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完整word人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景(5月4日)
教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点极限思想
教学过程
一、导入新课
1.瞬时速度
问题1:
一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?
析:
大家知道,自由落体的运动公式是s*gt2(其中g是重力加速度).
当时间增量t很小时,从3秒到(3+t)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大.因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时
的速度.
从3秒到
(3+
t)秒这段时间内位移的增量:
ss(3
t)
s(3)4.9(3t)24.93229.4t4.9(t)2
从而,V
st
29.44.9t.
从上式可以看出,t越小,工越接近29.4米/秒;当t无限趋近于0时,」
tt
无限趋近于29.4米/秒.此时我们说,当t趋向于0时,一^勺极限是29.4.
s
当t趋向于0时,平均速度一S的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做
t
瞬时速度.
一般地,设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t到(t+t)这段时间内的平均速度为—s(t—.如果t无限趋近于0时,」无限趋近于
ttt
某个常数a,就说当t趋向于0时,」的极限为a,这时a就是物体在时刻t
t
的瞬时速度.
2.切线的斜率
问题2:
P(1,1)是曲线yx2上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点
Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析:
设点Q的横坐标为1+x,则点Q的纵坐标为(1+x)2,点Q对于点P
的纵坐标的增量(即函数的增量)y(1x)212x(x)2,
2
所以,割线PQ的斜率kpQ丄(x)2x.
xx
由此可知,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,x变得越来越小,kpQ越来越接近2;当点Q无限接近于点P时,即x无限趋近于0时,kpQ无限趋近于
2.这表明,割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线•由点斜式,这条切线的方程为:
y2x1.
一般地,已知函数yf(x)的图象是曲线C,P(x0,y0),Q(x0x,y0y)是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P,即x趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时,割线PQ的斜率kPQ丄无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当x趋向于0时,割线
x
PQ的斜率kpQ」的极限为k.
x
3.边际成本
问题3:
设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为C(q)3q210,我
们来研究当q=50时,产量变化q对成本的影响.在本问题中,成本的增量为:
222
CC(50q)C(50)3(50q)10(35010)300q3(q).
产量变化q对成本的影响可用:
一—3003q来刻划,q越小,一C越接近
300;当q无限趋近于0时,上无限趋近于300,我们就说当q趋向于0时,
q
的极限是300.
—
我们把——的极限300叫做当q=50时C(q)3q210的边际成本.
q
CC(q。
q)C(q。
)
般地,设C是成本,q是产量,成本与产量的函数关系式为C二C(q),
当产量为qo时,产量变化q对成本的影响可用增量比
刻划.如果q无限趋近于0时,一C无限趋近于常数A,经济学上称A为边际
q
成本.它表明当产量为qo时,增加单位产量需付出成本A(这是实际付出成本的一个近似值).
二、小结
瞬时速度是平均速度—当t趋近于0时的极限;切线是割线的极限位置,
t
切线的斜率是割线斜率乂当x趋近于0时的极限;边际成本是平均成本—当
xq
q趋近于0时的极限.
三、练习与作业:
1.某物体的运动方程为s(t)5t2(位移单位:
m,时间单位:
s)求它在t=2s时的速度.
2.判断曲线y2x2在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程
3.已知成本C与产量q的函数关系式为C2q25,求当产量q=80时的边际成本.
4.一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:
m)与时间t(单位:
s)之间的函数关系为ht2,求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.
