高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线学案 苏教版选修.docx
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高中数学第2章圆锥曲线与方程1圆锥曲线学案苏教版选修
2.1 圆锥曲线
1.了解圆锥曲线的实际背景.
2.理解椭圆、双曲线、抛物线的定义.(重点)
3.能依据圆锥曲线的定义判断所给曲线的形状.(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆锥曲线
阅读教材P25~P26练习以上部分,完成下列问题.
1.用平面截圆锥面得到的图形
用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线.
2.圆锥曲线定义
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.
3.三种圆锥曲线
设P为相应曲线上任意一点,常数为2a.
定义(自然语言)
数学语言
椭圆
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
PF1+PF2=2a>F1F2
双曲线
平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1-PF2|=2a<F1F2
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
PF=d,其中d为点P到l的距离
1.判断正误:
(1)到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
(3)椭圆上的一点与椭圆的两焦点,一定构成一个三角形.( )
(4)平面内到一定点与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
【解析】
(1)×.当常数大于两定点间的距离时,动点的轨迹才是椭圆.
(2)×.应该是差的绝对值,否则轨迹是双曲线的一支.
(3)×.当椭圆上的点在F1F2的延长线上时,不能构成三角形.
(4)×.定点不能在定直线上才是抛物线.
【答案】
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.动点P(x,y),到定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为6,则点P的轨迹为________.
【解析】 ∵AB=4,PA+PB=6>4,∴点P的轨迹为椭圆.
【答案】 椭圆
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
疑问2:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
疑问3:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
[小组合作型]
椭圆的定义及应用
(1)在平面直角坐标系中,A(4,0),B(-4,0),且
=
,则△ABC的顶点C的轨迹为________.
【导学号:
24830022】
(2)已知两圆C1:
(x-4)2+y2=169,C2:
(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,求动圆圆心的轨迹.
【精彩点拨】 根据椭圆的定义判断.
【自主解答】
(1)由正弦定理,得
=
,又AB=8,∴BC+AC=10>AB,
由椭圆定义可知,点C的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆.
【答案】
(1)以点A、B为焦点的椭圆
(2)如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1,
∴MC1=13-r.圆M外切于圆C2,
∴MC2=3+r.
∴MC1+MC2=16>C1C2=8,
∴动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆.
已知平面内动点P及两个定点F1,F2:
(1)当PF1+PF2>F1F2时,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆;
(2)当PF1+PF2=F1F2时,点P的轨迹是线段F1F2;
(3)当PF1+PF2 [再练一题] 1.Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC= ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持PA+PB的值不变,试判断动点P的轨迹E求曲线E是什么曲线. 【解】 如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系. 在Rt△ABC中,BC= = ,∵PA+PB=CA+CB= + =2 . 又PA+PB>AB,∴由椭圆定义知,动点P的轨迹E为椭圆. 抛物线的定义及应用 (1)(2016·徐州高二检测)已知点M到F 的距离比它到y轴的距离大 ,则点M的轨迹为________. (2)若A是定直线l外的一定点,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是________. 【精彩点拨】 (1)把条件转化为M到定点与定直线的距离相等; (2)利用圆心到A的距离与到切线的距离相等. 【自主解答】 (1)由于动点M到F 的距离比它到y轴的距离大 ,所以动点M到F 的距离比它到直线l: x=- 的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线. (2)圆心与A点的距离等于圆心到直线l的距离,所以圆心的轨迹是抛物线. 【答案】 (1)抛物线 (2)抛物线 1. (1)要首先判断定点是否在定直线上; (2)要准确判断准线的位置. 2.已知平面内定点F及定直线l,动点P满足PF=d(d为点P到直线l的距离): (1)当定点F不在定直线l上时,动点P的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线; (2)当定点F在定直线l上时,动点P的轨迹是以定点F为垂足且与定直线l垂直的一条直线. [再练一题] 2.动点P(x,y)满足 = ,则点P的轨迹为________. 