新课标高中数学必修一至必修五知识点总结可直接打印版.docx
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新课标高中数学必修一至必修五知识点总结可直接打印版
高中数学常用公式及结论大全(新课标)
必修1
②偶次方根的被开方数大于或等于零;如:
y5x,则5x0
1、集合的含义与表示
③对数的底数大于0且不等于1;:
yloga(x2),则a0且a1
如
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
它具有三大特性:
确定性、互异性、无序性。
集合的表示有列举法、描述法。
④对数的真数大于0;:
ylog(x2),x20
如a则
描述法格式为:
{元素|元素的特征},例如{x|x5,且xN}
⑤指数为0的底不能为零;
x
如:
y(m1),则m10
2、常用数集及其表示方法
(1)自然数集N(又称非负整数集):
0、1、2、3、,,
(2)正整数集N*或N+:
1、2、3、,,
11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(3)整数集Z:
-2、-1、0、1、,,(4)有理数集Q:
包含分数、整数、有限小数等
(1)奇函数满足f(x)f(x),奇函数的图象关于原点对称;
(5)实数集R:
全体实数的集合(6)空集Ф:
不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系:
属于∈,不属于
(2)偶函数满足f(x)f(x),偶函数的图象关于y轴对称;
例如:
a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
注:
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则f(0)0
4、集合与集合的关系:
子集、真子集、相等
③根据奇偶性可将函数分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
(1)子集的概念
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如
图1),记作AB或BA.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,记作PQ
BAA,B
或
(图1)
12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当
x1x时,都有f(x1)f(x2),则f(x)在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
2
(2)真子集的概念
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做
当
x1x时,都有f(x1)f(x2),则f(x)在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
2
B
A
函数f(x)在某区间上是增函数或减函数,那么说f(x)在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间
集合B的真子集(如图2).AB或BA.
(3)集合相等:
若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
AB,BAAB
(图2)
13、一元二次方程
20
axbxc(a0)
5、重要结论
(1)传递性:
若AB,BC,则AC
(2)空Ф集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.
n
6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2
子集有2n–2个.
n
个;真子集有2
n
2
–1个;非空子集有
–1个(即不计空集);非空的真
2
bb4ac
2
x1
(2)判别式:
b4ac
(1)求根公式:
2
2a
(3)0时方程有两个不等实根;0时方程有一个实根;0时方程无实根。
7、集合的运算:
交集、并集、补集
(1)一般地,由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
AB
(4)根与系数的关系——韦达定理:
b
x1x2,
a
x1x2
c
a
(2)一般地,对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,
叫做A,B的并集.记作A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
AB
2(a0);两根式()()
14、二次函数:
一般式yaxbxc
yaxx1xx(a0)
2
(3)若A是全集U的子集,由U中不属于A的元素构成的集合,
叫做A在U中的补集,记作CUA,CUAx|xU,且xA
CUA
A
(1)顶点坐标为
2
b4acb
(,)
2a4a
;
(2)对称轴方程为:
x=
b
2a
;
y
0
x
注:
讨论集合的情况时,不要发遗忘了A的情况。
8、映射观点下的函数概念
(3)当a0时,图象是开口向上的抛物线,在x=
b
2a
处取得最小值
4ac
4a
2
b
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:
A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象
的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”,
有时简记作函数f(x).
当a0时,图象是开口向下的抛物线,在x=
b
2a
处取得最大值
4ac
4a
b
2
9、分段函数:
在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。
如
y
2x
2
x
1
3
x
x
0
0
(4)二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系:
0时,有两个交点;0时,有一个交点(即顶点);0时,无交点。
15、函数的零点
10、求函数的定义域的原则:
(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
1
①分式的分母不为零;,10
如:
y则x
x1
2
使f(x)0的实数
x叫做函数的零点。
例如x01是函数f(x)x1的一个零点。
0
注:
函数yfx有零点函数yfx的图象与x轴有交点方程fx0有实根
16、函数零点的判定:
1
如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0。
那么,函数yfx在
M
(1)loga(MN)logaMlogaN
(2)logalogaloga
MN
N
;
区间a,b内有零点,即存在ca,b,使得fc0。
n
(3)logaMnlogaM(nR)(注意公式的逆用)
17、分数指数幂(a0,m,nN,且n1)
(1)
m
nm
n
aa.如
3
3x
2
x;
(2)
a
m
n
3
1
11.如2
x
m
nm3
x
a
n
a
(4)当n为奇数时,
nana;当n为偶数时,
nna,a0
a|a|
a,a0
.
naa;
n
;(3)()
log
N
m
(a0,且a1,m0,且m1,N0).
