第2章 24 正态分布.docx
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第2章24正态分布
2.4 正态分布
学习目标
核心素养
1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.(重点)
2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.(重点)
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(难点)
1.通过学习正态分布,体会数学抽象和直观想象的素养.
2.借助“3σ”原则解题,提升数学运算的素养.
1.正态曲线
若φμ,σ(x)=
,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态分布
如果对于任何实数a,b(a
φμ,σ(x),则称随机变量X服从正态分布.
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
思考:
如何估计参数μ,σ的值?
[提示] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
3.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值
;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
4.3σ原则
(1)若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>0,P(μ-a φμ,σ(x)dx. (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率: P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ (3)通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则. 1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),则P(X<2)=( ) A. B. C. D. D [由题意知X的均值为2,因此P(X<2)= .] 2.正态曲线关于y轴对称,则它所对应的正态总体均值为( ) A.1B.-1 C.0D.不确定 C [由正态曲线性质知均值为0.] 3.正态分布的概率密度函数P(x)= e- 在(3,7]内取值的概率为________. 0.6827 [由题意可知X~N(5,4),且μ=5,σ=2, 所以P(3 正态曲线及其性质 【例1】 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是( ) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 A [由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.] 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ 1.正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. 2.正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象可求σ. 3.由σ的大小区分曲线的胖瘦. 1.设两个正态分布N(μ1,σ )(σ1>0)和N(μ2,σ )(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ) A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 A [根据正态分布的性质: 对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得,选A.] 正态分布下的概率计算 【例2】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=( ) A.0.6B.0.4 C.0.3D.0.2 (2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率. [思路点拨] (1)根据正态曲线的对称性进行求解; (2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半. (1)C [∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8, ∴P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.] (2)[解] 由题意得μ=1,σ=2, 所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.6827. 又因为正态曲线关于x=1对称, 所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)= P(-1<X<3)≈0.3414. 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 2.注意概率值的求解转化: (1)P(X<a)=1-P(X≥a); (2)P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); (3)若b<μ,则P(X<b)= . 3.熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. 2.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X (1)求c的值; (2)求P(-4 [解] (1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示), 又P(X>c+1)=P(X 所以c=2. (2)P(-4 正态分布的实际应用 【例3】 在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100). (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? [思路点拨] (1) ―→ (2) ―→ [解] 因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ=10. (1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.9545,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率为0.9545. (2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.6827,所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.6827.一共有2000名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人). 正态曲线的应用及求解策略 1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出. 2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 3.某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52),质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个,测得它的外直径为5.7cm,该厂生产的这批零件是否合格? [解] 由于X服从正态分布N(4,0.52), 由正态分布的性质,可知正态分布N(4,0.52)在(4-3×0.5,4+3×0.5)之外的取值的概率只有0.0027, 而5.7∉(2.5,5.5), 这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此可以认为该批零件是不合格的. 正态总体在某个区间内取值的概率求法:
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