离散数学课后习题答案焦占亚版.docx
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离散数学课后习题答案焦占亚版
离散数学课后习题答案(焦占亚版)
第1章习题解答
习题
1.下列句子中,哪些是命题?
哪些不是命题?
如果是命题,指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。
⑷21+3<5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以?
。
⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。
解:
⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。
2.将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。
⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。
解:
⑴本命题为原子命题;
⑵p:
天气冷;q:
我穿羽绒服;⑶p:
天在下雨;q:
湿度很高;⑷p:
刘英上山;q:
李进上山;
⑸p:
王强学过法语;q:
刘威学过法语;⑹p:
你看电影;q:
我看电影;
⑺p:
我看电视;q:
我外出;r:
我睡觉;⑻p:
天下大雨;q:
他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭,一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
1
第1章习题解答
⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。
解:
⑴p:
他吃饭;q:
他听音乐;原命题符号化为:
p∧q⑵p:
3是素数;q:
2是素数;原命题符号化为:
p∨q
⑶p:
地球上有树木;q:
人类能生存;原命题符号化为:
?
p→?
q⑷p:
8是偶数;q:
8能被3整除;原命题符号化为:
p?
q
⑸p:
停机;q:
语法错误;r:
程序错误;原命题符号化为:
q∨r→p
⑹p:
四边形ABCD是平行四边形;q:
四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:
p?
q。
⑺p:
a是偶数;q:
b是偶数;r:
a+b是偶数;原命题符号化为:
p∧q→r4.将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6,则雪是白的。
⑵如果3+3≠6,则雪是白的。
⑶如果3+3=6,则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。
(假定是10进制)
⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。
解:
设p:
3+3=6。
q:
雪是白的。
⑴原命题符号化为:
p→q;该命题是真命题。
⑵原命题符号化为:
?
p→q;该命题是真命题。
⑶原命题符号化为:
p→?
q;该命题是假命题。
⑷原命题符号化为:
?
p→?
q;该命题是真命题。
⑸p:
3是无理数;q:
加拿大位于亚洲;原命题符号化为:
p?
q;该命题是假命题。
⑹p:
2+3=5;q:
3是无理数;原命题符号化为:
p?
q;该命题是真命题。
⑺p:
两圆O1,O2的面积相等;q:
两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:
p?
q;该命题是真命题。
⑻p:
王小红心情愉快;q:
王小红唱歌;原命题符号化为:
p?
q;该命题是真命题。
2
第1章习题解答
习题
1.判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)⑵(p∧(q→r)
⑶((?
p→q)?
(r∨s))⑷(p∧q→rs)
⑸((p→(q→r))→((q→p)?
q∨r))。
解:
⑴⑶⑸是合式公式;⑵⑷不是合式公式。
2.设p:
天下雪。
q:
我将进城。
r:
我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪,我也没有进城。
⑵如果我有时间,我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话,我将进城。
解:
⑴?
p∧?
q⑵r→q
⑶?
p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同,试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q⑵?
(r∨q)⑶q?
(r∧?
p)⑷(q→r)∧(r→q)
解:
⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城,当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间,那么我将进城,反之亦然。
4.试把原子命题表示为p、q、r等,将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去,他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解:
⑴p:
你给我写信;q:
信在途中丢失;原命题符号化为:
(?
p∧?
q)∨(p∧q)。
⑵p:
张三去;q:
李四去;r:
他去;原命题符号化为:
?
p∧?
q→r。
⑶p:
我们划船;q:
我们跑步;原命题符号化为:
?
。
⑷p:
你来了;q:
他唱歌;r:
你伴奏;原命题符号化为:
p→。
5.用符号形式写出下列命题。
3
第1章习题解答
⑴假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城,除非下雨。
⑶仅当你走,我将留下。
解:
⑴p:
上午下雨;q:
我去看电影;r:
我在家读书;s:
我在家看报;原命题符号化为:
∧。
⑵p:
我今天进城;q:
天下雨;原命题符号化为:
?
q→p。
⑶p:
你走;q:
我留下;原命题符号化为:
q→p。
4
第1章习题解答
习题
1.设A、B、C是任意命题公式,证明:
⑴A?
A
⑵若A?
B,则B?
A
⑶若A?
B,B?
C,则A?
C
证明:
⑴双条件的定义可知A?