25、对数的换底公式
logN
a
log
m
a
1
loga
b
n
n
;②logblogb
ma
a
m
.
推论①或
log
a
b
26、对数函数ylogax(a0,且a1):
其中,x是自变量,a叫做底数,定义域是(0,)
18、有理指数幂的运算性质(a0,r,sQ)
a10a1
(1)
rasas
r
a;
(2)
rars
s
(a);(3)
(ab)
rarbr
图像
y
x
19、指数函数
yaa0a1(且),
其中x是自变量,a叫做底数,
定义域是R
图
象
y
1
0
a10a1
y
x
1
x
001
1
x
定义域:
(0,∞)
值域:
R性质
x
过定点(1,0)
(1)定义域:
R0
增函数减函数
性
质
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
取值范围
0 x>1时,y>0 0 x>1时,y<0 (4)在R上是增函数(4)在R上是减函数 b 20、若aN ,则叫做以为底N的对数。 记作: logaNb(a0,a1,N0) 27、指数函数 x ya与对数函数ylogax互为反函数;它们图象关于直线yx对称. 其中,a叫做对数的底数,N叫做对数的真数。 b 注: 指数式与对数式的互化公式: logaNbaN(a0,a1,N0) 1 28、幂函数yx(R),其中x是自变量。 要求掌握,1,2,3 1,这五种情况(如下图) 2 29、幂函数yx的性质及图象变化规律: 21、对数的性质(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (1)零和负数没有对数,即logaN中N0; (Ⅱ)当0时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间[0,)上是增函数. (Ⅲ)当0时,幂函数的图象在区间(0,)上是减函数. (2)1的对数等于0,即log10 a; 底数的对数等于1,即loga1 a 3 2 yx 3 2 y 2 x 2 y 3 x 22、常用对数lgN: 以10为底的对数叫做常用对数,记为: log10NlgN 自然对数lnN: 以e(e=2.71828,)为底的对数叫做自然对数,记为: logeNlnN 1 1 -22 1 -1 -2 1 1 -22 1 yx 1 1 -22 1 -1 -2 yx 1 logN 23、对数恒等式: aaN -1 -3 24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0) 2 必修2 40、直线的斜率: 30、边长为a的等边三角形面积 S 正 3 4 2 a (1)过 Ax1,y,Bx,y两点的直线,斜率 122 yy 21 k,(x1x2) xx 21 1 31、柱体体积: V柱=S底h,锥体体积: 锥=Sh V球表面积公式: 底 3 32、四个公理: 2 S球4R,球体积公式: V 4 3 3 R 0 (2)已知倾斜角为的直线,斜率ktan(90) (3)曲线yf(x)在点(,) x0y处的切线,其斜率kf(x) 00 ①如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 ②过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。 41、直线位置关系: 已知两直线l1: yk1xb1,l2: yk2xb2,则 ③如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 l1//l2k1k2且b1b2 l1l2k1k21 ④平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性)。 特殊情况: (1)当 k1,k都不存在时,l1//l2; (2)当k1不存在而k20时,l1l2 2 33、等角定理: 空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图) 123 42、直线的五种方程: ①点斜式 yy1k(xx1)(直线l过点(x1,y1),斜率为k). 34、两条直线的位置关系: 直线与平面的位置关系: 平行 共面直线 相交 异面直线 : (在同一平面内,没有公共点) : (在同一平面内,有一个公共点) : (不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点) ②斜截式().ykxblybk直线在轴上的截距为,斜率为 yyxx ③两点式11 yyxx 2121 (直线过两点(,) x1y与(x2,y2)). 1 (1)直线在平面上; (2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交) 两个平面的位置关系: (1)两个平面平行; (2)两个平面相交 xy ④截距式1 (a,b分别是直线在x轴和y轴上的截距,均不为0) ab 35、直线与平面平行: 定义一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。 ⑤一般式AxByC0(其中A、B不同时为0);可化为斜截式: y A B x C B 判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。 性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 43、 (1)平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式: |AB|= 22 (x1x)(yy) 212 36、平面与平面平行: 定义两个平面没有公共点,则这两平面平行。 (2)空间两点(,,),(,,) Ax1yzBxyz距离公式|AB|= 11222 222 (x1x)(yy)(zz) 21212 判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 性质①如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 ②如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。 |AxByC| (3)点到直线的距离00 d 22 AB (点P(x0,y0),直线l: AxByC0). 37、直线与平面垂直: 定义如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。 44、两条平行直线Ax0与AxByC20间的距离公式: ByC 1 d C 1 2 A C 2 2 B 性质①垂直于同一平面的两条直线平行。 注: 求直线AxByC0的平行线,可设平行线为AxBym0,求出m即得。 ②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。 38、平面与平面垂直: 定义两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。 