∴-x>-y(不等式的基本性质3).
∴-x+6>-y+6(不等式的基本性质2).
02 中档题
10.下列说法中,错误的是(D)
A.由a(m2+1)
B.由a(m+b)
C.由a(m+1)2
D.由a(m2-1)
11.设a,b,c表示三种不同物质的质量,用天平称两次,情况如图所示,则这三种物体的质量从小到大排序正确的是(A)
A.c<b<aB.b<c<a
C.c<a<bD.b<a<c
12.若实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列不等式成立的是(B)
A.a-b>b-cB.a+c
C.ac>bcD.<
13.(丽水庆元县校级期中)若x>y且(3-a)x<(3-a)y,则a的取值范围是a>3.
14.某种药品的说明书上,贴有如图所示的标签,则一次服用这种药品的剂量x(mg)的范围是10≤x≤20.
15.
(1)填空:
①如果a-b<0,那么a
②如果a-b=0,那么a=b;
③如果a-b>0,那么a>b.
(2)由
(1)你能归纳出比较a与b大小的方法吗?
请用文字语言叙述出来;
(3)用
(1)的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小?
如果能,请写出比较过程.
解:
(2)若a与b的差大于0,则a大于b;
若a与b的差等于0,则a等于b;
若a与b的差小于0,则a小于b.
(3)能.
∵(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2≤0,
∴3x2-3x+7≤4x2-3x+7.
03 综合题
16.张师傅下岗再就业,做起了小商品生意,第一次进货时,他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品,每件b元的价格购进了30件乙种小商品(a>b);回来后,根据市场行情,他将这两种小商品都以每件元的价格出售,在这次买卖中,张师傅是赔了还是赚了?
并说明理由.
解:
根据题意可知:
总进价为20a+30b,总售价为×(20+30)=25a+25b,
∴25a+25b-(20a+30b)=5a-5b.
∵a>b,∴5a-5b>0,即售价>进价.
∴他赚了.
17.已知a,b,c是三角形的三边,求证:
++<2.
证明:
由“三角形两边之和大于第三边”可知,,,均是真分数,再利用分数与不等式的性质,得<=,
同理:
<,<.
∴++<++==2.
3.3 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的概念
01 基础题
知识点1 一元一次不等式的定义
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是(A)
A.2x-1>0B.-1<2
C.3x-2y≤-1D.y2+3>5
2.(衢州中考)写出一个解集为x>1的一元一次不等式:
答案不唯一,如:
x-1>0.
知识点2 不等式的解集(或解)
3.下列说法错误的是(D)
A.x=1不是x≥2的解
B.x=0是3x-1<0的解
C.x+3<3的解集是x<0
D.x=6是x-7<0的解集
4.下列数值中,不是不等式5x≥2x+9的解的是(D)
A.5B.4
C.3D.2
5.如图,数轴上所表示的不等式的解集是-2≤x<3.
6.填空:
(1)写出不等式x<4的所有正整数解:
1,2,3;
(2)写出不等式x≥-3的所有负整数解:
-1,-2,-3;
(3)写出不等式x≤3的所有非负整数解:
0,1,2,3;
(4)写出不等式x>-2的最小整数解:
-1.
知识点3 解简单的一元一次不等式
7.(余姚模拟)不等式2x>-3的解集是(B)
A.x<-B.x>-
C.x<-D.x>-
8.(六盘水中考)不等式3x+2<2x+3的解集在数轴上表示正确的是(D)
9.(金华中考)不等式3x+1<-2的解集是x<-1.
10.(绍兴嵊州期末)不等式3x-6<4x-2的最小整数解是-3.
11.解下列不等式,并把解表示在数轴上.
(1)x+3<-2;
(2)-x≥-4;
(3)9x>8x+1;(4)2x-5≤2+5x.
解:
(1)两边都减去3,得x<-5.
不等式的解表示在数轴上如图所示.
(2)两边都乘以-2,得x≤8.
不等式的解表示在数轴上如图所示.
(3)两边都加上-8x,得x>1.
不等式的解表示在数轴上如图所示.
(4)先在不等式的两边都加上-5x,再在不等式的两边都加上5,得-3x≤7.
两边都除以-3,得x≥-.
不等式的解表示在数轴上如图所示.
02 中档题
12.关于x的不等式-2x+a≥2的解如图所示,则a的值是(C)
A.2B.1
C.0D.-1
13.如果2a-3x2+a>1是关于x的一元一次不等式,那么该不等式的解集是(C)
A.x<-B.x>-1
C.x<-1D.x>-
14.(杭州朝晖初中联考)若关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>3,则实数m的值为.
15.(桐乡期中)关于x的方程3x-2m=x+5的解为正数,则m的取值范围是m>-.
16.两个连续偶数的和不小于49,问:
较大的偶数最小是多少?
解:
设较大的偶数是x,则较小的偶数是x-2.
