第一章 第二节二.docx
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第一章第二节二
第二节 动量 动量守恒定律
(二)
[学习目标]1.理解系统、内力、外力的概念.2.知道动量守恒定律的内容及表达式,理解守恒的条件.3.了解动量守恒定律的普遍意义,会初步利用动量守恒定律解决实际问题.
一、动量守恒定律
[导学探究]
1.如图1所示,公路上三辆汽车发生了追尾事故.如果将甲、乙两辆汽车看做一个系统,丙车对乙车的作用力是内力,还是外力?
如果将三车看成一个系统,丙对乙的力是内力还是外力?
图1
答案 内力是系统内物体之间的作用力,外力是系统以外的物体对系统以内的物体的作用力.一个力是内力还是外力关键是看选择的系统.如果将甲和乙看成一个系统,丙车对乙车的力是外力,如果将三车看成一个系统,丙对乙的力是内力.
2.如图2所示,水平桌面上的两个小球,质量分别为m1和m2,沿着同一直线向相同的方向做匀速运动,速度分别是v1和v2,v2>v1.当第二个小球追上第一个小球时两球发生碰撞,碰撞后两球的速度分别为v1′和v2′.试用动量定理和牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1+m2v2与碰后总动量m1v1′+m2v2′的关系.
图2
答案 设碰撞过程中两球间的作用力分别为F1、F2,相互作用时间为t
根据动量定理:
F1t=m1(v1′-v1),F2t=m2(v2′-v2).
因为F1与F2是两球间的相互作用力,根据牛顿第三定律知,F1=-F2,
则有:
m1v1′-m1v1=m2v2-m2v2′
即m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′
此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量,这就是动量守恒定律的表达式.
[知识梳理]
1.系统、内力与外力
(1)系统:
相互作用的两个或多个物体组成一个力学系统.
(2)内力:
系统内部物体间的相互作用力.
(3)外力:
系统外部物体对系统内物体的作用力.
2.动量守恒定律
(1)内容:
物体在碰撞时,如果系统所受到的合外力为零,则系统的总动量保持不变.
(2)表达式:
m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(作用前后动量相等).
(3)适用条件:
系统所受到的合外力为零.
[即学即用] 判断下列说法的正误.
(1)一个系统初、末态动量大小相等,即动量守恒.( × )
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞,两个物体组成的系统动量守恒.( √ )
(3)只要系统所受到的合力为零,动量就守恒.( √ )
(4)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零.( √ )
二、对动量守恒定律的认识
[导学探究] 如图3所示,进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为80kg和100kg,他们携手远离空间站,相对空间站的速度为0.1m/s.A将B向空间站方向轻推后,A的速度变为0.2m/s.
(1)A、B二人相互作用时动量守恒吗?
(2)如果守恒,应以什么为参考系?
(3)轻推后B的速度大小是多少?
方向如何?
图3
答案
(1)守恒
(2)以空间站为参考系 (3)0.02m/s 远离空间站方向
解析 规定远离空间站的方向为正方向,则v0=0.1m/s,vA=0.2m/s
根据动量守恒定律(mA+mB)v0=mAvA+mBvB
代入数据可解得vB=0.02m/s,方向为远离空间站方向.
[知识梳理] 对动量守恒定律的理解
1.对系统“总动量保持不变”的理解
(1)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等,不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等.
(2)系统的总动量保持不变,但系统内每个物体的动量可能都在不断变化.
2.动量守恒定律的“四性”
(1)矢量性:
动量守恒定律的表达式是一个矢量式.
(2)相对性:
动量守恒定律中,系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系,各物体的速度通常均为相对于地面的速度.
(3)同时性:
动量守恒定律中,p1、p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量,p1′、p2′……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量.
(4)普适性:
动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统,也适用于多个物体组成的系统;不仅适用于宏观物体组成的系统,也适用于微观粒子组成的系统.
