3.
(1)如图6,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E为BC上一点,且CE=AB,BE=CD,连接AE、DE、AD,则△ADE的形状是__________________
(2)如图7,在△ABC中,∠A=90,D、E分别为AB、AC上的点,连接BE、CD,两线交于点P.
①当BD=AC,CE=AD时,在图中补全图形,猜想∠BPD的度数并给予证明BD;
②当
=
=
时,∠BPD的度数是___________
图6图7
4.在△ABC中,∠ABC=90°,D为平面内一动点,AD=a,AC=b,其中a,b为常数,且a (1)如图3-1-14,若D在△ABC内部,请在图中画出△FCE; (2)在 (1)的条件下,若AD⊥BE,求BE的长(用含a,b的式子表示) 5.阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题: 如图8,在△ABC中,AB=AC,在边AB上取点E,在边AC上取点F,使BE=AF(E,F不是AB,AC边的中点),连接EF.求证: EF> BC 小伟是这样思考的: 要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造全等三角形再证明线段的关系.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过点C作CH∥BE,并截取CH=BE,连接EH,构造出平行四边形EBCH,再连接FH,进而证明△AEF≌△CFH,得到FE=FH,使问题得以解决(如图9) (1)请回答: 在证明△AEF≌△CFH时,CH=____________,∠HCF=_____________; (2)参考小伟思考问题的方法,解决问题: 如图10,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,延长CA到点D,延长AB到点E,使AD=BE,∠DEA=15°.判断DE与BC的数量关系,并证明你的结论. 图8图9图10 图形翻折 讲方法 一、图形翻折的特点 1.对应边相等,对应角相等 2.对称点连线被折痕垂直平分 3.计算时多用勾股定理或相似比例式 二、什么样的条件是翻折问题的特征 1.折叠问题 2.等腰三角形三线合 3.角平分线 4.线段和或差求最值问题 5.垂线 6.特殊角 学思路 铺垫 如图,把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上,B/C/交CD于点N,已知正方形的边长为1,求△DB/N的周长. ①正方形四边都相等,四个角都为直角 ②折叠前后对应边相等,对应角相等 ③求周长,需要转化三边 压轴题 在正方形ABCD中, (1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且∠AOF=900. 求证: AE=BF (2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,求EF的长. 提能力 1.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD按图3放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O落在边CD上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.请回答 若点E的坐标为(0,4),求点A的坐标 将矩形沿直线y=- x+n折叠,求点A的坐标; 将矩形沿直线y=kx+n折叠,点F在边OB上(含端点),直接写出k的取值范围 2.(山西中考)综合与实践 背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出: 将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作《周牌算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3: 4: 5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如: 三边长分别为9,12,15或3 4 5 的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形 实践操作 如图3,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm. 第一步: 如图4,将图3-2-5中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平 第二步: 如图5,将图3-2-6中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF. 第三步: 如图6,将图3-2-7中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD/H,再沿AD/折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平. 【问题解决】 (1)请在图4中,证明: 四边形AEFD是正方形; (2)请在图6中,判断NF与ND/的数量关系,并加以证明; (3)请在图6中,证明: ΔAEN是(3,4,5)型三角形; 【探索发现】 (4)在不添加字母的情况下,图6中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形? 请找出并直接写出它们的名称. 3.如图7是一张矩形纸片ABCD,AB=5,BC=1,在边AB上取一点M,在边CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到ΔMNK,如图8. (1)若∠1=700,求∠MKN的度数; (2)△MNK的面积能否小于 ? 若能,求出此时∠1的度数;若不能,请说明理由; (3)如何折叠能够使△MNK的面积最大? 请你画图探究可能出现的情况,求出最大值. 4.如图,将一个正方形纸片AOCD,放置在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点O(0,0),点D在第一象限.点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点O落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接OP,OH.设P点的横坐标为m. (1)若∠APO=60°,求∠OPG的大小; (2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长l是否发生变化? 