北京市北大附中高考数学二轮专题训练计数原理理科已经排版.docx
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北京市北大附中高考数学二轮专题训练计数原理理科已经排版
2014年北京市北大附中高考数学二轮专题训练:
计数原理(理科)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2006•上海)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.
48
B.
18
C.
24
D.
36
2.(5分)设数{an}的前n项和sn,Tn=
,称Tn为数a1,a2,…an的“理想数”,已知数a1,a2,…a500的“理想数”为2004,那么数列8,a1,a2,…a500的“理想数”为( )
A.
2008
B.
2009
C.
2010
D.
2011
3.(5分)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为( )
A.
900
B.
1500
C.
1800
D.
1440
4.(5分)(2010•重庆)(x+1)4的展开式中x2的系数为( )
A.
4
B.
6
C.
10
D.
20
5.(5分)从0~9这10个数中,选出3个数作为函数f(x)=ax2+bx+c各项系数,则可以组成不同的二次函数( )个.
A.
900
B.
1000
C.
648
D.
720
6.(5分)(2014•凉州区二模)若(2x﹣3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于( )
A.
﹣10
B.
﹣5
C.
5
D.
10
7.(5分)(2010•重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有( ).
A.
30种
B.
36种
C.
42种
D.
48种
8.(5分)将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子,每个盒内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为( )
A.
6种
B.
10种
C.
20种
D.
30种
9.(5分)若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100},其中ai∈{1,2,3,4,5,6,7}(i=0,1,2),且x+y=636,则实数对(x,y)表示坐标平面上不同点的个数为( )
A.
50个
B.
70个
C.
90个
D.
180个
10.(5分)(2012•吉安县模拟)设a1,a2,…,an是正整数1,2,3…n的一个排列,令bj表示排在j的左边且比j大的数的个数,bj称为j的逆序数,如在排列3,5,1,4,2,6中,5的逆序数是0,2的逆序数是3,则由1至9这9个数字构成的所有排列中,满足1的逆序数是2,2的逆序数是3,5的逆序数是3的不同排列种数是( )
A.
720
B.
1008
C.
1260
D.
1440
11.(5分)记
为一个n位正整数,其中a1,a2,…,an都是正整数,1≤a1≤9,0≤ai≤9,(i=2,3,…,n,).若对任意的正整数j(1≤j≤m),至少存在另一个正整数k(1≤k≤m),使得aj=ak,则称这个数为“m位重复数”.根据上述定义,“四位重复数”的个数为( )
A.
1994个
B.
4464个
C.
4536个
D.
9000个
12.(5分)在(x﹣2)6的展开式中,x3的系数是( )
A.
160
B.
﹣160
C.
120
D.
﹣120
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.(5分)上午4节课,一个教师要上3个班级的课,每个班1节课,都安排在上午,若不能3节连上,这个教师的课有 _________ 种不同的排法.
14.(5分)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有 _________ 种栽种方案.
15.(5分)(2011•北京)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 _________ 个.(用数字作答)
16.(5分)(2011•南宁模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有 _________ 种(用数字作答).
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)
(1)比5000小且没有重复数字的自然数有多少个?
(2)由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数,
①其中奇数位置上的数字只能是奇数,问有多少个这样的5位数?
②其中奇数只能在奇数位置上,问又有多少个这样的5位数?
18.(12分)在由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的四位数中,
(1)1不在百位且2不在十位的有多少个;
(2)计算所有偶数的和.
19.(12分)已知
,n∈N*.
(1)若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x),求g(x)中含x2项的系数;
(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和,数列{an}是各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:
pn(a1a2…an+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+an).
20.(12分)2名女生、3名男生排成一排合影留念,针对下列站法,试问:
各有多少种不同的站法?
(1)2名女生相邻;
(2)2名女生不相邻.
21.(12分)从4名男生,3名女生中选出三名代表,
(1)不同的选法共有多少种?
(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?
(3)代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种?
22.(12分)
(1)在(1+x)n的展开式中,若第3项与第6项系数相等,且n等于多少?
