轴对称相关最值问题.docx
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轴对称相关最值问题
与轴对称有关的最值问题
【典型题型一】:
如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。
A
P
DB
E
C
图(5)
【典型题型二】如图,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。
【练习】1、(温州中考题)如图(5),在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,EC=2a,∠BAD=120
0,点P在BD上,则PE+PC
的最小值是()
解:
如图(6),由于菱形是轴对称图形,因此BC中点E对于对角线BD的对称点E必定落在AB的中点E1,只需连
0
结CE1,CE1即为PC+PE的最小值。
这时三角形CBE1是含有30
角的直角三角形,PC+PE=C1E=23a。
因此选(D)。
2、如图(13),一个牧童在小河南4英里处牧马,河水向正东方流去,而他正位于他的小屋B西8英里北7英里处,
他想把他的马牵到小河畔去饮水,而后回家,他可以达成这件事所走的最短距离是()
(A)4+185英里(B)16英里
(C)17英里(D)18英里
3.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC、EC。
已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
请问点C知足什么条件时,AC+CE的值最小?
A
C'
4.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上
一动点,则EC+ED的最小值为_______。
E
即是在直线AB上作一点E,使EC+ED最小作点C对于直线AB的对称点C',连结DC'交
ABEDC'EC+EDDBC'DB=1BC=2于点,则线段的长就是的最小值。
在直角△中,,
依据勾股定理可得,DC'=5
5.如图,等腰Rt△ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边
CB
D
A
上的一动点,则PB+PE的最小值为
E
即在AC上作一点P,使PB+PE最小
P
作点B对于AC的对称点B',连结B'E,交AC于点P,则B'E=PB'+PE=PB+PE
B'E的长就是PB+PE的最小值
B'
CB
F
在直角△B'EF中,EF=1,B'F=3依据勾股定理,B'E=10
AD
6.如下图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,
E
在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
P
A.23B.26C.3D.6
BC
即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小点D对于直线AC的对称点是点B,
连结BE交AC于点P,则BE=PB+PE=PD+PE,BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=23
7.如图,若四边形ABCD是矩形,AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点,P为
C'
BD上的一个动点,求PC+PD的最小值;
AD
作点C对于BD的对称点C',过点C',作C'B⊥BC,交BD于点P,则C'E就是PE+PC的最小
20
值直角△BCD中,CH=错误!
不决义书签。
直角△BCH中,BH=85△BCC'的面积为:
5
P
H
BH×CH=160
BC
E
因此C'E×BC=2×160则CE'=16
A
8.如图,若四边形ABCD是菱形,AB=10cm,∠ABC=45°,E为边BC上的一个动点,
P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;
点C对于BD的对称点是点A,过点A作AE⊥BC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的
B
P
D
最小值在等腰△EAB中,求得AE的长为52
9.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中
E
CA
点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()
B
A22B2C1D2
即在MN上求一点P,使PA+PB的值最小作点A对于MN的对称点A',连结A'B,交MN于
M
N
PO
点P,则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值
连结OA'、OB,则△OA'B是等腰直角三角形因此A'B=2
A'
10如图,一次函数y=
1
2
x与反比率函数y=
k
x
交于点A,AM⊥x轴于点M,S△OAM=1
(1)求k的值,
k
x
(2)点B为双曲线y=
上不与A重合的一点,且B(1,n),在x轴上求一点P,使PA+PB最小
(1)由S△OAM=1知,k=2
(2)作点A对于x轴的对称点A’,连结A’B,交x轴于点P,连结PA,则PA+PB最小。
用待定系数法求直线A’B的分析式为y=-3x+5,
由于点P在x轴上,因此设y=0,即0=-3x+5,
解得x=
5
3
因此P(
5
3
,0)
11.如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角均分线.