[即学即用] 如图4所示,甲木块的质量为m1,以速度v沿光滑水平地面向前运动,正前方有一静止的、质量为m2的乙木块,乙木块上连有一轻质弹簧.甲木块与弹簧接触后( )
图4
A.甲木块的动量守恒
B.乙木块的动量守恒
C.甲、乙两木块所组成系统的动量守恒
D.甲、乙两木块所组成系统的机械能守恒
答案 C
一、动量守恒条件的理解
1.系统不受外力作用:
这是一种理想化的情形.
2.系统受外力作用,但所受合外力为零.
3.系统受外力作用,但当系统所受的外力远小于系统内各物体间的内力时,系统的总动量近似守恒.例如,抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间,弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力,重力可以完全忽略不计,系统的动量近似守恒.
4.系统受外力作用,所受的合外力不为零,但在某一方向上合外力为零,则系统在该方向上动量守恒.
例1
(多选)如图5所示,A、B两物体质量之比mA∶mB=3∶2,原来静止在平板小车C上,A、B间有一根被压缩的弹簧,地面光滑,当弹簧突然释放后,则下列说法正确的是( )
图5
A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B组成的系统动量守恒
B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B、C组成的系统动量守恒
C.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B组成的系统动量守恒
D.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B、C组成的系统动量守恒
答案 BCD
解析 如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,弹簧释放后,A、B分别相对于小车向左、向右滑动,它们所受的滑动摩擦力fA向右,fB向左.由于mA∶mB=3∶2,所以fA∶fB=3∶2,则A、B组成的系统所受的外力之和不为零,故其动量不守恒,A选项错误;对A、B、C组成的系统,A、B与C间的摩擦力为内力,该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力,它们的合力为零,故该系统的动量守恒,B、D选项正确;若A、B所受摩擦力大小相等,则A、B组成的系统的外力之和为零,故其动量守恒,C选项正确.
1.动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统.判断系统的动量是否守恒,与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系.
2.判断系统的动量是否守恒,要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零,因此要分清哪些力是内力,哪些力是外力.
3.一般来说,系统的动量守恒时,系统内各物体的动量是变化的,但系统内各物体的动量的矢量和是不变的.
针对训练 如图6所示,小车与木箱紧挨着静放在光滑的水平冰面上,现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱,关于上述过程,下列说法正确的是( )
图6
A.男孩和木箱组成的系统动量守恒
B.小车与木箱组成的系统动量守恒
C.男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D.木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同
答案 C
解析 由动量守恒定律成立的条件可知男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒,选项A、B错误,C正确;木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等,方向相反,选项D错误.
二、动量守恒定律的简单应用
1.动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义:
(1)p=p′:
系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′:
相互作用的两个物体组成的系统,作用前的动量和等于作用后的动量和.
(3)Δp1=-Δp2:
相互作用的两个物体组成的系统,一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反.
(4)Δp=0:
系统总动量增量为零.
2.应用动量守恒定律的解题步骤:
例2
将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上,水平面光滑.开始时甲车速度大小为3m/s,乙车速度大小为2m/s,方向相反并在同一直线上,如图7所示.
图7
(1)当乙车速度为零时,甲车的速度多大?
方向如何?
(2)由于磁性极强,故两车不会相碰,那么两车的距离最小时,乙车的速度是多大?
方向如何?
答案
(1)1m/s 方向向右
(2)0.5m/s 方向向右
解析 两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用,两车之间的磁力是系统内力,系统动量守恒,设向右为正方向.
(1)v甲=3m/s,v乙=-2m/s.
根据动量守恒定律得:
mv甲+mv乙=mv甲′,代入数据解得
v甲′=v甲+v乙=(3-2)m/s=1m/s,方向向右.
(2)两车相距最小时,两车速度相同,设为v′,
由动量守恒定律得:
mv甲+mv乙=mv′+mv′.
解得v′=
=
=
m/s=0.5m/s,方向向右.
例3
质量m1=10g的小球在光滑的水平桌面上以30cm/s的速率向右运动,恰遇上质量为m2=50g的小球以10cm/s的速率向左运动,碰撞后,小球m2恰好停止,则碰后小球m1的速度大小和方向如何?
答案 20cm/s 方向向左
解析 碰撞过程中,两小球组成的系统所受合外力为零,动量守恒.设向右为正方向,则v1=30cm/s,v2=-10cm/s;v2′=0.
