备考九年级中考数学复习满分突破训练全等三角形的性质与判定二.docx
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备考九年级中考数学复习满分突破训练全等三角形的性质与判定二
备考2021年九年级中考数学复习满分突破训练:
全等三角形的性质与判定
(二)
1.如图,在△ABC中,AB<AC,边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D,垂足为E,DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD.
(1)求证:
BG=CF;
(2)若AB=10cm,AC=14cm,求AG的长.
2.如图,在等边三角形ABC中,点D为BC边上一点,DE∥AB,过D作DF⊥DE交AB于点F,且∠EFD=60°,CN平分∠ACB,CN分别交DE、EF于M、N两点.
(1)求证:
△CEN≌△EDF;
(2)求证:
点N为线段EF中点.
3.如图,在Rt△ARC中,∠ACB=90°,E为AC上一点,且AE=BC,AD⊥CA于点A,且AD=AC,连接DE交AB于点F.
(1)求证:
△ABC≌△DEA;
(2)判断线段AB与DE的位置关系,请说明理由;
(3)连接BD、BE,若BC=a,AC=b,AB=c.试利用四边形ADBE的面积验证勾股定理.
4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.D为AB的中点,E是AC边上任意一点,DF⊥DE,交BC边于F点.G为EF的中点,延长CG交AB于点H.
(1)求证:
DE=DF;
(2)求证:
CG=GH;
(3)若AE=3,CH=5.求AC边的长.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在△ABC外部,且AD⊥CD,BE⊥CD,垂足分别为D、E.
(1)求证:
△BEC≌△CDA;
(2)若AD=1.7cm,DE=2.5cm,求BE的长度.
6.已知:
D,A,E三点都在直线m上,在直线m的同一侧作△ABC,使AB=AC,连接BD,CE.
(1)如图①,若∠BAC=90°,BD⊥m,CE⊥m,求证:
△ABD≌△ACE;
(2)如图②,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,请判断BD,CE,DE三条线段之间的数量关系,并说明理由.
7.如图1,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图2,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由.
8.如图,等腰△ABC中,AB=AC,点D为直线BC下方一点.
(1)如图1,若DB=CD,求证:
AD平分∠BDC;
(2)如图2,若∠ABD+∠ACD=180°(∠ABD>∠ACD),过点A作CD的垂线,垂足为点E,DE=3,CD=5.求BD的长度.
9.点D、A、E在直线m上(D、E两点分别在点A的左右两边),AB=AC,∠BDA=∠AEC=∠BAC.
(1)如图1,若∠BAC=90°,证明:
DE=BD+CE.
(2)如图2,若∠BAC=120°,点F为∠BAC平分线上的一点,且AF=AB,连接DF、EF,试判断△DEF的形状并说明理由.
10.如图,△ABC和△AEF均为等边三角形,点E在△ABC内部,且EA=5,EB=12,EC=13,连接CF.
(1)求证:
BE=CF;
(2)求∠AEB的度数.
参考答案
1.
(1)证明:
连接BD,
∵DE垂直平分BC,
∴BD=CD,
∵AD平分∠CAM,DF⊥AC,DG⊥AM,
∴DG=DF,
在Rt△BDG和Rt△CDF中,
,
∴Rt△BDG≌Rt△CDF(HL),
∴BG=CF;
(2)解:
在Rt△ADG和Rt△ADF中,
,
∴Rt△ADG≌Rt△ADF(HL),
∴AG=AF,
∵AC=AF+CF,BG=AB+AG,BG=CF,
∴AC=AF+AB+AG,
∴AC=2AG+AB,
∵AB=10cm,AC=14cm,
∴AG=
=2cm.
2.证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠A=60°,∠EDC=∠B=60°,
∴△DEC是等边三角形,
∴EC=ED=CD,
∵CN平分∠ACB,
∴∠ECN=∠DCN=30°,
∵EF⊥AC,
∴∠FED=∠ECN=30°,
在△EDF和△CEN中,
,
∴△EDF≌△CEN(ASA);
(2)∵△EDF≌△CEN,
∴EN=DF,
∵∠FED=30°,∠EDF=90°,
∴EF=2DF,
∴EF=2EN,
∴点N为线段EF中点.
3.