根据题意,得x+x-2≥49.
解得x≥25.5.
所以x的最小值是26,即较大的偶数最小是26.
17.如果代数式4x+2的值不小于3x+,求x的取值范围,并求出满足这一条件的最大负整数和最小正整数.
解:
由题意,得4x+2≥3x+.
解得x≥-1.5.
所以满足条件的最大负整数是-1,最小正整数是1.
03 综合题
18.(杭州下城区校级期中)已知方程组的解x,y满足x+3y≥0,则m的取值范围是(D)
A.-≤m≤1B.m≥
C.m≥1D.m≥-
19.已知不等式x≤a的正整数解为1,2,3,4.
(1)当a为整数时,求a的值;
(2)当a为实数时,求a的取值范围.
解:
(1)当a为整数时,a=4.
(2)∵不等式x≤a的正整数解是1,2,3,4,
∴a≥4.
∵5不是它的正整数解,∴a<5.
∴当a为实数时,a的取值范围是4≤a<5.
第2课时 一元一次不等式的解法
01 基础题
知识点 一元一次不等式的解法
1.不等式3(x-1)+4≥2x的解在数轴上应表示为(A)
2.不等式->1,去分母后得(D)
A.2(x-1)-x-2>1
B.2(x-1)-x+2>1
C.2(x-1)-x-2>4
D.2(x-1)-x+2>4
3.(桐乡期中)不等式3(x-2)≤x+4的非负整数解的个数为(C)
A.4个B.5个
C.6个D.无数个
4.下列解不等式>的过程中,错误的是(D)
A.去分母,得5(2+x)>3(2x-1)
B.去括号,得10+5x>6x-3
C.移项、合并同类项,得-x>-13
D.系数化为1,得x>13
5.(绍兴中考)不等式>+2的解集是x>-3.
6.解下列不等式.
(1)(舟山中考)3x>2(x+1)-1;
解:
去括号,得3x>2x+2-1.
移项,得3x-2x>1.
合并同类项,得x>1.
(2)(丽水中考)3x-5<2(2+3x).
解:
去括号,得3x-5<4+6x.
移项,得3x-6x<4+5.
合并同类项,得-3x<9.
两边都除以-3,得x>-3.
7.解下列不等式,并把解在数轴上表示出来.
(1)(莆田中考)≥;
解:
去分母,得3(2-x)≥4(1-x).
去括号,得6-3x≥4-4x.
移项、合并同类项,得x≥-2.
其解集在数轴上表示略.
(2)(杭州萧山区期中)1->.
解:
去分母,得8-(7x-1)>2(3x-2).
去括号,得8-7x+1>6x-4.
移项,得-7x-6x>-4-8-1.
合并同类项,得-13x>-13.
系数化为1,得x<1.
这个不等式的解表示在数轴上如图所示.
02 中档题
8.解不等式:
-1<.小兵的解答过程是这样的:
解:
去分母,得x+5-1<3x+2.①
移项,得x-3x<2-5+1.②
合并同类项,得-2x<-2.③
系数化为1,得x<1.④
请问:
小兵同学的解答是否正确?
如果错误,请指出错在哪里?
并给出正确的解答.
解:
解法错误.
①去分母时,直接将分母去掉了,没有乘以分母的最小公倍数;
④系数化为1时,不等号的方向没有改变.
正确的解答是:
去分母,得3(x+5)-6<2(3x+2).
移项,得3x-6x<4+6-15.
合并同类项,得-3x<-5.
系数化为1,得x>.
9.求不等式-≤的非负整数解.
解:
原不等式可化为-≤.
去分母,得6(4x-10)-15(5-x)≤10(3-2x).
去括号,得24x-60-75+15x≤30-20x.
合并同类项,得59x≤165.
系数化为1,得x≤.
所以原不等式的非负整数解是0,1,2.
10.当x取哪些正整数时,代数式3-的值不小于-的值?
解:
由题意可得不等式3-≥-.
去分母,得72-12×3x≥5×3-4(4x-3).
去括号,得72-36x≥15-16x+12.
移项,得-36x+16x≥15-72+12.
合并同类项,得-20x≥-45.
系数化为1,得x≤.
所以x可取的正整数是1,2.
11.(大庆中考)关于x的两个不等式①<1与
②1-3x>0.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
解:
(1)由①,得x<.
由②,得x<.
由两个不等式的解集相同,得=.
解得a=1.
(2)由不等式①的解都是②的解,得≤,
解得a≥1.
03 综合题
12.若关于x的方程2x-3m=2m-4x+4的解不小于-,求m的最小值.
解:
关于x的方程2x-3m=2m-4x+4的解为x=.
根据题意,得≥-,
去分母,得4(5m+4)≥21-8(1-m).
去括号,得20m+16≥21-8+8m.
移项、合并同类项,得12m≥-3.
系数化为1,得m≥-.