由动量守恒定律列方程m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′,
代入数据解得v1′=-20cm/s.
故碰后小球m1的速度大小为20cm/s,方向向左.
应用动量守恒定律解题,在规定正方向的前提下,要注意各已知速度的正负号,求解出未知速度的正负号,一定要指明速度方向.
1.(动量守恒条件的理解)(多选)如图8所示,在光滑水平地面上有A、B两个木块,A、B之间用一轻弹簧连接.A靠在墙壁上,用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态.若突然撤去力F,则下列说法中正确的是( )
图8
A.木块A离开墙壁前,A、B和弹簧组成的系统动量守恒,机械能也守恒
B.木块A离开墙壁前,A、B和弹簧组成的系统动量不守恒,但机械能守恒
C.木块A离开墙壁后,A、B和弹簧组成的系统动量守恒,机械能也守恒
D.木块A离开墙壁后,A、B和弹簧组成的系统动量不守恒,但机械能守恒
答案 BC
解析 若突然撤去力F,木块A离开墙壁前,墙壁对木块A有作用力,所以A、B和弹簧组成的系统动量不守恒,但由于A没有离开墙壁,墙壁对木块A不做功,所以A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,选项A错误,选项B正确;木块A离开墙壁后,A、B和弹簧组成的系统所受合外力为零,所以系统动量守恒且机械能守恒,选项C正确,选项D错误.
2.(动量守恒定律的简单应用)解放军鱼雷快艇在南海海域附近执行任务,假设鱼雷快艇的总质量为M,以速度v前进,现沿快艇前进方向发射一颗质量为m的鱼雷后,快艇速度减为原来的
,不计水的阻力,则鱼雷的发射速度为( )
A.
vB.
vC.
vD.
v
答案 A
解析 设快艇的速度方向为正方向,根据动量守恒定律有:
Mv=(M-m)
v+mv′,解得v′=
v.
3.(动量守恒定律的简单应用)如图9所示,质量为M的小车置于光滑的水平面上,车的上表面粗糙,有一质量为m的木块以初速度v0水平地滑至车的上表面,若车足够长,则( )
图9
A.木块的最终速度为
v0
B.由于车上表面粗糙,小车和木块所组成的系统动量不守恒
C.车上表面越粗糙,木块减少的动量越多
D.车上表面越粗糙,小车获得的动量越多
答案 A
解析 由m和M组成的系统水平方向动量守恒易得A正确;m和M动量的变化与小车上表面的粗糙程度无关,因为车足够长,最终各自的动量与摩擦力大小无关.
4.(动量守恒定律的简单应用)一辆质量m1=3.0×103kg的小货车因故障停在车道上,后面一辆质量m2=1.5×103kg的轿车来不及刹车,直接撞入货车尾部失去动力,相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了s=6.75m停下.已知车轮与路面间的动摩擦因数μ=0.6,求碰撞前轿车的速度大小.(重力加速度取g=10m/s2)
答案 27m/s
解析 由牛顿第二定律得a=
=μg=6m/s2
v=
=9m/s,选轿车运动方向为正方向,由动量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v
v0=
v=27m/s.
一、选择题(1~6题为单选题,7~11题为多选题)
1.如图1所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
图1
A.动量守恒、机械能守恒
B.动量不守恒、机械能不守恒
C.动量守恒、机械能不守恒
D.动量不守恒、机械能守恒
答案 B
2.某公路上发生一起交通事故,一辆质量为1500kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为3000kg向北行驶的卡车,碰撞后两辆车接在一起,并向南滑行了一段距离后停止.根据测速仪的测定,长途客车在撞前以20m/s的速率行驶,由此可判断卡车碰撞前的行驶速率(碰撞时内力远大于外力)( )
A.小于10m/s
B.大于10m/s,小于20m/s
C.大于20m/s,小于30m/s
D.大于30m/s,小于40m/s
答案 A
解析 设长途客车和卡车的质量分别为m1、m2,撞前的速度大小分别为v1、v2,撞后共同速度为v,规定向南为正方向,根据动量守恒定律有m1v1-m2v2=(m1+m2)v,又v>0,则m1v1-m2v2>0,代入数据得v2<10m/s,故选项A正确.