(1)证明:
∵AD⊥CA,
∴∠DAE=∠ACB=90°,
在△ABC与△DEA中,
,
∴△ABC≌△DEA(SAS);
(2)解:
AB⊥DE,理由如下:
∵△ABC≌△DEA,
∴AB=DE,∠BAC=∠ADE,
∵∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠BAD=90°,
∵∠DFA+∠ADE+∠BAD=90°,
∴∠DFA=90°,
∴AB⊥DE;
(3)证明:
由
(1)得:
△ABC≌△DEA,
∴BC=AE=a,AC=AD=b,AB=DE=c,
∵
,
,
∴
,
∴a2+b2=c2.
4.解:
(1)∵∠ACB=90°,D为AB的中点,AC=BC,
∴CD=AD=BD,
又∵AC=BC,
∴CD⊥AB,
∴∠EDA+∠EDC=90°,∠DCF=∠DAE=45°,
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(ASA);
(2)连接DG,
∵∠ACB=90°,G为EF的中点,
∴CG=EG=FG,
∵∠EDF=90°,G为EF的中点,
∴DG=EG=FG
,
∴CG=DG,
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB,
∴∠CDH=90°,
∴∠GHD+∠GCD=90°,∠HDG+∠GDC=90°,
∴∠GHD=∠HDG,
∴GH=GD,
∴CG=GH;
(3)如图,∵CG=GH=EG=GF,
∴CH=EF=5,
∵△ADE≌△CDF,
∴AE=CF=3,
在Rt△ECF中,由勾股定理得:
CE=
=4,
∴AC=AE+EC=3+4=7.
5.
(1)证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠BEC=∠D=90°,
∵∠BCE+∠ACD=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠BCE=∠DAC,
在△BEC和△CDA中,
,
∴△BEC≌△CDA(AAS);
(2)解:
∵△BEC≌△CDA(AAS);
∴CE=AD,BE=CD,
∵AD=1.7cm,DE=2.5cm,
∴CE=AD=1.7(cm),
∴BE=CD=CE+DE=1.7+2.5=4.2(cm).
6.解:
(1)证明:
如图①,∵D,A,E三点都在直线m上,∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠ADB=∠CEA=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(AAS);
(2)DE=BD+CE.
理由是:
如图②,∵∠BDA=∠AEC=∠BAC,
∴由三角形内角和及平角性质,得:
∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=∠CAE+∠ACE,
∴∠ABD=∠CAE,∠BAD=∠ACE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AD+AE=BD+CE.
7.解:
(1)BD=AC,BD⊥AC,
理由:
延长BD交AC于F.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
在△BED和△AEC中,
,
∴△BED≌△AEC(SAS),
∴BD=AC,∠DBE=∠CAE,
∵∠BED=90°,
∴∠EBD+∠BDE=90°,
∵∠BDE=∠ADF,
∴∠ADF+∠CAE=90°,
∴∠AFD=180°﹣90°=90°,
∴BD⊥AC;
(2)结论不发生变化,
理由是:
设AC与DE相交于点O,
∵∠BEA=∠DEC=90°,
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,
∴∠BED=∠AEC,
在△BED和△AEC中,
,
∴△BED≌△AEC(SAS),
∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,
∵∠DEC=90°,
∴∠ACE+∠EOC=90°,
∵∠EOC=∠DOF,
∴∠BDE+∠DOF=90°,
∴∠DFO=180°﹣90°=90°,
∴BD⊥AC.
8.证明:
(1)∵AB=AC,DB=CD,
∴AD垂直平分BC,
∵AB=AC,
∴AD平分∠BDC;
(2)如图,过点A作AH⊥BD于F,
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD+∠ABF=180°,
∴∠ABF=∠ACE,
在△ABF和△ACE中,
,
∴△ABF≌△ACE(AAS),
∴AF=AE,BF=CE,
在Rt△ADF和Rt△ADE中,
,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴DF=DE,
∵DE=DF=3,CD=5
∴CE=2=BF,
∴BD=DF﹣BF=1.
9.
(1)证明:
∵∠BDA=∠BAC,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)△DEF为等边三角形.理由如下:
连接BF,
由
(1)知,△ADB≌△CAE,
∴BD=EA,∠DBA=∠CAE,
∵∠BAC=120°,AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF=60°,
∵AF=AB,
∴△ABF为等边三角形,
∴∠ABF=∠BAF=∠AFB=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
在△DBF和△EAF中,
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
10.证明:
(1)∵△ABC和△AEF均为等边三角形,
∴AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF;
(2)∵△ABE≌△ACF,
∴∠AEB=∠AFC,BE=CF=12,
∵EF2+FC2=25+144=169,EC2=169,
∴EF2+FC2=EC2=169,
∴∠EFC=90°,
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=150°,
∴∠AEB=150°.
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