轨迹方程的探究方法定义法参数法.docx
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轨迹方程的探究方法定义法参数法
轨迹方程的探究方法,,定义法,参数法
篇一:
参数法求轨迹方程
参数法求轨迹方程
一、教学目标
(一)知识教学点
深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系,进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法.
(二)能力训练点
掌握运用参数求轨迹方程的方法,了解设参的基本原则和选参的一般依据,能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性,培养多向思维的流畅性.
(三)学科渗透点
通过学习选参方法,学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法.
二、教材分析
1.重点:
运用参数求轨迹方程的方法.
2.难点:
选择参数应遵循的一般依据,消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论.
3.疑点:
设参的基本原则.
三、活动设计
1.活动:
问答、思考.
2.教具:
投影仪.
四、教学过程
(一)回忆、点题和明确任务
求动点的轨迹方程,如果动点坐标x、y之间的关系比较明显,那么可以用直接法,也就是建系、列式、化简.如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽,但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义,那么可以用定义法,也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量),然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程.如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义,那么就可以引进一些参数,用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来,然后消掉参数,这就是所谓的参数法求轨迹方程.
同学们常用的交轨法、换标法,实际上也是消去一些元,留下动点坐标x、y的方法,都可以叫参数法.在实践中大家已经知道,参数法求轨迹方程的步骤是:
首先根据运动系统的运动规律设参,然后运用这些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯粹性和完备性,我们称之为议参.其中,最关键的一步是设参,参设得不同,整个思维和运算过程不同,参设得不好,运算量增大,甚至根本就算不出来;最畏难一步是消参,经常遇到参消不了而越消越复杂的情况;最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论.如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密,大家可以从下面的例子中来思考和总结.
(二)讲例1,设参基本原则
请看屏幕(投影,读题).
例1矩形AbcD中,Ab=2a,bc=b,a>b,e、F分别是Ab、cD的中点,平行于ec的直线l分别交线段eF、Fc于m、n两点,求直线Am与bn交点p的轨迹(图3-9).
首先需要建立坐标系,请考虑,建立直角坐标系一般应选择什么位置?
学生1答:
选择边界、中心等特殊位置.
那么,这一题如何建立坐标系?
解:
以e为原点,eb为x轴建立直角坐标系.各点坐标如图(投影换片,加上坐标系与相关点坐标).
运动系统中,l主动,m、n从动,p随之运动,请思考,在这一运动系统中有几种设参方法?
学生2答:
(1)l的纵截距c,
(2)|om|=t,
(3)|Fm|=t.
…
为什么可以这样设参?
一参对一点p,一p对一参,参变化p运动,参固定p静止,一句话:
一切可以控制运动系统的量都可以设参.
这就是设参的基本原则.
设|Fm|=t,t∈[0,b],p(x,y).
学生3答:
不必要,只要找x、y、t间的最简单式子,从中能消参即可,这是列式的基本要求.
上面的消参方法,可以视x、y为常数代入消参,也可以是两式作用消参.参数t∈[0,b]范围明显,但由于没有显参数方程,所以不便通过议参来确定x、y的范围,此时可根据运动系统的运动全过程,由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性.
l过F时,p合于F,l→oc时,p→b故x≥0,y>0.
影片,显示轨迹).
(三)讲例2,选参的一般依据
上面例1,设一个参数就可以了,并且消参也容易,下面的例2就不是这种情况,请看屏幕(投影,读题).
例2点A(1,1)、b、c是抛物线y2=x上的动点,满足Ab⊥Ac,作矩形Abpc,求p点的轨迹方程(图3-10).
运动系统中,表面上看有b、c两个动点,实际上由于Ab⊥Ac,所以若b主动,则c从动,p随之运动,故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统.请思考,这题有几种设参方法?
各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来?
学生4答:
(2)设点b坐标(t2,t)→kAb→kAc→c→p.
上述两种设参方法中,参数与动点p的关连都比较远,课后大家可以计算一下,实现这一关连,计算很是复杂.那么再考虑,能否再找一种设参方法,这种设参方法不局限于一个参数,但确使参数与动点p间的关连比较近?
学生5答:
解:
设b(t12,t1),c(t22,t2)→p(x,y).