A是一个永真式,等价式的定义可知A?
A成立。
⑵因为A?
B,等价的定义可知A?
B是一个永真式,再双条件的定义可知B?
A也是一个永真式,所以,B?
A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值,因为A?
B,则A?
B是永真式,即A与B具有相同的真值,又因为B?
C,则B?
C是永真式,即B与C也具有相同的真值,所以A与C也具有相同的真值;即A?
C成立。
2.设A、B、C是任意命题公式,
⑴若A∨C?
B∨C,A?
B一定成立吗?
⑵若A∧C?
B∧C,A?
B一定成立吗?
⑶若?
A?
?
B,A?
B一定成立吗?
解:
⑴不一定有A?
B。
若A为真,B为假,C为真,则A∨C?
B∨C成立,但A?
B不成立。
⑵不一定有A?
B。
若A为真,B为假,C为假,则A∧C?
B∧C成立,但A?
B不成立。
⑶一定有A?
B。
3.构造下列命题公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p⑵p→(q∨r)
⑶(p∨q)?
(q∨p)⑷(p∧?
q)∨(r∧q)→r
⑸((?
p→(p∧?
q))→r)∨(q∧?
r)
解:
⑴q∧(p→q)→p的真值表如表所示。
表
p0011q0101p→q1101q∧(p→q)0101q∧(p→q)→p1011
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是:
00,10,11,使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是:
01。
5
第1章习题解答
⑵p→(q∨r)的真值表如表所示。
表
p00001111q00110011r01010101q∨r01110111p→(q∨r)11110111
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式p→(q∨r)成假的赋值是:
100。
⑶(p∨q)?
(q∨p)的真值表如表所示。
表
p0011q0101p∨q?
0111q∨p?
0111(p∨q)?
(q∨p)1111
所有的赋值均使得公式(p∨q)?
(q∨p)成真,即(p∨q)?
(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧?
q)∨(r∧q)→r的真值表如表所示。
表
p0000111q0011001r0101010?
q1100110p∧?
q0000110r∧q0001000(p∧?
q)∨(r∧q)?
0001110(p∧?
q)∨(r∧q)→r111101111100111使得公式(p∧?
q)∨(r∧q)→r成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,
6
第1章习题解答
使得公式(p∧?
q)∨(r∧q)→r成假的赋值是:
100。
⑸((?
p→(p∧?
q))→r)∨(q∧?
r)的真值表如表所示。
表
p00001111q00110011rp∧?
q?
p→(p∧?
q)(?
p→(p∧?
q))→r01010101000011000000111111110101q∧?
r((?
p→(p∧?
q))→r)∨(q∧?
r)0010001011110111使得公式((?
p→(p∧?
q))→r)∨(q∧?
r)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式((?
p→(p∧?
q))→r)∨(q∧?
r)成假的赋值是:
100。
4.用真值表证明下列等价式:
⑴?
(p→q)?
p∧?
q
证明:
证明?
(p→q)?
p∧?
q的真值表如表所示。
表
p0qp→q?
(p→q)?
?
q?
0110100101010p∧?
q?
0010011011
上表可见:
?
(p→q)和p∧?
q的真值表完全相同,所以?
(p→q)?
p∧?
q。
⑵p→q?
?
q→?
p
证明:
证明p→q?
?
q→?
p的真值表如表所示。
表
p0011qp→q01011101?
p?
1100?
q?
1010?
q→?
p?
1101上表可见:
p→q和?
q→?
p的真值表完全相同,所以p→q?
?
q→?
p。
7
第1章习题解答
⑶?
(p?
q)?
p?
?
q
证明:
证明?
(p?
q)和p?
?
q的真值表如表所示。
表
p0011qp?
q?
(p?
q)?
?
q?
0101100101101010p?
?
q?
0110
上表可见:
?
(p?
q)和p?
?
q的真值表完全相同,所以?
(p?
q)?
p?
?
q。
⑷p→(q→r)?
(p∧q)→r
证明:
证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。
表
p00001111q0r0q→r?
p→(q→r)?
p∧q?
(p∧q)→r?
1101110111111101000000111111110101110001011011上表可见:
p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同,所以p→(q→r)?
(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)p→(p→?
q)
证明:
证明p→(q→p)和?
p→(p→?
q)的真值表如表所示。
表
p0011qq→pp→(q→p)?