5.判断曲线y
AA
2x2在(1,2)处是否有切线'如果有'求出切线的方程
6.已知成本C与产量q的函数关系为C4q27,求当产量q=30时的边际成
本•
导数的概念(5月4日)
教学目标与要求:
理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点:
导数的概念以及求导数
教学难点:
导数的概念
教学过程:
一、导入新课:
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同,但从函数角度来看,却是相同的,都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出
下面导数的概念。
二、新授课:
1•设函数yf(x)在xXo处附近有定义,当自变量在xXo处有增量x时,则函数
Yf(x)相应地有增量yf(Xox)f(Xo),如果x0时,y与x的比」(也
x
叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数
x
yf(x)在xXo处的导数,记作y/xx0,即卩
Jf(XoX)f(Xo)
f(Xo)limo--
oX
注:
1•函数应在点Xo的附近有定义,否则导数不存在。
2•在定义导数的极限式中,x趋近于o可正、可负、但不为o,而y可能为o。
3.」是函数yf(X)对自变量X在X范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线
X
yf(x)上点(Xo,f(Xo))及点(Xo
X,f(XoX))的割线斜率。
4•导数f/(xo)limf(XoX)f(Xo)
xo
是函数yf(x)在点xo的处瞬时变化率,
它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度,
它的几何意义是曲线yf(x)上
点(xo,f(xo))处的切线的斜率。
因此,如果y
f(x)在点X。
可导,则曲线yf(x)
在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)
f/(Xo)(xXo)。
5•导数是一个局部概念,它只与函数
yf(x)在xo及其附近的函数值有关,
与x无关。
6•在定义式中,设xxo
x,则
xXXo,当x趋近于o时,x趋近于Xo,因
此,导数的定义式可写成
f/(Xo)
limf(Xox)f(Xo)Hmf(x)f(Xo)。
X0Xx冷xXo
7.若极限
f(Xo)不存在,则称函数yf(x)在点xo处不可导。
8.若f(x)在xo可导,则曲线yf(x)在点(xo,f(xo))有切线存在。
反之不然,若曲
线yf(x)在点(x0,f(x0))有切线,函数yf(x)在x。
不一定可导,并且,若函数
yf(x)在X。
不可导,曲线在点(xo,f(xo))也可能有切线。
般地,lxmo(abx)a,
其中a,b为常数。
特别地,lixmoa
如果函数yf(x)在开区间
(a,b)内的每点处都有导数,
此时对于每一个x
(a,b),都
对应着一个确定的导数f/(x),
从而构成了一个新的函数
f/(x)。
称这个函数
f/(x)为函
y/,即
函数yf(x)在xo处的导数y/
x勺就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x
(a,b))上导
数f/(x)在xo处的函数值,即y/
xXo
=f/(xo)。
所以函数yf(x)在xo处的导数也记作
数yf(x)在开区间内的导函数,简称导数,也可记作
f/(x)=y/」im」limf(XX)f(X)
xoxxox
(a,b)内可导。
2•导数与导函数都称为导数,这要加以区分:
求一个函数的导数,就是求导函数;求一
个函数在给定点的导数,就是求导函数值。
它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处
的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值。
3•求导函数时,只需将求导数式中的X。
换成x就可,即flx)=lim-一x)一空
X0x
4•由导数的定义可知,求函数yf(x)的导数的一般方法是:
例2•已知函数
x2x
(1)•求函数的改变量y
f(x
x)
f(x)。
(2)•求平均变化率一丫
f(x
x)
f(x)
o
x
x
(3)•取极限,得导数y/:
=lim-
y
。
x0
x
例1•求y2x21在x=-3处的导数。
(1)求y/。
(2)求函数y
2x在x=2处的导数。
小结:
理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业:
(2)y12x
1•求下列函数的导数:
(1)y3x4;
23
⑶y3x12x(3)y5x
2
2.求函数yx1在—1,0,1处导数。
3•求下列函数在指定点处的导数:
(2)y1x2,xo0;
3
(3)y(x2)2,xo1
2
(4)yxx,xo1.
(1)yx2,Xo2;
2
⑵y10x;
2
(4)y2x7。
4.求下列函数的导数:
(1)y4x1;
(3)y2x33x;
5•求函数yx22x在—2,0,2处的导数。
导数的概念习题课(5月6日)
教学目标理解导数的有关概念,掌握导数的运算法则
教学重点导数的概念及求导法则
教学难点导数的概念
一、课前预习
1.f(x)在点x0处的导数是函数值的改变量与相应自变量的改变
量的商当
2•若f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数f/(x),称f/(x)为函数f(x)的导函数;求一个函数的导数,就是求;求一个函数在给定点的导数,就是求•函
数f(x)在点X。
处的导数就是.
/n/*
3•常数函数和幕函数的求导公式:
(c)_(x)(nN)
4•导数运算法则:
若,则:
[f(x)g(x)]/f/(x)g/(x)[cf(x)]/cf/(x)
二、举例
例1•设函数f(x)x21,求:
(1)当自变量x由1变到1.1时,自变量的增量x;
(2)当自变量x由1变到1.1时,函数的增量y;
(3)当自变量x由1变到1.1时,函数的平均变化率;
(4)函数在x=1处的变化率•
例2•生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)2000.05q2,求
(1)生产90个单位该产品时的平均成本;
(2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率;
(3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少•
例3•已知函数f(x)x2,由定义求f/(x),并求f/(4).