参数与p的关连很近,但参数多了一个,大家向来怕参数多,实际上,t1、t2之间本身有一个关系,F(t1,t2)=0,而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t1=f(t2),只需要将F(t1,t2)=0用一下就可以达到消参目的.而前面的两种设参方法在消参过程中,实际上就是把t1、t2的关系F(t1,t2)=0显解成t1=f(t2),然后消参时又恢复成F(t1,t2)=0的重复计算过程.这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂,有时根本就算不出来.是否真的如此,算算看:
∵(t1+t2)2=t12+t22+2t1t2,
∴(y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2].
即:
(y+2)2=x-2.
想一想看,如果显解出t1=f(t2)再两式消t2,将会出现两个关于t2的二次方程,这就是消参计算复杂性的原因,因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中,选择与动点坐标关连密切的为参数.
这就是选参的一般依据,并且选参不要求唯一,多个参之间不一定独立.例1中一个参数需二个式,例2中二个参数需三个式,所以一般来说,n个参数需列n+1个式,而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参.
最后来讨论纯粹性和完备性.同例1不一样,显然x、y是参数的显示数,但是两个参数的函数,且两个参数有关连,并非独立,所以x、y范围难求.而用几何直观也比较困难,把两者结合起来:
篇二:
求轨迹方程例题方法解析
求轨迹方程的常用方法
知识梳理:
(一)求轨迹方程的一般方法:
1.待定系数法:
如果动点p的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。
2.直译法:
如果动点p的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点p满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点p所满足的几何上的等量关系,再用点p的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。
3.参数法:
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点p运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立p点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0。
4.代入法(相关点法):
如果动点p的运动是由另外某一点p'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出p(x,y),用(x,y)表示出相关点p'的坐标,然后把p'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点p的轨迹方程。
5.几何法:
若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。
6:
交轨法:
在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。
(二)求轨迹方程的注意事项:
1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点p的运动规律,即p点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。
?
x?
f(t)2.轨迹方程既可用普通方程F(x,y)?
0表示,又可用参数方程?
(t为参数)
?
y?
g(t)
来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。
3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。
(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。
检验方法:
研究运动中的特殊情形或极端情形。
热身:
x2y2
?
1.p是椭圆=1上的动点,过p作椭圆长轴的垂线,垂足为m,则pm中点的轨迹95
中点的轨迹方程为:
()
x2y242y2x242x2y2
?
1b、?
y?
1c、?
?
1D、?
A、x?
=1
9595920365
【答案】:
b
x242
【解答】:
令中点坐标为(x,y),则点p的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得?
y?
1,选b
95
2.圆心在抛物线y?
2x(y?
0)上,并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()
Ax2?
y2?
x?
2y?
2
2
2
1
?
04
bx?
y?
x?
2y?
1?
0Dx2?
y2?
x?
2y?
22
cx?
y?
x?
2y?
1?
0【答案】:
D
1
?
04
a2a21
【解答】:
令圆心坐标为(,a),则由题意可得a?
?
解得a?
1,则圆的方程为
222x2?
y2?
x?
2y?
1
?
0,选D4
2
2
2
2
3:
一动圆与圆o:
x?
y?
1外切,而与圆c:
x?
y?
6x?
8?
0内切,那么动圆的圆心m的轨迹是:
A:
抛物线b:
圆c:
椭圆D:
双曲线一支【答案】:
D
【解答】令动圆半径为R,则有?
4:
点p(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动,则点m(2x0,y0)的轨迹是()A.焦点在x轴上的椭圆b.焦点在y轴上的椭圆c.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线【答案】:
A
?
|mo|?
R?
1
,则|mo|-|mc|=2,满足双曲线定义。
故选D。
?
|mc|?
R?
1
x?
x?
?
x?
2x0x2?
0
?
?
?
y2?
1【解答】:
令m的坐标为(x,y),则?
2代入圆的方程中得
4?
y?
y0?
y?
y0?
一:
用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1:
已知?
Abc的顶点A,b的坐标分别为(-4,0),(4,0),c为动点,且满足
5
sinb?
sinA?
sinc,求点c的轨迹。
4
55
【解析】由sinb?
sinA?
sinc,可知b?
a?
c?
10,即|Ac|?
|bc|?
10,满足椭
44
圆的定义。
令椭圆方程为
x2a'
2
?
y2b'
2
?