45、求两相交直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点: 解方程组 A A x 1 2 x By 1 By 2 C 1 C 2 0 0 46、圆的方程: 判定一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 性质两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 ①圆的标准方程 222 (xa)(yb)r.其中圆心为(a,b),半径为r 39、三角形的五“心” (1)O为ABC的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等 ②圆的一般方程 220 xyDxEyF. (2)O为ABC的重心(各边中线的交点).重心将中线分成2: 1的两段 (3)O为ABC的垂心(各边高的交点). (4)O为ABC的内心(各内角平分线的交点).内心到三边的距离相等 (5)O为ABC的A的旁心(各外角平分线的交点). 2E2F D4 r,其中 2 DE 其中圆心为) (, ,半径为 22 2() 22 (xa)ybr位置关系 47、直线AxByC0与圆的 d AaBb 2B2 A C 其中d是圆心到直线的距离,且 224 DEF>0 3 (1)dr相离0; 1 平均数: xx1x2xn n 方差: 2 s= 1 n 2222 [(xx)(xx)(xx)(xnx)] 123 (2)dr相切0;(3)dr相交0. 标准差: 1 222 sxxxxnx注: 通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度;其 x 12 n 48、直线与圆相交于A(x1,y),B(x,y)两点,求弦AB长度的公式: (1) 122 2 |AB|2rd 2 值越小,数据越集中;其值越大,数据越分散。 n 2()24 (2) |AB|1kxxxx(结合韦达定理使用),其中k是直线的斜率 1212 49、两个圆的位置关系: 设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r 2,O1O2d 1,r 回归直线方程: y? bxa,其中 b i i x y nxy i i 1,aybx n 22 xnx i 1 1)d1r外离4条公切线;2)dr1r2外切3条公切线; r 2 55、事件的分类: 3)r1rdrr相交2条公切线;4)dr1r2内切1条公切线; 212 (1)必然事件: 必然事件是每次试验都一定出现的事件。 P(必然事件)=1 5)0drr内含无公切线 12 (2)不可能事件: 任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 (3)随机事件: 随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件 必修③公式表 基本事件: 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。 50、算法: 是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限 56、在n次重复实验中,事件A发生的次数为m,则事件A发生的频率为m/n,当n很大时,m总是在某个常数值附近摆 步之内完成. 动,就把这个常数叫做事件A的概率。 (概率范围: 0PA1) 51、程序框图及结构 57、互斥事件概念: 在一次随机事件中,不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图1)。 程序框名称功能 如果事件A、B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B) 表示一个算法的起始和结束 起止框58、对立事件(如图2): 指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。 对立事件性质: P(A)+P(A)=1,其中A表示事件A的对立事件。 表示一个算法输入和输出的信息 输入、输出59、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征: 框 (1)基本事件个数是有限的; (2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同. 赋值、计算 处理框 60、设一试验有n个等可能的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概率P(A)公式为 判断某一条件是否成立,成立时在出 口处标明“是”或“Y”;不成立时标 明“否”或“N” A 包含的基本事件的个数 PA= 基本事件的总数 判断框 m 52、算法的三种基本逻辑结构: 顺序结构、条件结构、循环结构。 运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的概率,然后计算。 在 n 计算某些事件的概率较复杂时,可转而先示对立事件的概率。 53、三种抽样方法的区别与联系 类别共同点各自特点相互联系适用范围 61、几何概型的概率公式: PA 构成事件 A 的区域长度 区域长度 试验的全部结果构成的 ) 简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中个体数较少 必修④公式表 62、终边相同角构成的集合: |2k,kZ 各层抽样可采用简 分层 将总体分成几层进 总体有差异明显的几部分 抽取过程中 单随机抽样或系统 l 63、弧度计算公式: r 抽样 行抽取 组成 每个个体被抽 抽样 将总体平均分成几 取的概率相等 11 2 64、扇形面积公式: lrr S(为弧度) 22 65、三角函数的定义: 已知Px,y是的终边上除原点外的任一点 部分,按事先确定的 在起始部分抽样时 系统抽样 总体中的个体较多 规则分别在各部分抽 采用简单随机抽样 取 ) r l P(x,y) 54、 (1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距) 极差 组数, 组距 频数 频率, 样本容量 yxy sin,cos,tan,其中 rrx 则 66、三角函数值的符号 r 2xy 2 2 r ) x y 频率 小矩形面积。 组距频率 组距 +++ —— + (2)数字特征众数: 一组数据中,出现次数最多的数。 中位数: 一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其平均数)。 ———++— sinvcostan 4 67、特殊角的三角函数值: 74、正弦定理: 在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等。 0 6432 2
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