(1)由图察看易知A(0,2)对于直线l的对称
点A′的坐标为(2,0),请在图中分别注明B(5,3)、C(-2,5)对于直线l的对称点B′、C′的地点,并写出他
们的坐标:
B′、C′;
(2)联合图形察看以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点P(a,b)对于第一、三象限的角均分线l的对
称点P′的坐标为(不用证明);
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确立一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q
点坐标.
y
B'
(1)点B(5,3)、C(-2,5)对于直线l的对称点B'(3,5)、C'(5,-2)
C
l
(2)坐标平面内任一点P(a,b)对于直线l的对称点P'的坐标为(b,a)
(3)作点E对于直线l的对称点E',连结DE',交直线l于点Q
AB
则QE+QD的值最小设直线DE'的分析式为:
y=kx+b,由于D(1,-3)、E'(-4,-1),
Ox
则-3=k+b-1=-4k+b
2
5
,b=-
13
5
因此y=-
2
5
x-
13
5
E'
Q
A'
解得:
k=-
C'
当x=y时,有x=y=-
13
7
则Q点的坐标为(-
13
7
,-
13
7
)
E
D
【典型题型三】:
如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON
上作
点A,B。
使△PAB的周长最小
0
12、如图(9),∠AOB=45,角内有一点P,PO=10,在角两边上有两点Q、R(均不一样于点O),则
①△PQR的周长最小值是____________。
0
②当ΔPQR周长最小时,∠QPR的度数=_________。
(答案:
90
)
A
P
O
B
图(9)
【典型题型四】求线段差的最大值:
如下图,已知直线MN与MN异侧两点A、B,在MN上求作一点P,使PA-PB最大,并说明原因。
13.如图,两点A,B在直线MN的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=6,
CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值为(c)
A.B.C.D.
14.如图,已知两点A,B在直线l的异侧,A到直线l的距离AC=6,B到直线l的距离
BD=2,CD=3,点P在直线l上运动,则的最大值为(d)
A.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(3,-4),在x轴上有一点P,
当的值最大时,点P的坐标是(b)
A.B.(-1,0)C.(0,0)D.(3,0)
16、在直角坐标系中,X轴上的动点M(X,0)到定点P(5,5)和到Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ
取最小值时,点M的横坐标X=____.(你能求出当MP-MQ最大时点M的横坐标X=?
)
【典型题型四】
B'B
A
PQP'Q'
A'
17.如图,已知A(1,3),B(5,1),长度为2的线段PQ在x轴上平行挪动,当
AP+PQ+QB的值最小时,点P的坐标为(b)
A.B.C.(1,0)D.(5,0)
18.在平面直角坐标系中,矩形OACB的极点O在座标原点,极点A,B分别在
x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E,F为边OA上的
两个动点,且EF=2,则当四边形CDEF的周长最小时,点F的坐标为(b)
A.B.C.(2,0)D.(3,0)
19.如图,当四边形PABN的周长最小时,a的值为(a)
A.D.
20如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上
两个动点,且PQ=2,当BP=()时,四边形APQE的周长最小.
21.已知A和B两地在一条河的两岸,现要在河上建筑一座桥MN,使从A到B的路径AM-MN-NB最短,则应依据以下哪
种方式来建筑(假设河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直)(D)
A.B.C.D.
22.如图,乡村A、B位于一条小河的双侧,若河岸a、b相互平行,此刻要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如
何选择,才能使A村到B村的行程近来?
2
*逆向思想23.如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax
上.
(1)求a的值及点B对于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最
y
短,求出点Q的坐标;
2
(2)平移抛物线y=ax,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,
A
0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个地点时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数分析式;
②当抛物线向左或向右平移时,能否存在某个地点,使四边形A′B′CD的周长最短?
B
若存在,求出此时抛物线的函数分析式;若不存在,请说明原因.
x
(1)直线AP的分析式为:
y=-
(2)CQ=|-2-①解法一:
4
5
5
3
|=
x+
14
5
4
3
则抛物线y=
则Q的坐标为(
1
2
x
4
5
2
,0)
向左挪动
14
5
个单位时,
O
Q
P
A’C+B’C最短抛物线的分析式为:
y=
1
2
14
5
(x+
)
2
(2)②
抛物线向左或向右平移时,使四边形A′B′CD的周长最短,由于A’B’+CD是定值,只需使A’D+B’C最短即可
当抛物线向右挪动时,由于A’D>AD,B’C>BC,因此A’D+B’C>AD+BC,则在不存在一个向右的地点,使
四边形A′B′CD的周长最短
当抛物线向左挪动时,设A’(-4-a,8),B’(2-a,2),由于CD=2,则将点B’向左平移2个单位获得点B’’(-a,
2).