3.如图2所示,质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶,一质量为m的救生员站在船尾,相对小船静止.若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中,则救生员跃出后小船的速率为( )
图2
A.v0+
vB.v0-
v
C.v0+
(v0+v)D.v0+
(v0-v)
答案 C
解析 小船和救生员组成的系统满足动量守恒条件,规定向右为正方向,由动量守恒定律得:
(M+m)v0=m·(-v)+Mv′
解得v′=v0+
(v0+v)
故C项正确,A、B、D项均错.
4.设a、b两球相撞,碰撞前后都在同一直线上运动,若它们碰撞前的速度分别为va、vb,碰后的速度分别为va′、vb′,则两个小球的质量比ma∶mb为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据动量守恒定律得mava+mbvb=mava′+mbvb′,整理得
=
,故A项正确,B、C、D项错误.
5.质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动,质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块,要使木块停下来,必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设发射子弹的数目为n,选择n颗子弹和木块M组成的系统为研究对象.系统在水平方向所受的合外力为零,满足动量守恒的条件.选子弹运动的方向为正方向,由动量守恒定律有:
nmv2-Mv1=0,得n=
,所以选项C正确.
6.质量为2kg的小车以2m/s的速度沿光滑的水平面向右运动,若将质量为0.5kg的砂袋以3m/s的水平速度迎面扔上小车,则砂袋与小车一起运动的速度的大小和方向是( )
A.1.0m/s,向右B.1.0m/s,向左
C.2.2m/s,向右D.2.2m/s,向左
答案 A
解析 取向右为正方向,设小车质量为m1,小车速度为v1,砂袋质量为m2,砂袋速度为v2,共同速度为v共,由动量守恒定律得m1v1-m2v2=(m1+m2)v共,得v共=1m/s,方向向右,A项正确.
7.下列情况中系统动量守恒的是( )
A.小车停在光滑水平面上,人在车上走动时,对人与车组成的系统
B.子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中,对子弹与木块组成的系统
C.子弹射入紧靠墙角的木块中,对子弹与木块组成的系统
D.气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时,绳子突然断开后的一小段时间内,对气球与重物组成的系统
答案 AB
解析 小车停在光滑水平面上,人在车上走动时,对人与车组成的系统,系统受到的合外力为零,系统动量守恒,故A正确;子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中,对子弹与木块组成的系统,系统所受到的合外力为零,系统动量守恒,故B正确;子弹射入紧靠墙角的木块中,子弹与木块组成的系统受墙角的作用力,系统所受到的合外力不为零,系统动量不守恒,故C错误;气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时,绳子突然断开后的一小段时间内,对气球与重物组成的系统,所受到的合外力不为零,系统动量不守恒,故D错误.
8.如图3所示,水平面上有两个木块,两木块的质量分别为m1、m2,且m2=2m1.开始两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩轻弹簧,烧断绳后,两木块分别向左、右运动.若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2,且μ1=2μ2,则在弹簧伸长的过程中,两木块( )
图3
A.动量大小之比为1∶1B.速度大小之比为2∶1
C.动量大小之比为2∶1D.速度大小之比为1∶1
答案 AB
解析 以两木块及弹簧组成的系统为研究对象,绳断开后,弹簧对两木块的推力可以看成是内力;水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力,且f1=μ1m1g,f2=μ2m2g.因此系统所受合外力F合=μ1m1g-μ2m2g=0,满足动量守恒定律的条件.设弹簧伸长过程中某一时刻,两木块速度大小分别为v1、v2.由动量守恒定律有(以向右为正方向):
-m1v1+m2v2=0,即m1v1=m2v2.即两木块的动量大小之比为1∶1,故A项正确,C项错误.两木块的速度大小之比为
=
=
,故B项正确,D项错误.