?
p?
?
q?
p→?
q?
?
p→(p→?
q)?
0101101111111100101011101111
上表可见:
p→(q→p)和?
p→(p→?
q)的真值表完全相同,且都是永真式,所以p→(q→p)?
?
p→(p→?
q)。
⑹?
(p?
q)?
(p∨q)∧?
(p∧q)
8
第1章习题解答
证明:
证明?
(p?
q)和(p∨q)∧?
(p∧q)的真值表如表所示。
表
p0011qp?
q?
(p?
q)?
p∨q?
p∧q?
?
(p∧q)?
(p∨q)∧?
(p∧q)?
0101100101100111000111100110
上表可见:
?
(p?
q)和(p∨q)∧?
(p∧q)的真值表完全相同,所以?
(p?
q)?
(p∨q)∧?
(p∧q)
⑺?
(p?
q)?
(p∧?
q)∨(?
p∧q)
证明:
证明?
(p?
q)和(p∧?
q)∨(?
p∧q)的真值表如表所示。
表
p0011qp?
q?
(p?
q)?
p∧?
q?
?
p∧q?
01011001011000100100(p∧?
q)∨(?
p∧q)?
0110
上表可见:
?
(p?
q)和(p∧?
q)∨(?
p∧q)的真值表完全相同,所以?
(p?
q)?
(p∧?
q)∨(?
p∧q)。
⑻p→(q∨r)?
(p∧?
q)→r
证明:
证明p→(q∨r)和(p∧?
q)→r的真值表如表所示。
表
p00001111q01100r00101q∨r?
p→(q∨r)?
0111011111110111?
q?
11001100p∧?
q?
(p∧?
q)→r?
0000110011110111011011
上表可见:
p→(q∨r)和(p∧?
q)→r的真值表完全相同,所以p→(q∨r)?
(p∧?
q)→r。
9
第1章习题解答
5.用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴?
(p→q)?
?
(?
p∨q)?
p∧?
q⑵?
q→?
pq∨?
p?
q∨?
p?
?
p∨q?
p→q⑶?
(p?
q)
?
?
((p→q)∧(q→p))?
?
((?
p∨q)∧(?
q∨p))?
(p∧?
q)∨(q∧?
p)
?
((p∧?
q)∨q)∧((p∧?
q)∨?
p)?
(p∨q)∧(?
q∨?
p)?
(?
p∨?
q)∧(q∨p)?
(p→?
q)∧(?
q→p)?
p?
?
q⑷p→(q→r)?
?
p∨(?
q∨r)?
(?
p∨?
q)∨r?
?
(p∧q)∨r?
(p∧q)→r⑸p→(q→p)?
?
p∨(?
q∨p)?
T
?
p→(p→?
q)?
p∨(?
p∨?
q)
?
T
所以p→(q→p)p→(p→?
q)⑹?
(p?
q)
?
?
((p∧q)∨(?
p∧?
q))?
(p∨q)∧(?
p∨?
q)?
(p∨q)∧?
(p∧q)
所以?
(p?
q)?
(p∨q)∧?
(p∧q)⑺?
(p?
q)
?
?
((p→q)∧(q→p))?
?
((?
p∨q)∧(?
q∨p))?
(p∧?
q)∨(?
p∧q)
(条件等价式)(德·摩根律)(条件等价式)(双重否定律)(交换律)
(条件等价式)(双条件等价式)(条件等价式)(德·摩根律)(分配律)(分配律)(交换律)(条件等价式)(双条件等价式)(条件等价式)(结合律)
(德·摩根律)(条件等价式)(条件等价式)?
(条件等价式)?
(例)(德·摩根律)(德·摩根律)
(双条件等价式)(条件等价式)(德·摩根律)
10
第1章习题解答
⑻p→(q∨r)?
?
p∨(q∨r)(条件等价式)?
(?
p∨q)∨r(结合律)?
?
(p∧?
q)∨r(德·摩根律)?
(p∧?
q)→r(条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律:
(p∨q)∨r?
p∨(q∨r),(p∧q)∧r?
p∧(q∧r)证明:
证明结合律的真值表如表和表所示。
表
p00001111q01100r00101p∨q?
(p∨q)∨r?
q∨r?
p∨(q∨r)?
00111111011111110111011101111111011011
表
p00001111q00110011r01010101p∧q?