点A’对于x轴的对称点是A’’(-4-a,-8),直线A’’B’’的分析式为:
y=
5
2
x+
5
2
m+2
要使A’D+B’’D最短,点D应在直线A’’B’’大将点D(-4,0)的坐标代入到直线A’’B’’的分析式,得m=
16
5
故将抛物线向左平移时,否存在一个地点,使四边形A′B′CD的周长最短,抛物线函数分析式为y=
1
2
(x+
16
5
)
2
【典型题型五】
如图,直线
l、l2订交,两个固定点A、B,分别在l1、l2
1
上确立两点M、N,使得BMMNAN之和最小。
24.如图,点A,B为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点C,D。
使四边形CABD的周长最小。
25.恩施州自然无穷风光,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.有名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星
斗山(B)位于笔挺的沪渝高速公路X同侧,AB50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施
到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,成立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X
旁和Y旁各修筑一服务区P、Q,使P、A、B、Q构成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
如图分别作点A、B对于x轴、y轴的对称点A',B',连结A'B',交x轴、y轴
于点P、Q,则四边形PABQ的周长最小
结构如图在Rt△A'B'C中,B'C=30+30+40=100,
A'C=10+40=50
因此A'B'=1002+50
2+50
2=505
26.等腰△ABC中,∠A=20°,AB=AC=20,M、N分别是AB、AC上的点,
A
求BN+MN+M的C最小值
分别作点C、B对于AB、AC的对称点C’、B’,连结C’B’交AB、AC于点M、N,
则BN+MN+MC=’BN+MN+M’C=B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值
∵∠BAC’=∠BAC,∠CAB’=∠CAB
∴∠B’AC’=60°∵AC’=AC,AB’=AB,AC=AB∴AC’=AB’
MN
C'B'
∴△AB’C’是等边三角形∴B’C’=20
BC
五.【典型题型六】
①如图,点A是∠MON外的一点,在射线OM上作点P,
使PA与点P到射线ON的距离之和最小
②如图,直线
l、l2,点A在l2上,分别在l1、l2上确
1
定两点M、N,使得AMMN之和最小。
27.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的均分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,
则BM+MN的最小值是____.
作点B对于AD的对称点B',过点B'作B'E⊥AB于点E,交AD于点F,则线段B'E的长就是BM+MN的最小值
在等腰Rt△AEB'中,依据勾股定理获得,B'E=4
C
B'
DMF
ABNE
28.如图,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的
值最小,则这个最小值
C
作AB对于AC的对称线段AB',过点B'作B'N⊥AB,垂足为N,交AC于点M,则B'N=
MB'+MN=MB+MN
M
B'N的长就是MB+MN的最小值
则∠B'AN=2∠BAC=60°,AB'=AB=2,∠ANB'=90°,∠B'=30°。
因此AN=1
A
30°
BN2
在直角△AB'N中,依据勾股定理
B'N=3
29.如图:
在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD是等腰梯形,A、B在X轴上,D在Y轴上,AB∥CD,AB=5,CD=3,
AD=BC=17,抛物线y=-x
2+bx+c过A、B两点。
(1)直接写出点A、B、C、D的坐标及抛物线的分析式。
(2)设M是第一象限内抛物线上的一个动点,它到x轴与y轴的距离之和为d,求d的最大值。
(3)当
(2)中的M点运动到d取最大值时,记此时的点M为点N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点,
求F点到点与它到y轴的距离之和的最小值。
y
y
M
N
DCDC
F
N'
(1)y=-x
2+3x+4
H
(2)设M(a,-a
2+3a+4),则
d=a–a2+3a+4
2+3a+4
ABx
O
A
E
Bx
=-(a-2)
2+8
O
因此,当a=2时,d有最大值,且最大值是8,此时
M(2,6)
(3)作点N对于直线AC的对称点N',过点N',作N'H⊥y轴于点H,交AC于点F,则F点到点N与它到y轴的距离之
和的值最小
直线AC的分析式为:
y=x+1
F点的横坐标为2,则纵坐标为3,即F(2,3)
而N(2,6),因此FH=2,FN=3,则FN+FH=5
山川是一部书,枝枝叶叶的文字间,声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点,在茂盛纵深间,一条曲径,是整部书最芳香的禅意。
春风翻一页,桃花面,杏花眼,柳腰春细;夏阳读一页,蔷花满架,木槿锦绣、合欢清香、蜀葵闲澹,一派峥嵘;秋风传一页,
海棠妆欢,野菊淡姿,高远深沉;冬雪润一页,水仙临水一舞,腊梅素心磬口,向爱唱晚。
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