1,则a'?
5,c'?
4?
b'?
3,则轨迹方程为
x2y2
。
?
?
1(x?
?
5),图形为椭圆(不含左,右顶点)
259
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
(1)
(2)(3)(4)
圆:
到定点的距离等于定长
椭圆:
到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)
双曲线:
到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)到定点与定直线距离相等。
【变式1】:
1:
已知圆的圆心为m1,圆一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心p的轨迹方程。
解:
设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:
。
,
的圆心为m2,
。
∴动圆圆心p的轨迹是以m1、m2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。
故所求轨迹方程为
2
2
2
2
2:
一动圆与圆o:
x?
y?
1外切,而与圆c:
x?
y?
6x?
8?
0内切,那么动圆的圆
心m的轨迹是:
A:
抛物线b:
圆c:
椭圆D:
双曲线一支
【解答】令动圆半径为R,则有?
?
|mo|?
R?
1
,则|mo|-|mc|=2,满足双曲线定义。
故选D。
?
|mc|?
R?
1
二:
用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。
例2:
一条线段Ab的长等于2a,两个端点A和b分别在x轴和y轴上滑动,求Ab中点p的轨迹方程?
解设m点的坐标为(x,y)由平几的中线定理:
在直角三角形Aob中,om=
11
Ab?
?
2a?
a,22
?
x2?
y2?
a,x2?
y2?
a2
m点的轨迹是以o为圆心,a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了om=
下列几种情况:
1
Ab这一等量关系是此题成功的关键所在。
一般直译法有2
1)代入题设中的已知等量关系:
若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2)列出符合题设条件的等式:
有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式,得出其轨迹方程。
3)运用有关公式:
有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4)借助平几中的有关定理和性质:
有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】:
动点p(x,y)到两定点A(-3,0)和b(3,0)的距离的比等于2(即求动点p的轨迹方程?
22
【解答】∵|pA|=(x?
3)?
y,|pb|?
|pA|
,?
2)
|pb|
(x?
3)2?
y2
(x?
3)2?
y2|pA|
代入?
2?
(x?
3)2?
y2?
4(x?
3)2?
4y2?
2得
|pb|(x?
3)2?
y2
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.
三:
用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。
注意参数的
取值范围。
例3.过点p(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于b点,求线段Ab的中点m的轨迹方程。
【解析】
分析1:
从运动的角度观察发现,点m的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点m坐标(x,y)满足的参数方程。
解法1:
设m(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)由l1?
l2,则直线l2的方程为y?
4?
?
1
(x?
2)k
4,0),k2
l2与y轴交点b的坐标为(0,4?
),
k
?
l1与x轴交点A的坐标为(2?
∵m为Ab的中点,
4?
2?
?
?
1?
2x?
?
?
2k?
?
(k为参数)
2?
4?
?
k?
2?
1y?
?
2k?
消去k,得x+2y-5=0。
另外,当k=0时,Ab中点为m(1,2),满足上述轨迹方程;当k不存在时,Ab中点为m(1,2),也满足上述轨迹方程。
综上所述,m的轨迹方程为x+2y-5=0。
分析2:
解法1中在利用k1k2=-1时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?
只需利用△pAb为直角三角形的几何特性:
|mp|?
1
|Ab|2
解法2:
设m(x,y),连结mp,则A(2x,0),b(0,2y),∵l1⊥l2,∴△pAb为直角三角形由直角三角形的性质,|mp|?
?
(x?
2)?
(y?
4)?
2
2
1
|Ab|2
1
(2x)2?
(2y)22
化简,得x+2y-5=0,此即m的轨迹方程。
分析3:
:
设m(x,y),由已知l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:
k1k2=-1,即可列出轨迹方程,关键是如何用m点坐标表示A、b两点坐标。
事实上,由m为Ab的中点,易找出它们的坐标之间的联系。
解法3:
设m(x,y),∵m为Ab中点,∴A(2x,0),b(0,2y)。
又l1,l2过点p(2,4),且l1⊥l2∴pA⊥pb,从而kpA·kpb=-1,
4?
04?
2y
,kpb?
2?
2x2?
044?
2y
?
?
?
1,化简,得x?
2y?
5?
0
2?
2x2
而kpA?
