专题09 圆综合题中考数学母题题源系列第03篇原卷版.docx
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专题09圆综合题中考数学母题题源系列第03篇原卷版
【母题来源一】2017四川省内江市第27题
【母题原题】如图,在⊙O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接AC,点E在AB上,且AE=CE.
(1)求证:
AC2=AE•AB;
(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等,并说明理由;
(3)设⊙O半径为4,点N为OC中点,点Q在⊙O上,求线段PQ的最小值.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)PB=PE;(3)
.
【分析】
(1)证明△AEC∽△ACB,列比例式可得结论;
(2)如图2,证明∠PEB=∠COB=∠PBN,根据等角对等边可得:
PB=PE;
(3)如图3,先确定线段PQ的最小值时Q的位置:
因为OQ为半径,是定值4,则PQ+OQ的值最小时,PQ最小,当P、Q、O三点共线时,PQ最小,先求AE的长,从而得PB的长,最后利用勾股定理求OP的长,与半径的差就是PQ的最小值.
(2)PB=PE,理由是:
如图2,连接OB,∵PB为⊙O的切线,∴OB⊥PB,∴∠OBP=90°,∴∠PBN+∠OBN=90°,∵∠OBN+∠COB=90°,∴∠PBN=∠COB,∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A,∠COB=2∠A,∴∠PEB=∠COB,∴∠PEB=∠PBN,∴PB=PE;
考点:
圆的综合题;最值问题;探究型;压轴题.
【名师点睛】本题是圆的综合题,考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识,第三问有难度,确定PQ最小值时Q的位置是关键,根据两点之间线段最短,与勾股定理、方程相结合,解决问题.
【母题来源二】2017四川省成都市第20题
【母题原题】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:
DH是圆O的切线;
(2)若A为EH的中点,求
的值;
(3)若EA=EF=1,求⊙O的半径.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)
;(3)
.
【分析】
(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:
∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;
(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,则H是EC的中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,由OD是△ABC的中位线,得:
OD=
AC=
,证明△AEF∽△ODF,列比例式可得结论;
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明△BFD∽△EFA,列比例式为:
,则
,求出r的值即可.
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF,∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1,在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,∴BF=BD=r+1,∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣(1+r)=r﹣1,在△BFD和△EFA中,∵∠BDF=∠EFA,∠B=∠E,∴△BFD∽△EFA,∴
,∴
,解得:
r1=
,r2=
(舍),综上所述,⊙O的半径为
.
考点:
圆的综合题;压轴题.
【名师点睛】本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,第三问设圆的半径为r,根据等边对等角表示其它边长,利用比例列方程解决问题.
【命题意图】母题1考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识;母题2考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理.
【方法、技巧、规律】判定切线的方法:
①连半径,证垂直;②作垂直,证半径.圆的综合题涉及知识点多,要善于把复杂图形分解为多个基本图形.
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