【解析】 的几何意义是点P(x,y)到定直线3x-4y+1=0的距离, 的几何意义是点P(x,y)到定点(2,1)的距离,由 = 可知动点P(x,y)满足到定直线3x-4y+1=0的距离与到定点(2,1)的距离相等,且定点不在定直线上,所以点P的轨迹为抛物线. 【答案】 抛物线 [探究共研型] 双曲线的定义及应用 探究1 双曲线的定义是什么? 【提示】 平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线. 探究2 如果把双曲线定义中的动点设为P,常数设为2a,你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗? 【提示】 |PF1-PF2|=2a(2a<F1F2) 探究3 如果把定义中的“绝对值”去掉,变为动点P满足PF1-PF2=2a(2a<F1F2),那么点P的轨迹是什么? 【提示】 动点P的轨迹是双曲线的一支(靠近焦点F2的一支). 探究4 如果把双曲线定义中的条件“2a<F1F2”去掉,动点P的轨迹是什么? 【提示】 如果2a=F1F2,则动点P的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; 如果2a>F1F2,则动点P的轨迹不存在. 已知圆C1: (x+3)2+y2=1和圆C2: (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹. 【精彩点拨】 根据动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,分别转化为两圆外切的条件,利用这两个条件寻找圆心M与两定点C1、C2距离之间的关系,并结合圆锥曲线的定义进行判断. 【自主解答】 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1-AC1|=MA, |MC2-BC2|=MB,因为MA=MB, 所以|MC1-AC1|=|MC2-BC2|,即|MC2-MC1|=|BC2-AC1|=2, 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2, 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小). 1.本题以圆与圆的位置关系为载体融点的轨迹求法于其中,求解时可利用圆与圆的位置关系找出动点的等量关系(如本例中得到|MC1-AC1|=MA,|MC2-BC2|=MB)在此基础上对等量关系化简变形,得出相应动点的轨迹. 2.在解与双曲线有关的轨迹问题时,要注意双曲线定义中的条件“距离的差的绝对值”,判断所求的轨迹是双曲线的一支还是两支. [再练一题] 3.已知动圆M与圆C1: (x+3)2+y2=9外切且与圆C2: (x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹是________. 【导学号: 24830023】 【解析】 设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切, 所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1.相减得|MC1-MC2|=4. 又因为C1(-3,0),C2(3,0),并且C1C2=6>4, 所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支. 【答案】 以C1,C2为焦点的双曲线的右支 [构建·体系] 1.动点P到两定点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为4,则点P的轨迹为________. 【解析】 因为AB=2,PA+PB=4,所以点P的轨迹为椭圆. 【答案】 椭圆 2.若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹为________. 【解析】 动点P到定点F和到定直线x=-2的距离相等,∴P点的轨迹为抛物线. 【答案】 抛物线 3.(2016·淮安高二检测)平面内动点P到定点F1(-4,0)的距离比它到定点F2(4,0)的距离大6,则动点P的轨迹方程是________. 【解析】 由|PF1-PF2|=6<8=F1F2知,P点轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支. 【答案】 以F1,F2为焦点的双曲线的右支 4.已知F1,F2是定点,F1F2=8,动点M满足MF1+MF2=8,则动点M的轨迹是________. 【解析】 ∵MF1+MF2=8=F1F2,∴点M的轨迹是线段F1F2. 【答案】 线段F1F2 5.求与圆A: (x+5)2+y2=49和圆B: (x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹. 【解析】 因圆A与圆B外离,设圆P的半径为r,则PA=7+r,PB=1+r,∴PA>PB, ∴|PA-PB|=6,而AB=10.∴P轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支. 【答案】 以A、B为焦点的双曲线的右支 我还有这些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 学业分层测评(五) 圆锥曲线 (建议用时: 45分钟) [学业达标] 一、填空题 1.下列说法 ①坐标平面内,到两定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆; ②坐标平面内,到两定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆; ③坐标平面内,到两定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆; ④坐标平面内,到两定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离相等的点的轨迹是椭圆.正确的是________(填序号). 【解析】 ① × 动点到两定点F1、F2的距离的和等于2,小于F1F2,故这样的点不存在 ② × 动点到两定点F1、F2的距离的和等于F1F2,故动点的轨迹是线段F1F2 ③ √ 动点到两定点F1、F2的距离的和大于F1F2,故动点的轨迹是椭圆 ④ × 根据线段垂直平分线的性质,动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 【答案】 ③ 2.