(2)(x
+
)n的展开式奇数项的二项式系数之和为128,则求展开式中二项式系数最大项.
2014年北京市北大附中高考数学二轮专题训练:
计数原理(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2006•上海)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.
48
B.
18
C.
24
D.
36
解答:
解:
如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.
在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”,
分情况讨论:
①对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;
②对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个;
所以正方体中“正交线面对”共有36个.
选D.
2.(5分)设数{an}的前n项和sn,Tn=
,称Tn为数a1,a2,…an的“理想数”,已知数a1,a2,…a500的“理想数”为2004,那么数列8,a1,a2,…a500的“理想数”为( )
A.
2008
B.
2009
C.
2010
D.
2011
分析:
利用“理想数”的定义即可得到a1+(a1+a2)+…+(a1+a2+…+a500)=500×2004,进而即可得到数列8,a1,a2,…a500的“理想数”.
解答:
解:
∵数a1,a2,…a500的“理想数”为2004,∴2004=
,∴a1+(a1+a2)+…+(a1+a2+…+a500)=500×2004.
∴数列8,a1,a2,…a500的“理想数”=
=8+
=8+
=8+2000=2008.
故选A.
3.(5分)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为( )
A.
900
B.
1500
C.
1800
D.
1440
分析:
先从5个房间中认选3个安排给5个工作人员临时休息,这三个房间每个房间都有人,5个人分两组(1,2,2)和(1,1,3)然后再安排房间,问题得以解决.
解答:
解:
先从5个房间中认选3个安排给5个工作人员临时休息有
=10种,其中相邻的有4种,故选的房间的种数为10﹣4=6种,
5个人分两组(1,1,3)和(1,2,2)有
=25种分法,然后再全排有
=6种,
故若恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻,则不同的安排方式的总数为6×25×6=900种.
故选:
A.
4.(5分)(2010•重庆)(x+1)4的展开式中x2的系数为( )
A.
4
B.
6
C.
10
D.
20
解答:
解:
(x+1)4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr
令r=2得T3=C42x2=6x
∴展开式中x2的系数为6
故选项为B
5.(5分)从0~9这10个数中,选出3个数作为函数f(x)=ax2+bx+c各项系数,则可以组成不同的二次函数( )个.
A.
900
B.
1000
C.
648
D.
720
分析:
由题意,a有9种取法,b,c有10种取法,根据乘法原理,可得结论.
解答:
解:
由题意,a有9种取法,b,c有10种取法,
根据乘法原理,可得组成不同的二次函数有9×10×10=900个,
故选:
A
6.(5分)(2014•凉州区二模)若(2x﹣3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于( )
A.
﹣10
B.
﹣5
C.
5
D.
10
分析:
对已知等式求导数,对求导后的等式中的x赋值1,求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值.
解答:
解:
对等式两边求导数得
10(2x﹣3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4
令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5
故选D
7.(5分)(2010•重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有( ).
A.
30种
B.
36种
C.
42种
D.
48种
解答:
解:
根据题意,不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数,再加上甲值14日且乙值16日的排法,
即C62C42﹣2×C51C42+C41C31=42,
故选C.
8.(5分)将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子,每个盒内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为( )
A.
6种
B.
10种
C.
20种
D.
30种
分析:
根据题意,分2步进行;先在五个盒子中确定3个,使其编号与球的编号相同,再分析剩下的2个盒子,2个球,其编号与球的编号不同,只有1种情况;由分步计数原理,计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,先在五个盒子中确定3个,使其编号与球的编号相同,有C53=10种情况,
剩下有2个盒子,2个球;其编号与球的编号不同,只有1种情况;
由分步计数原理,共有1×10=10种,
故选B.
9.(5分)若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100},其中ai∈{1,2,3,4,5,6,7}(i=0,1,2),且x+y=636,则实数对(x,y)表示坐标平面上不同点的个数为( )
A.
50个
B.
70个
C.
90个
D.
180个
分析:
记A=∈{x|x=a0+a1•10+a2•100},求实数对(x,y)表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在A中的解的个数,按10进制位考察即可.