9.两个小木块A和B中间夹着一轻质弹簧,用细线捆在一起,放在光滑的水平桌面上,松开细线后,木块A、B分别向左、右方向运动,离开桌面后做平抛运动(离开桌面前两木块已和弹簧分离),落地点与桌面边缘的水平距离分别为lA=1m,lB=2m,如图4所示,则下列说法正确的是( )
图4
A.木块A、B离开弹簧时的速度大小之比vA∶vB=1∶2
B.木块A、B的质量之比mA∶mB=2∶1
C.木块A、B离开弹簧时的动能之比EkA∶EkB=1∶2
D.弹簧对木块A、B的作用力大小之比FA∶FB=1∶2
答案 ABC
解析 A、B两木块脱离弹簧后做平抛运动,由平抛运动规律得:
木块A、B离开弹簧时的速度大小之比为
=
=
,A正确;以向左为正方向,根据动量守恒定律得:
mAvA-mBvB=0,因此
=
=
,由此可知B正确;木块A、B离开弹簧时的动能之比为:
=
=
×
=
,C正确;弹簧对木块A、B的作用力大小之比:
=
,D错误.
10.如图5所示,光滑的水平面上,质量为m1的小球以速度v与质量为m2的静止小球正碰,碰后两小球的速度大小都为
v,方向相反,则两小球质量之比m1∶m2和碰撞前后动量变化量大小之比Δp1∶Δp2为( )
图5
A.m1∶m2=1∶3B.m1∶m2=1∶1
C.Δp1∶Δp2=1∶3D.Δp1∶Δp2=1∶1
答案 AD
11.如图6所示,光滑水平面上,质量为m1的足够长的木板向左匀速运动.t=0时刻,质量为m2的木块从木板的左端向右以与木板相同大小的速度滑上木板.t1时刻,木块和木板相对静止,共同向左匀速运动,以v1和a1表示木板的速度和加速度,以v2和a2表示木块的速度和加速度,以向左为正方向.则下列图中正确的是( )
图6
答案 BD
解析 木块和木板组成的系统动量守恒,因为最终共同的速度方向向左,根据m1v-m2v=(m1+m2)v′,知m1>m2;木块的加速度大小a2=
,方向向左,木板的加速度大小a1=
,方向向右,因为m1>m2,则a1 二、非选择题 12.a、b两个小球在一直线上发生碰撞,它们在碰撞前后的s-t图象如图7所示.若a球的质量ma=1kg,则b球的质量mb等于多少? 图7 答案 2.5kg 解析 由题图知va=4m/s,va′=-1m/s,vb=0,vb′=2m/s,根据动量守恒定律有mava=mava′+mbvb′,代入数据解得mb=2.5kg. 13.如图8所示,竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切,小滑块A和B(均可视为质点)分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点.现将A无初速度释放,A与B碰撞后结合为一个整体,并沿桌面滑动.已知圆弧轨道光滑,半径R=0.2m,A和B的质量相等,A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ=0.2.取重力加速度g=10m/s2.求: 图8 (1)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′; (2)A和B整体在桌面上滑动的距离L. 答案 (1)1m/s (2)0.25m 解析 (1)滑块A从圆弧轨道最高点到最低点机械能守恒,由 mAvA2=mAgR,可得vA=2m/s.在底部和B相撞,满足动量守恒,由mAvA=(mA+mB)v′,可得v′=1m/s. (2)根据动能定理,对A、B一起滑动过程由-μ(mA+mB)gL=0- (mA+mB)v′2,可得L=0.25m. 14.如图9所示,圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上,轨道半径为R,MN为直径且与水平面垂直,直径略小于圆管内径的小球A以某一速度冲进轨道,到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞,碰后两球粘在一起飞出轨道,落地点距N的距离为2R.重力加速度为g,忽略圆管内径,空气阻力及各处摩擦均不计,求: 图9 (1)粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t; (2)小球A冲进轨道时速度v的大小. 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)粘合后的两球从飞出轨道到落地做平抛运动,由平抛运动知识得,2R= gt2① 所以t=2 ② (2)设球A的质量为m,碰撞前瞬间速度大小为v1,把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0,由机械能守恒定律知 mv2= mv12+2mgR③ 设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v2,由动量守恒定律知mv1=2mv2④ 飞出轨道后做平抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动,有 2R=v2t⑤ 综合②③④⑤式得 v=2 .⑥
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