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是________. 【导学号: 24830024】 【解析】 动点P的条件满足抛物线的定义,所以P点的轨迹是抛物线. 【答案】 抛物线 3.(2016·枣庄高二检测)过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹为________. 【解析】 由题意,知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线. 【答案】 以F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线 4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件PF1+PF2=a+ (a>0),则点P的轨迹是________. 【解析】 PF1+PF2=a+ ≥6.∴轨迹为线段或椭圆. 【答案】 椭圆或线段 5.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹是________. 【解析】 由题意,动点P以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 【答案】 双曲线的右支 6.若点P到F(3,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小1,则动点P的轨迹为________. 【解析】 由题意知P到F(3,0)的距离比它到直线x=-4距离小1,则应有P到(3,0)的距离与它到直线x=-3距离相等.故P的轨迹是以F(3,0)为焦点的抛物线. 【答案】 以F(3,0)为焦点的抛物线 7.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是________. 【解析】 ∵|PM-PN|=2=MN,∴点P的轨迹是两条射线. 【答案】 两条射线 8.(2016·宜春高二检测)命题甲: 动点P到两定点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0,常数);命题乙: P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的________条件. 【解析】 若P点轨迹是椭圆,则PA+PB=2a(a>0,常数),∴甲是乙的必要条件.反过来,若PA+PB=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的. 这是因为: 仅当2a>AB时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=AB时,P点轨迹是线段AB;当2a<AB时,P点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分 二、解答题 9.已知圆B: (x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹. 【解】 如图所示,连结AP, ∵l垂直平分AC,∴AP=CP,∴PB+PA=BP+PC=4, ∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. 10.设圆A的方程为x2+y2-10x=0,求与y轴相切,且与已知圆A相外切的动圆圆心M的轨迹. 【解】 如图所示,圆A的方程可化为(x-5)2+y2=52,所以A(5,0),设直线l的方程为x=-5.结合已知条件,得动圆圆心M到定点A和定直线l的距离相等,所以动圆圆心M的轨迹为抛物线. 又由于圆M与y轴相切,若圆M与y轴切于原点,则必与圆A相切.根据外切的条件,得M的轨迹方程为y=0(x<0),当x>0时,圆M与圆A内切,不符合条件. 所以动圆圆心M的轨迹为抛物线或y=0(x<0). [能力提升] 1.已知动点P(x,y)满足 = ,则P点的轨迹是________. 【导学号: 24830025】 【解析】 由题意知,动点P到定点(1,2)和定直线3x+4y-10=0的距离相等,又点(1,2)不在直线3x+4y-10=0上,所以点P的轨迹是抛物线. 【答案】 抛物线 2.如图211所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是________. 图211 【解析】 在正方体ABCDA1B1C1D1中,C1D1⊥平面BB1C1C,连结PC1,则PC1⊥C1D1,所以P、C1两点间的距离PC1即为P到直线C1D1的距离.所以在平面BB1C1C内,动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离.根据抛物线的定义,知点P的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点,以直线BC为准线的抛物线. 【答案】 抛物线 3.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1-PF2|=2a(a>0),则当a=3和a=5时点P的轨迹为________. 【解析】 因为|PF1-PF2|=2a,所以PF1>PF2.又因为F1F2=10,当a=3时,F1F2>2a, 符合双曲线的定义,但只是双曲线的右支; 当a=5时,F1F2=2a,轨迹为x轴上以F2为端点向右射出的一条射线. 【答案】 双曲线的一支和一条射线 4.已知定点A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,求另一焦点F的轨迹方程. 【解】 设F(x,y)为轨迹上的任意一点,∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上, ∴FA+CA=2a,FB+CB=2a(其中a表示椭圆的长半轴长),∴FA+CA=FB+CB, ∴FA-FB=CB-CA=2.∴FA-FB=2. 由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长的双曲线的下半支上.
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