解答:
解:
记A=∈{x|x=a0+a1•10+a2•100},
实数对(x,y)表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A中的解的个数,
按10进制位考察即可.
首先看个位,a0+a0=6,有5种可能.
再往前看:
a1+a1=3且a2+a2=6,有2×5=10种可能,
a1+a1=13且a2+a2=5,有2×4=8种可能
所以一共有(10+8)×5=90个解,
对应于平面上90个不同的点.
故选C.
10.(5分)(2012•吉安县模拟)设a1,a2,…,an是正整数1,2,3…n的一个排列,令bj表示排在j的左边且比j大的数的个数,bj称为j的逆序数,如在排列3,5,1,4,2,6中,5的逆序数是0,2的逆序数是3,则由1至9这9个数字构成的所有排列中,满足1的逆序数是2,2的逆序数是3,5的逆序数是3的不同排列种数是( )
A.
720
B.
1008
C.
1260
D.
1440
解答:
解:
由题意知,1必在第3位,2必在第5位;5可以在第6位,5可以在第7位,5也可以在第8位.
若5在第6位,则5前面有3个空位,需从6,7,8,9中选出3个填上,
把剩下的3个数填在5后面的3个空位上,则有C43A
A
═144种,
若5在第7位,则5前面有4个空位,其中3,4当中的一个应填在其中的一个空位上,余下3个空位,需从6,7,8,9中选出3个填上;其它2个数填在剩余的2个位上,则有C43C21A
A22=384种,
若5在第8位,则5前面有5个空位,其中3,4应填在其中的两个空位上,余下3个空位,需从6,7,8,9中选出3个填上;其它1个数填在剩余的1个位上,则有C43C22A
A11=480种,
合计为:
144+384+480=1008种,
故选:
B.
11.(5分)记
为一个n位正整数,其中a1,a2,…,an都是正整数,1≤a1≤9,0≤ai≤9,(i=2,3,…,n,).若对任意的正整数j(1≤j≤m),至少存在另一个正整数k(1≤k≤m),使得aj=ak,则称这个数为“m位重复数”.根据上述定义,“四位重复数”的个数为( )
A.
1994个
B.
4464个
C.
4536个
D.
9000个
分析:
根据题意,首先分析四位数的个数,再由排列公式计算出其中4个数字均不相同的四位数的个数,进而得到至少有1个数字发生重复的数的个数,即可得到答案.
解答:
解:
由题意可得:
四位数最小为1000,最大为9999,从1000到9999共有9000个数,
而其中4个数字均不相同的数有9×9×8×7=4536个,
所以至少有1个数字发生重复的数共有9000﹣4536=4464个
故选B.
12.(5分)在(x﹣2)6的展开式中,x3的系数是( )
A.
160
B.
﹣160
C.
120
D.
﹣120
解答:
解:
在(x﹣2)6的展开式中,通项公式为Tr+1=
•x6﹣r•(﹣2)r,令6﹣r=3,可得r=3,故x3的系数是(﹣2)3•
=﹣160,
故选B.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.(5分)上午4节课,一个教师要上3个班级的课,每个班1节课,都安排在上午,若不能3节连上,这个教师的课有 12 种不同的排法.
分析:
因为不能3节连上,所以必定1,4节上,2,3节中在选一节,所以可分成两类,把每类的方法数求出,再相加即可.
解答:
解:
∵4节课中不能连上3节,∴分两类,
第一类,上1,2,4节,有A33种不同的排法,
第二类上1,3,4节,有A33种不同的排法,
∴共有A33+A33=6+6=12种不同的排法.
故答案为12
14.(5分)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有 732 种栽种方案.
分析:
分三类讨论:
A、C、E种同一种植物、A、C、E种同二种植物、A、C、E种同三种植物,利用分布计数原理,可得结论.
解答:
解:
考虑A、C、E种同一种植物,此时共有4×3×3×3=108种方法.
考虑A、C、E种二种植物,此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法.
考虑A、C、E种三种植物,此时共有A43×2×2×2=192种方法.
故总计有108+432+192=732种方法.