注意到l1⊥x轴时,l2⊥y轴,此时A(2,0),b(0,4)中点m(1,2),经检验,它也满足方程x+2y-5=0综上可知,点m的轨迹方程为x+2y-5=0。
【点评】
1)解法1用了参数法,消参时应注意取值范围。
解法2,3为直译法,运用了kpA·kpb
1
=-1,|mp|?
|Ab|这些等量关系。
。
2
用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。
也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆o:
x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦bc的中点m的轨迹。
篇三:
新课标用定义法求轨迹方程
第八章9.1用定义法求轨迹方程学案
教学目标、重难点
知识目标:
掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法。
能力目标:
通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。
通过引导探究问题,培养学生的创新意识和探究能力。
情感目标:
主动参与教学过程,提出问题,解决问题,激发潜能,体验成功。
[重点]:
会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。
[难点]:
如何根据条件分析动点轨迹的几何特征
解题步骤
学案内容:
基础梳理
1.圆及圆锥曲线的定义
(1)圆(文字内容)(表达式)
(2)椭圆:
(文字内容)(表达式)(3)双曲线(文字内容)(表达式)(4)抛物线(文字内容)(表达式)(5)圆锥曲线统一定义
(文字内容)
(表达式)2、两圆位置相切时半径与圆心距的关系
典型例题探究一:
(基础题小练)
1、已知A(2,3)且,则点p的轨迹方程是:
2、已知?
Abc的一边bc的长为3,周长为8,则顶点A的轨迹是什么?
引申:
能把正弦定理加进来考吗?
易漏易错点:
3、若A(?
2,0),b(2,0),且mA?
mb?
2,则动点m的轨迹是什么?
引申:
把数字2换成别的数字后轨迹变了吗?
易漏易错点:
4、过点(1,0)且与方程x?
?
1相切的圆的圆心的轨迹是什么?
易漏易错点:
x2y2
5、已知F1,F2分别是双曲线?
2?
1的左、右焦点,p为双曲线上一点,过F1作?
F1pF2的36b
平分线的垂线,垂足为h,则点h的轨迹为()
A.椭圆b.双曲线c.圆D.抛物线
典型例题探究二:
(教材课后题分析)
如图,圆o的半径为定长r,A是圆o外一个定点p是圆上任意一点线段Ap的垂直平分线m和直线op交于点Q当点p在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?
为什么?
若点A在圆外呢?
典型例题探究三:
(定圆相切问题)
6、一动圆与圆o1:
(x?
3)2?
y2?
4外切,同时与圆o2:
(x?
3)2?
y2?
100内切,求动圆圆心的轨迹方程.
解题策略:
归纳“定义法”求轨迹方程的一般步骤:
变式1:
一动圆与圆o1:
(x?
3)?
y?
4外切,同时与圆o2:
(x?
3)?
y?
9内切,求动圆圆心的轨迹方程。
变式2:
已知圆o1:
(x?
2)?
y?
4,动圆m与圆o1外切,且与y轴相切,求动点m的轨迹。
222222
典型例题探究四(与向量相关的轨迹)
?
?
7、设向量i,j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量?
(x?
3)i?
yj,
?
?
b?
(x?
3)i?
yj,
?
?
2,则满足上述条件的点p(x,y)的轨迹方程是
典型例题探究五:
(立体几何问题)
9如图,在正方体AbcD?
A1b1c1D1中,p是侧面bc1内一动点,若p到直线bc与直线c1D1的距离相等,则动点p的轨迹所在的曲线是()
A.直线b.圆c.双曲线D.抛物线
课后训练题:
10、到点F(0,4)的距离比它到直线y=-5的距离小1的动点m的轨迹方程为()
A.y=16x2b.y=-16x2
c.x2=16yD.x2=-16y
11、动点m(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点m(x,y)的轨迹方程
2212、与圆x?
y?
4x?
0外切,又与y轴相切的圆心的轨迹方程为
13、一动圆与o1
圆心的轨迹方程。
圆:
(x?
3)?
y?
4外切,同时与圆o2:
(x?
3)?
y?
16内切,求动圆2222
14.?
Abc顶点为A(0,?
2),c(0,2),三边长a,b,c成等差数列,公差d?
0,求动点b的轨迹方程。
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