(p∧q)∧r?
q∧r?
p∧(q∧r)?
00000011000000010001000100000001
真值表可知结合律成立。
⑵分配律:
p∧(q∨r)?
(p∧q)∨(p∧r),
p∨(q∧r)?
(p∨q)∧(p∨r)
证明:
证明合取对析取的分配律的真值表如表所示,析取对合取的的分配律的真值表如表所示。
11
第1章习题解答
表
p00001111q01100r00101q∨r?
01110111p∧(q∨r)?
00000111p∧q?
00000011p∧r?
00000101(p∧q)∨(p∧r)?
00000111011011
表
p00001111q00110011r01010101q∧r?
00010001p∨(q∧r)?
00011111p∨q?
00111111p∨r?
01011111(p∨q)∧(p∨r)?
00011111
真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式:
p→q?
?
q→?
p
证明:
证明假言易位式的真值表如表所示。
表
p0011q0101p→q1101?
q?
1010?
p?
1100?
q→?
p?
1101
真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式:
p?
q?
?
p?
?
q
证明:
证明双条件否定的真值表如表所示。
12
第1章习题解答
表
p0011q0101p?
q1001?
p?
1100?
q?
1010?
p?
?
q?
1001
真值表可知双条件否定等价式成立。
13
第1章习题解答
习题
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴(p∨?
q)→q?
?
(p∨?
q)∨q?
(?
p∧q)∨q
?
q⑵?
(p→q)∧q?
?
(?
p∨q)∧q?
(p∧?
q)∧q?
F⑶(p→q)∧p→q?
(?
p∨q)∧p→q
?
(?
p∧p)∨(q∧p)→q?
(q∧p)→q?
?
(q∧p)∨q?
(?
q∨?
p)∨q?
T(永真式)⑷(p→q)∧q?
(?
p∨q)∧q?
q⑸(p→q)→(?
q→?
p)?
(p→q)→(p→q)?
T(永真式)
⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)
?
?
((?
p∨q)∧(?
q∨r))∨(?
p∨r)?
(p∧?
q)∨(q∧?
r)∨(?
p∨r)
?
(p∧?
q)∨((?
p∨q∨r)∧(?
p∨?
r∨r))?
(p∧?
q)∨(?
p∨q∨r)
?
(?
p∨q∨r∨p)∧(?
p∨q∨r∨?
q)?
T(永真式)⑺?
p→(p→q)?
p∨(?
p∨q)?
T(永真式)⑻p→(p∨q∨r)?
?
p∨(p∨q∨r)?
T(永真式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
14
第1章习题解答
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p→q))→q的真值表如表所示。
表可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。
表
p0011qp→qp∧(p→q)?
(p∧(p→q))→q?
0101110100011111
⑵(?
q∧(p→q))→?
p
(?
q∧(p→q))→?
p的真值表如表所示。
表可以看出(?
q∧(p→q))→?
p是重言式。
表
p0011qp→q?
q?
?
q∧(p→q)?
?
p?
(?
q∧(p→q))→?
p?
010111011010100011001111
⑶(?
p∧(p∨q))→q
(?
p∧(p∨q))→q的真值表如表所示。
表可以看出(?
p∧(p∨q))→q是重言式。
表
p0011qp∨q?
p?
?
p∧(p∨q)?
0101011111000100(?
p∧(p∨q))→q?
1111
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p→q)∧(q→r))→(p→r)的真值表如表所示。
表可以看出((p→q)∧(q→r))→(p→r)是重言式。
15
第1章习题解答
表
p00001111q00110011r01010101p→q11110011q→r11011101(p→q)∧(q→r)11010001p→r11110101((p→q)∧(q→r))→(p→r)11111111
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r的真值表如表所示。
表可以看出((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r是重言式。
表
p00001111q00110011r01010101p∨q?
00111111p→r?
11110101q→r?
(p∨q)∧(p→r)∧(q→r)?
((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r?
110111010001010111111111
16
第1章习题解答
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))的真值表如表所示。
表可以看出((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))是重言式。
表
p0000000011111111q0000111100001111r0011001100110011s?
0101010101010101p→q?
r→s?
(p→q)∧(r→s)?
p∧r?
q∧s?
(p∧r)→(q∧s)?
111111110000111111011101110111011101110100001101000
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