所以当m≥-时,方程的解不小于-,
所以m的最小值为-.
第3课时 一元一次不等式的应用
01 基础题
知识点 利用一元一次不等式解决实际问题
1.某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,小明得分要超过120分,他至少要答对多少道题?
如果设小明答对x道题,那么他答错或不答的题数为20-x.根据题意得(C)
A.10x-5(20-x)≥120
B.10x-5(20-x)≤120
C.10x-5(20-x)>120
D.10x-5(20-x)<120
2.(遵义中考)三个连续正整数的和小于39,这样的正整数中,最大一组的和是(B)
A.39B.36
C.35D.34
3.一家商场购进了一批商品,进价为每件800元,如果要保持销售利润不低于15%,那么售价不低于(B)
A.900元B.920元
C.960元D.980元
4.有关学生体质健康评价指标规定:
握力体重指数m=(握力÷体重)×100,初三男生的合格标准是m≥35.若初三男生小明的体重是50kg,则小明的握力至少要达到多少时,才能合格(C)
A.17B.18
C.17.5D.18.5
5.某一工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原定计划至少提前2天完成任务,以后几天内平均每天至少要完成多少土方(D)
A.65B.70
C.75D.80
6.小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板.三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地.那么小明的体重小于(D)
A.49千克B.50千克
C.24千克D.25千克
7.八年级
(1)班的几个同学,毕业前合影留念,每人交0.70元.一张彩色底片0.68元,扩印一张相片0.50元,每人分一张.在收来的钱尽量用掉的前提下,这张相片上的同学最少有(C)
A.2人B.3人
C.4人D.5人
8.(衢州江山期末)有3人携带会议材料乘坐电梯,这三人的体重共210kg,每捆材料重20kg,电梯最大负荷为1050kg,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料.
9.(株洲中考)为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球作道具,并买一些乒乓球拍作奖品.已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不超过200元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍?
解:
设孔明购买球拍x个.根据题意,得
1.5×20+22x≤200.解得x≤7.
由于x取整数,故x的最大值为7.
答:
孔明应该买7个球拍.
10.一辆货车向灾区运送物资,共有120千米路程,需要1小时送到,前半小时已经走了50千米,后半小时速度至少多大才能不延误时间?
解:
设后半小时速度为x千米/时,才能不延误时间,根据题意,得
0.5x≥120-50,解得x≥140.
答:
后半小时速度至少为140千米/时,才能不延误时间.
02 中档题
11.现用甲、乙两种运输车将56t救灾物资运往灾区,甲种运输车载重为6t,乙种运输车载重为5t,要求安排总车辆不超过10辆,则甲种运输车至少安排(C)
A.4辆B.5辆
C.6辆D.7辆
12.某种毛巾原零售价每条6元,凡一次性购买两条以上(含两条),商家推出两种优惠销售办法,第一种:
“两条按原价,其余按七折优惠”;第二种:
“全部按原价的八折优惠”,若想在购买相同数量的情况下,要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多,最少要购买毛巾(D)
A.4条B.5条
C.6条D.7条
13.(南京中考)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm,某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的高为30cm,长与宽的比为3∶2,则该行李箱的长的最大值为78cm.
14.(衢州中考)光伏发电惠民生,据衢州晚报载,某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站,遇到晴天平均每天可发电30度,其他天气平均每天可发电5度,已知某月(按30天计)共发电550度.
(1)求这个月晴天的天数;
(2)已知该家庭每月平均用电量为150度,若按每月发电550度,至少需要多少年才能收回成本(不计其他费用,结果取整数).
(信息链接:
根据国家相关规定,凡是家庭光伏发电站生产的电,家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公司,同时可获得政府补贴0.52元/度)
解:
(1)设这个月有x天晴天,由题意,得
30x+5(30-x)=550,
解得x=16.
故这个月有16个晴天.
(2)设需要y年才可以收回成本,由题意,得
(550-150)(0.52+0.45)·12y≥40000,
解得y≥8.6.
∵y是整数,∴至少需要9年才能收回成本.
03 综合题
15.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格,月处理污水量及年消耗费用如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费用(万元/台)
1
1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)该企业有哪几种购买方案?
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案?
(3)在第
(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与排到污水厂处理相比较,10年共节约资金多少万元?
(注:
企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)
解:
(1)设购买A型污水处理设备x台,则购买B型(10-x)台.由题意,得
12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.
∵x取非负整数,∴x=0,1,2,即有三种购买方案:
方案
A型
B型
方案一
0
10
方案二
1
9
方案三
2
8
(2)由题意,得240x+200(10-x)≥2040,
解得x≥1.
∵x≤2.5,∴x=1或2.
∵当x=1时,购买资金为12×1+10×9=102(万元),
当x=2时,购买资金为12×2+10×8=104(万元),
∴为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
(3)10年企业自己处理污水的总资金为102+1×10×10=