高数下期末考试试题与答案解析.docx
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高数下期末考试试题与答案解析
WORD格式整理
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名⋯
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.
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号⋯
学⋯
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封
号
序密
过
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学
教不
纸题
卷
试答
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学⋯
大
峡.
三⋯
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⋯
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⋯
2017学年春季学期
《高等数学Ⅰ
(二)》期末考试试卷(A)
注意:
1、本试卷共3页;2、考试时间110分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方
题号一二三四总分
得分
阅卷人得分
一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1.已知
a与b都是非零向量,且满足
a
b
a
b,则必有(
).
(A)
a
b0
(B)
a
b
0
(C)
ab
0
(D)
a
b
0
2.极限lim(x2
y2)sin
1
2
(
).
x
0
x
2
y
y
0
(A)0
(B)1
(C)2
(D)
不存在
3.下列函数中,
df
f的是(
).
(A)f(x,y)
xy
(B)f(x,y)
x
yc0,c0为实数
(C)f(x,y)
x2
y2
(D)f(x,y)
ex
y
4.函数f(x,y)
xy(3
x
y),原点(0,0)
是f(x,y)的(
).
(A)驻点与极值点
(B)驻点,非极值点
(C)极值点,非驻点
(D)非驻点,非极值点
5.设平面区域D:
(x
1)2
(y1)2
2,若I1
x
yd
,I2
xyd,
D
4
D
4
I3
3
xy
,则有(
).
d
D
4
(A)I1
I2
I3
(B)I1
I2
I3
(C)I2
I1
I3
(D)I3I1
I2
6.设椭圆L:
x2
y2
1的周长为l,则
(3x2
4y2)ds
(
).
4
3
L
(A)
l
(B)
3l
(C)
4l
(D)
12l
7.设级数an为交错级数,an0(n),则().
n1
(A)该级数收敛(B)该级数发散
(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛
8.下列四个命题中,正确的命题是().
(A)若级数an发散,则级数an2也发散
n1n1
(B)若级数an2发散,则级数an也发散
n1n1
(C)若级数an2收敛,则级数an也收敛
n1n1
(D)若级数|an|收敛,则级数an2也收敛
n1n1
阅卷人得分
二、填空题(7个小题,每小题
2分,共14分).
3x
4y
2z
6
0
a为
.
1.直线
3y
z
a
与z轴相交,则常数
x
0
2.设f(x,y)
ln(x
y),则fy(1,0)
______
_____.
x
3.函数f(x,y)
x
y在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为
.
4.设D:
x2
y2
2x,二重积分
(x
y)d
=
.
D
5.设fx是连续函数,
{(x,y,z)|0
z
9
x2
y2},
f(x2
y2)dv在柱面坐标系下
的三次积分为
.
6.幂级数
(1)
n1xn
的收敛域是
.
n!
n1
7.将函数f(x)
1
x
0
x处收敛
1
x2
0x
以2
为周期延拓后,其傅里叶级数在点
于
.
专业资料值得拥有
⋯
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名⋯
姓⋯
⋯
⋯
⋯
.
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号⋯
学⋯
⋯
线
封
号
序密
过
超
号
班要
学
教不
纸题
卷
试答
⋯
学⋯
大
峡.
三⋯
⋯
⋯
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⋯
⋯
⋯
⋯
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阅卷人得分
三、综合解答题一(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
1.设uxf(x,x),其中f有连续的一阶偏导数,求u,u.
yxy
解:
4.设是由曲面zxy,yx,x1及z0所围成的空间闭区域,求Ixy2z3dxdydz.
解:
2.求曲面ez
zxy3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程.
解:
5.求幂级数nxn1的和函数S(x),并求级数
nn的和.
n1
n12
解:
3.交换积分次序,并计算二次积分
dx
x
sinydy.
0
y
解:
专业资料值得拥有
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
名⋯
姓⋯
⋯
⋯
⋯
.
⋯
号⋯
学⋯
⋯
线
封
号
序密
过
超
号
班要
学
教不
纸题
卷
试答
⋯
学⋯
大
.峡
三⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
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⋯
⋯
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阅卷人得分
四、综合解答题二(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
1.从斜边长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.
解
4.计算xdS,为平面xyz1在第一卦限部分.
解:
2.计算积分(x2y2)ds,其中L为圆周x2y2ax(a0).
L
解:
5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy+dydz+dzdx,
S
其中为圆锥面z2x2y2介于平面z0及z1之间的部分的下侧.
解:
3.利用格林公式,计算曲线积分I
(x2
y2)dx(x2xy)dy,其中L是由抛物线y
x2和
L
xy2所围成的区域D的正向边界曲线.
yyx2
xy2
D
专业资料值得拥有
Ox
2017学年春季学期
《高等数学Ⅰ
(二)》期末考试试卷(A)
答案及评分标准
一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)
题号12345678
答案DABBADCD
1.已知
a与b都是非零向量,且满足
a
b
a
b,则必有(D
)
(A)a
b
0;
(B)
a
b0;(C)
ab
0;(D)a
b
0.