例4.已知函数
2/
f(x)(axb)(a,b为常数),求f(x).
例5.曲线y
3x2上哪一点的切线与直线y3X
1平行?
三、巩固练习
1.若函数f(x)
2.如果函数y
f(X)在点Xo处的导数分别为:
(1)f/(Xo)
(2)
f/(Xo)1
(3)f/(Xo)
f/(xo)2,
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角
3.已知函数f(x)x
/
2x,求f(0),f
4.求下列函数的导数
lx23x
2
(1)y
1
(2)y-x
4
5x1
(3)y
x3(x24)
2
(4)y(2x1)(3x
2)
四、作业
1.若limf(x)存在,则
X0
[1叫f(x)]/=
2.若f(x)x2,贝Ulim
x1x1
(1)y2x420x240x1
(2)y32x4x25x
(3)y(2x31)(3xx)
(4)y(x2)2(x1)3
2
4•某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数,即C(x)10007x5x,试求:
(1)当日产量为100时的平均成本;
)当日产量由100增加到125时,增加部分的平均成本;
(3)当日产量为100时的边际成本.
2
5•设电量与时间的函数关系为Q2t3t1,求t=3s时的电流强度.
6•设质点的运动方程是s3t22t1,计算从t=2到t=2+t之间的平均速度,并计算
当t=0.1时的平均速度,再计算t=2时的瞬时速度.
7•若曲线y
3x21的切线垂直于直线2x6y3
2
0,试求这条切线的方程
2
8•在抛物线y2xx上,哪一点的切线处于下述位置?
(1)与x轴平行
(2)平行于第一象限角的平分线
(2)过点A的切线的斜率kAT;
(3)与x轴相交成45°角
10.在抛物线yx上依次取M(1,1),N(3,9)两点,作过这两点的割线,问:
抛物线上
哪一点处的切线平行于这条割线?
并求这条切线的方程
11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长,求半径为10cm时,该气球的体积与表面积的
增长速度•
12.一长方形两边长分别用x与y表示,如果x以0.01m/s的速度减小,y边以0.02m/s的速
度增加,求在x=20m,y=15m时,长方形面积的变化率•
13.(选做)证明:
过曲线xya2上的任何一点(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数•(提示:
J),$)
xx
导数的应用习题课(5月8日)
教学目标掌握导数的几何意义,会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1•设函数yf(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内,则yf(x)是这个
区间内的;如果在这个区间内,贝Uyf(x)是这个区间内的
2•设函数yf(x)在xx。
及其附近有定义,如果f(X。
)的值比X。
附近所有各点的值都大(小),则称f(x。
)是函数yf(x)的一个.
3•如果yf(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值:
(1)求导数;
(2)求方程的根(可能极值点)
(3)如果在根的左侧附近为—,右侧附近为则函数yf(x)在这个根处取得极—值;
如果在根的左侧附近为—,右侧附近为则函数yf(x)在这个根处取得极—值.
4•设yf(x)是定义在[a,b]上的函数,yf(x)在(a,b)内有导数,可以这样求最值:
(2)比较函数值f(a),f(b)与f(xjf(x2),,f(xn),其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
二、举例
32
例1•确定函数f(x)2x9x12x3的单调区间.
3
例2.设一质点的运动速度是v(t)t47t315t23,问:
从t=0到t=10这段时间内,
4
运动速度的改变情况怎样?
例3.求函数f(x)^x39x4的极值.
3
例4.设函数f(x)
1312
3ax2bxx在x1=1与x2=2处取得极值,试确定a和b的值,
并问此时函数在X1与X2处是取极大值还是极小值?
3
例5.求函数f(x)3x9x5在[—2,2]上的最大值和最小值
例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例,要将直径为d的圆木锯成强度
最大的横梁,断面的宽和高应为多少?
例7•求内接于抛物线y1x2与X轴所围图形内的最大矩形的面积
例8.某种产品的总成本C(单位:
万元)是产量x(单位:
万件)的函数:
C(x)1006x0.04x20.02x3,试问:
当生产水平为x=10万件时,从降低单
位成本角度看,继续提高产量是否得当?
三、巩固练习
1•若函数f(x)在区间[a,b]内恒有fix)0,则此函数在[a,b]上的最小值是
111
2•曲线V—X4—X3-x2x1的极值点是
432
32
3•设函数f(x)ax(ax)axa在x=1处取得极大值—2,贝Ua=.