故答案为:
732
15.(5分)(2011•北京)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 14 个.(用数字作答)
分析:
本题是一个分类计数问题,首先确定数字中2和3的个数,当数字中有1个2,3个3时,当数字中有2个2,2个3时,当数字中有3个2,1个3时,写出每种情况的结果数,最后相加.
解答:
解:
由题意知本题是一个分类计数问题,
首先确定数字中2和3的个数,
当数字中有1个2,3个3时,共有C41=4种结果,
当数字中有2个2,2个3时,共有C42=6种结果,
当数字中有3个2,1个3时,共有有C41=4种结果,
根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果,
故答案为:
14
16.(5分)(2011•南宁模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有 24 种(用数字作答).
分析:
根据题意,分两步,①先求所有两人各选修2门的种数,②再求两人所选两门都相同与都不同的种数,进而由事件间的相互关系,分析可得答案.
解答:
解:
根据题意,分两步,
①由题意可得,所有两人各选修2门的种数C42C42=36,
②两人所选两门都相同的有为C42=6种,都不同的种数为C42=6,
故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种.
故答案为:
24.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)
(1)比5000小且没有重复数字的自然数有多少个?
(2)由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数,
①其中奇数位置上的数字只能是奇数,问有多少个这样的5位数?
②其中奇数只能在奇数位置上,问又有多少个这样的5位数?
分析:
(1)本题是一个分类计数问题.4位数有4A93,3位数有9A92,2位数有9×9个,1位数有10个,利用加法原理得到结果.
(2)①由题意知本题是一个分步计数问题,在奇数位上排列3个奇数有A53,再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A62.
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A42,再在剩余三位上排其他7个数中的7个有A73,根据乘法原理得到结果.
解答:
解:
(1)由题意知本题是一个分类计数问题.
4位数有:
4A93=2016个
3位数有:
9A92=648个
2位数有:
9×9=81个
1位数有:
10个
所以比5000小且没有重复数字的自然数有10+81+648+2016=2755个
(2)由题意知本题是一个分步计数问题,
①在奇数位上排列3个奇数,有A53
再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A62
共
×
=1800
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A42
再在剩余三位上排其他7个数中的3个有A73
×
=2520
18.(12分)在由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的四位数中,
(1)1不在百位且2不在十位的有多少个;
(2)计算所有偶数的和.
分析:
(1)由题意分两类,第一类:
1在十位的;第二类:
1不在十位也不在百位,根据分类加法原理可得.
(2)首先通过分类,分别计算,个,十,百,千上的数字和,再求出所有的偶数和.
解答:
解:
(1)由1不在百位,可分为以下两类
第一类:
1在十位的共有
=24个;
第二类:
1不在十位也不在百位的共有
=54个.
所以1不在百位且2不在十位的共有24+54=78个.
(2)千位数字的和为:
(1+3+5)
=144;
百位数字的和为:
(1+3+5)
=144;
十位数字的和为:
:
(1+3+5)
=144;
个位数字的和为:
(2+4)
=144;
∴所有偶数的和为:
144×(1000+100+10+1)=159984.
19.(12分)已知
,n∈N*.
(1)若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x),求g(x)中含x2项的系数;
(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和,数列{an}是各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:
pn(a1a2…an+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+an).
考点:
数学归纳法;二项式定理的应用.菁优网版权所有
专题:
综合题;点列、递归数列与数学归纳法.
分析:
(1)确定函数g(x),利用二项式定理可得g(x)中含x2项的系数;
(2)确定pn的表达式,根据数学归纳法的步骤,先证n=1时成立,再设n=k时成立,利用归纳假设证明n=k+时成立即可.
解答:
(1)解:
g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)=
+2
+3
,
∴g(x)中含x2项的系数为
=1+10+45=56.(3分)
(2)证明:
由题意,pn=2n﹣1.(5分)
①当n=1时,p1(a1+1)=a1+1,成立;
②假设当n=k时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立,
当n=k+1时,(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k﹣1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)
=2k﹣1(a1a2…akak+1+a1a2…
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