若变化,用含m的式子表示l;若不变化,求出周长l; (3)设四边形EFGP的面积为S,当S取得最小值时,求点P的坐标(直接写出结果即可) 5.(浙江金华中考)如图9,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙,无重叠的矩形,这样的矩形称为叠台矩形. (1)将纸片按图10的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段________,________;S矩形AEFG: S□ABCD=________; (2)□ABCD纸片还可以按图11的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长; (3)如图12,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD 图形旋转 讲方法 一、构造旋转全等三角形 1.见60°,旋60°,如图1 2.见90°,旋90°,如图2,图3. 图1图2图3 旋转全等必备条件: 共顶点,等线段 旋转全等操作技巧: 边怎么旋转,边所在的三角形也怎么旋转. 二、旋转最值 1.如图4,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则|a-b| 2.如图5,点C在⊙A上运动,点B为一定点,则BC的最大值是BC2的长度,最小值是BC1的长度 图4图5 三、旋转与中点综合 在几何压轴题中,中点一般会有四个思考方向: 1.将中线延长,变成原来的二倍 2.中位线 3.斜边中线 4.三线合一 学思路 铺垫 如图6,P是等边△ABC内的一点,且PA=4,PB=2 PC=2.则 ∠BPC,∠APB的度数分别是______________; S△ABC=______________ 思路 ①有等线段共端点 ②已知长度的三条边共顶点,只有借助变换,转移线段方可求解 图6 压轴题 已知: 在△ABC中,∠BAC=600 如图7,若AB=AC,点P在△ABC内,且PB=5,PA=3,PC=4,直接写出∠APC的度数; 如图8,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数; 如图9,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA= PB=5,∠APC=1200,直接写出PC的长 提能力 1. (1)下面是一道例题及其解答过程,请补充完整: 如图10,在等边△ABC内部,有一点P,若∠APB=1500.求证: AP2+BP2=CP2 证明: 将△APC绕A点逆时针旋转60°,得到△AP/B,连接PP/,则△APP为等边三角形 ∴∠APP/=60°,PA=PP/,PC=______________ ∵∠APB=150°,∴∠BPP/=90° ∴P/P2+BP2=,即AP2+BP2=CP2 (2)如图11,在等腰三角形ABC中,∠BAC=90°,内部有一点P,若∠APB=1350,判断线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明; (3)如图12,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点P在直线AB上方,且∠APB=60°,满足(kPA)2+PB2=PC2,请直接写出k的值. 2.如图13,已知: 等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合).求证: BD+DC>AD 下面的证法供你参考 把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,连接ED,如图14,则有△ACD≌△ABE,DC=EB ∵AD=AE,∠DAE=60° ∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即: BD+DC>AD. (1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题 如图15,点D是等腰直角三角形ABC边上的点(点D不与B、C重合). 求证: BD+DC> AD (2)已知: 如图16,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=α(α为钝角),D是等腰△ABC外一点,且∠BDC+∠BAC=180°,BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系? 写出你的猜想,并证明. 图13图14图15图16 3.(山东烟台中考) (1)如图17,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF、EF ①求∠EAF的度数; ②DE与EF相等吗? 请说明理由; (2)如图18,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的900角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于00且小于450),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取点E使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果: ①∠EAF的度数; ②线段AE,ED,DB之间的数量关系 4.如图19,点O为正方形ABCD的中心. (1)将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°,点E的时应点为点F,连EF,AE,BF,请依题意补全图3-3-19(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法); (2)根据图19中补全的图形,猜想证明AE与BF的关系 (3)如图20,点G是OA中点,△EGF是等腰直角三角形,H是EF的中点,AB=8,GE=4,△EGF绕G点逆时针方向旋转,请真接写出旋转过程中BH的最大值. 5. (1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE. ①∠AEE的度数为______________ ②猜想线段AD、BE之间的数量关系为: ______________ (2)如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请求出∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系.
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