2.极限lim(x2
y2)sin
2
1
2
(
A)
x
0
x
y
y
0
(A)0
;
(B)1
;
(C)2
;
(D)
不存在.
3.下列函数中,df
f的是(
B)
;
(A)
f(x,y)
xy;
(B)f(x,y)
x
yc0,c0为实数;
(C)
f(x,y)
x2
y2
;
(D)f(x,y)
ex
y.
4.函数f(x,y)
xy(3
x
y),原点(0,0)
是f(x,y)的(B
).
(A)驻点与极值点;(B)驻点,非极值点;
(C)极值点,非驻点;(D)非驻点,非极值点.
5.设平面区域D:
(x1)2
(y1)2
2,若I1
xyd,I2
xyd
D
4
D4
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3x
y
d
,则有(A
)
I3
4
D
(A)I1
I2
I3;(B)I1
I2
I3;
(C)I2
I1
I3;
(D)I3
I1I2.
6.设椭圆L:
x2
y2
1的周长为l,则
(3x2
4y2)ds
(D
)
4
3
L
(A)l;
(B)
3l
;
(C)
4l;
(D)
12l
.
7.设级数
an
为交错级数,an
0(n
),则(
C
)
n1
(A)该级数收敛;
(B)
该级数发散;
(C)该级数可能收敛也可能发散;
(D)
该级数绝对收敛.
8.下列四个命题中,正确的命题是(
D
)
(A)若级数
an发散,则级数
an2也发散;
n
1
n1
(B)若级数
n
1
an2发散,则级数
n1
an也发散;
(C)若级数
an2收敛,则级数
an也收敛;
n
1
n1
(D)若级数
|an|收敛,则级数
an2也收敛.
n
1
n
1
二、填空题(7个小题,每小题2分,共
14分).
3x
4y
2z
6
0
a为
3
1.直线
3y
z
a
与z轴相交,则常数
。
x
0
2.设f(x,y)
ln(x
y),则fy(1,0)
_______1_____
x
3.函数f(x,y)
x
y在(3,4)
处沿增加最快的方向的方向导数为
2
4.设D:
x2
y2
2x,二重积分
(x
y)d
=
.
D
5.设fx是连续函数,
{(x,y,z)|0
z
9
x2
y2},
f(x2
y2)dv在柱面坐标系下
2
3
9
2
f
(2)dz
d
的三次积分为
0
d
0
0
6.幂级数
(1)n1xn
的收敛域是
(
).
n1
n!
7.函数f(x)
1
x
0
,以
2
为周期延拓后,其傅里叶级数在点x
处收敛于
1
x2
0x
,
2
.
2
专业资料值得拥有
WORD格式整理
三、综合解答题一(
5个小题,每小题
7分,共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
1.设u
xf(x,x),其中f
有连续的一阶偏导数,求
u,u.
y
x
y
解:
u
f
xf1
x
f2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
x
y
u
x2
f
2
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
y
y2
2.求曲面ez
z
xy
3在点(2,1,0)
处的切平面方程及法线方程.
解:
令Fx,y,
z
ez
z
xy
3,⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
n(Fx,Fy,Fz)
(y,x,ez
1),n(2,1,0)
(1,2,2)
,⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
所以在点
(2,1,0)
处的切平面方程为
(x
2)
2(y
1)
2z
0,
即x2y2z4
0;⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
法线方程为x
2
y
2
1
z.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
1
2
3.交换积分次序,并计算二次积分
dx
sinydy;
0
x
y
解:
dx
siny
dy=
dy
ysiny
dx
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
y
0
0
y
0
x
=sinydy
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
0
4.设
是由曲面z
xy,y
x,x
1及z
0
所围成的空间区域,求I
xy2z3dxdydz
解:
注意到曲面
z
xy经过x轴、y轴,⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
={(x,y,z):
0
z
xy,0
y
x,0
x
1}
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
故I
xy2z3dxdydz
1
x
xy
xy2z3dz=
1
dx
0
dy
0
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
0
364
5.求幂级数
nx
n1的和函数
S(x),并求级数
n
的和.
n
1
n
12n
解:
S(x)
n
1
nxn
1,
S(0)
1
,
由已知的马克劳林展式:
1
n
1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
1
x
n1
x,|x|
xn)
1
1
,|x|
1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯
有S(x)
(n1
(1
x
1)=(1
x)2
5分
n
1n
1
1
n12n=
2n12n1
=
2S(
2)=2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
四、综合解答题二(
5个小题,每小题7分,共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
1.从斜边长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.
解设两个直角边的边长分别为
x,y,则x2
y2
1,周长C
xy1
,
需求C
x
y
1在约束条件x2
y2
1下的极值问题.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
设拉格朗日函数
L(x,y,
)
x
y1
(x2
y2
1),⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
Fx
1
2
x
0,
令
Fy
1
2
y
0,
x2
y2
1,
解方程组得x
y
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
为唯一驻点,
2
又最大周长一定存在,故当
x
y
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
时有最大周长.
2
2.计算积分
(x2
y2)ds,其中L为圆周x2
y2
ax(a
0).
L
解:
L的极坐标方程为
acos
,
2
;⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
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