4•求下列函数的单调区间:
322
(1)V2x3x12x1
(2)y(x1)(x2)
5•求下列函数的极值:
(1)yx24x6,
32
(2)yx3x9x5,[—4,4]
6•求下列函数的最值:
2
(1)yx4x6,[—3,10]
(2)y
3八2
3x,[—1,4]
7•设某企业每季度生产某个产品q个单位时,总成本函数为C(q)aqbqcq,(其中
a>0,b>0,c>0),求:
(1)使平均成本最小的产量
(2)最小平均成本及相应的边际成
本•
8.一个企业生产某种产品,每批生产q单位时的总成本为C(q)3q(单位:
百元),可
得的总收入为R(q)6qq2(单位:
百元),问:
每批生产该产品多少单位时,能使利润最大?
最大利润是多少?
2
9.在曲线y1x(x
0,y0)上找一点(x0,y0),过此点作一切线,与x轴、y轴构成
一个三角形,问:
x0为何值时,此三角形面积最小?
37
10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为C(q)2.210q810,通过市场调查,
可以预计这种彩电的年需求量为q3.110550p,其中p(单位:
元)是彩电售
价,q(单位:
台)是需求量•试求使利润最大的销售量和销售价格.
多项式函数的导数(5月6日)
教学目的:
会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数
教学重点:
导数运算法则的应用
教学难点:
多项式函数的求导
一、复习引入
1、已知函数f(x)x2,由定义求f/(x),并求f/(4)
n*
xn(nN)
2、根据导数的定义求下列函数的导数:
(1)常数函数yC
(2)函数y
二、新课讲授
1、两个常用函数的导数:
(xn)/nxn1(nN*)
2、导数的运算法则:
如果函数f(x)、g(x)有导数,那么
[f(x)g(x)]/f/(x)g/(x);
[Cf(x)]/Cf/(x)
也就是说,两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数•
例1:
求下列函数的导数:
3453
(1)y7x
(2)y3x(3)y4x3x
22
(4)y(x1)(x2)(5)f(x)(axb)(a、b为常数)
例2:
已知曲线
(1)过点
138
yx上一点P(2,—),求:
33
P的切线方程
P的切线的斜率;
(2)过点
三、课堂小结:
多项式函数求导法则的应用
四、课堂练习:
1、求下列函数的导数:
223
(1)y8x
(2)y2x1(3)y2xx(4)y3x4x
(5)y(2x1)(3x2)(6)yx2(x34)
2
2、已知曲线y4xX上有两点A(4,0),B(2,4)—求:
(1)割线AB的斜率kAB;
(2)过点A处的切线的斜率kAT;(3)点A处的切线的方程
3、求曲线y3x4x2在点M(2,6)处的切线方程
五、课堂作业
1求下列函数的导数:
(1)
y5x
24x
1
⑵y
5x2
3x7
(3)
y7x2
13x
10
(4)
y3
x3x
3
:
(5)
y2x3
3x2
5x4
(6)
f(x)(2
x)(3
x)
(7)
f(x)
3x4
23x3
40x10
(8)
f(x)
(x2)2
x
(9)
f(x)
(2x3
1)(3x2
x)
(10)y
3(2x
1)24x
2、求曲线y2xx3在x1处的切线的斜率。
12
3、求抛物线y—x2在x2处及x2处的切线的方程。
4
4、求曲线yx33x21在点P(2,-3)处的切线的方程。
函数的单调性与极值(5月10日)
教学目标:
正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;
掌握利用导数判断函数单调性的方法;
教学重点:
利用导数判断函数单调性;
教学难点:
利用导数判断函数单调性
教学过程:
一引入:
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设X1VX2的前提下,比较f(X1) 二新课讲授 1函数单调性 2 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数从函数yx4x3 的图像可以看到: 在区间(2,)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大 而增大,即y/>0时,函数y=f(x)在区间(2,)内为增函数;在区间(,2)内, 切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即£0时,函数y=f(x)在区间 (,2)内为减函数. 定义: 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内y/>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内yJo,那么函数y=f(x)在为这个区间内的 减函数。 例1确定函数yx22x4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 32 例2确定函数y2x6x7的单调区间。 y 2极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们 说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说 f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在xXo及其附近有定义,如果f(Xo)的值比X。 附近所有各点的函 数值都大,我们说f(Xo)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(Xo)的值比Xo附近所有各点的 函数值都小,我们说f(Xo)是函数y=f(x)的一个极小值。 极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。 请注意以下几
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