高一数学二分法教案.docx
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高一数学二分法教案
高一数学二分法教案
【篇一:
《二分法》教案】
3.1.2用二分法求方程的近似解
【教学设计】
1、教材分析
本节课注重从学生已有的基础(基本初等函数图像、零值定理)出发,从具体到一般,揭示方程的根与对应函数零点之间的关系。
在此基础上,再介绍求函数零点的近似值的“二分法”,并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想,为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获,而且希望学生感受到数学文化的熏陶,所以在“阅读与思考”中,介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就,特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.
2、目标分析
学生已学习过的函数包括:
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数,同时已掌握了求函数零点准确值的一些方法,对函数与方程的关系有了一定的认识。
用二分法求函数零点的近似解是利用了函数图像的连续性,不断逼近函数零点从而求得对应方程近似解的一种计算方法,因此通过学习二分法可以进一步培养学生有意识地运用函数图像及其性质去分析并解决问题的能力。
在求解的过程中,由于数值计算较为复杂,因此对获得给定精确度的近似解增加了困难,所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生能熟练地运用计算器演算。
由此得出本节课的教学目标为:
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备.情感态度价值观体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、重难点分析
重点通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程的根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
难点恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.4、教法分析
本节课突出方法的讲授与思维的训练,遵循“实例导入→揭示课题→实践探究→总结提炼→回归定义→视野拓展→学生感悟”的教学环节,由特殊到一般,由具体到抽象,循序渐进训练学生思维,给学生更多独立思考的空间。
采用教师启发引导与学生自主探究相结合的教学方法。
一、【实例导入】
首先我们来进行一个猜数字游戏:
我和a同学一起背对着黑板,面对大家,请一名同学上黑板写下一个数,这个数是在1到100以内的自然数,写完以后马上擦掉,然后让a同学先猜,我后猜,我一定内在7次以内(包括7次)猜中。
需要在座的同学们协助我完成以下项目:
1、每次得一个结果,大家给一次提示,提示语言是以下三种:
对了、大了、小了。
2、师生互动:
请一名同学上黑板出数、另一名同学在黑板上记录下猜的过程以及提示语言。
(板书内容:
分两列呈现猜得的数字、学生提示语言)
为什么我的方法,7次以内一定可以猜中?
(第一次猜50,若“大了”,则猜1与50中间的整数25,依此类推,由于每猜一次,就排除一半,范围不断缩小,7次以内一定可以猜中。
)
上述游戏,每次都将所给区间一分为二,进行比较后得到新的区间,再一分为二,如此下去,使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。
这种思想就体现了数学中的二分法思想。
(板书内容:
一分为二、逼近)
给出数字x0,用二分法的思想完成猜数字游戏的步骤如下:
1、给出初始区间(a,b)2、求区间(a,b)的中点c=
a+b2
(设计意图:
引入中点值的公式)
3、比较c与x0:
①若cx0,那么x0∈(c,b),则令c=a
②若cx0,那么x0∈(a,c),则令c=b
4、直到c=x0,结束游戏,否则重复操作步骤2~3
设计意图:
通过游戏的形式,来提高学生的学习兴趣,让他们从中初步体会二分法的一分为二以及逼近的思想。
二、【揭示课题】
那我们能否借用这种一分为二以及逼近的思想来解决一些数学问题呢?
在中学数学中我们常常需要解方程,我们会求一元一次、一元二次的方程的解,可是更多的方程我们不知道如何求解,比如x3=1-3x、lnx=6-2x等等。
今天我们类比猜数字游戏的这种思路来研究用二分法求方程的近似解.
(板书内容:
3.1.2用二分法求方程的近似解)
三、【实践探究】
例、①判断方程x=1-3x在区间(0,1)内是否有解?
若有,有几解?
3
方法一:
方程x=1-3x的解?
函数y=x与y=1-3x图象交点的横坐标
3
3
作出函数y=x与y=1-3x图象,并由此知在区间(0,1)内有且只有一解。
3
方法二:
方程x=1-3x的解
?
函数f(x)=x3+3x-1与x轴交点的横坐标?
函数f(x)=x3+3x-1的零点
3
对于函数f(x)=x3+3x-1,
首先,f
(1)?
f
(2)0,利用零值定理,函数f(x)=x3+3x-1在(0,1)内至少有一解。
然后,利用函数f(x)=x3+3x-1是定义域r上的增函数知它在(0,1)内有唯一解。
②借助计算器或计算机,用二分法求出这个方程的近似解。
(指导学生进行前3次操作,然后请学生使用计算器进行后续操作,每2人一组互相配合,其中一人按计算器,一人记录数据,每一个结果与前一个结果都是环环相扣,因此一定小心谨慎,在确保准确无误的情况下再强调速度,先慢后快,何时停止操作听我的口令)
解:
记f(x)=x3+3x-1,设方程x3+3x-1=0的实数解为x0,x0∈(0,1)
用二分法操作如下:
师生互动:
同学们的操作速度有很大差别,最快的两人小组已经进行到第八次了,大家看看自己的操作记录单,可以发现:
区间长度越来越短,从而使得方程的解所在范围越来越小。
如果操作到第四次的话,那么方程的近似解可以是0.3125,当然,[a,b]中任意一个数均可以作为近似解。
如果进行到第五次的话,那么方程的近似解可以是0.34375。
对操作次数的探讨:
那么到底应该操作到第几次才可以停止?
我们知道,在表示一个小数时,如果小数位数
根据精确度的定义,我们计算每一次操作的精确度分别得多少。
如下表(幻灯片演示):
大多数题目给出的精确度为0.1或0.01,若精确度为0.1,算到几次就可以了?
若精确度为0.01呢?
回答:
若精确度为0.1,算到第五次;
若精确度为0.01,算到第八次。
对精确度的再思考:
我们还可以看出每一个精确度是上一次操作精确度的
12
倍,
如果初始区间长度是1,那么进行到第五次才能符合题目精确度为0.1的要求;如果初始区间长度是1,那么进行到第八次才能符合题目精确度为0.01的要求;
思考1:
如果初始区间长度是2,进行到第几次才能符合题目精确度为0.1的要求?
(答案:
第六次)
思考2:
二分法的操作次数与什么有关?
(答案:
①初始区间的长度(越小,操作次数越少);
②所给精确度(越小,操作次数越多)
电脑演示:
借助几何画板用准确的函数图像演示这个实数解的精确过程(用鼠标拖动横轴的单位长度,使得单位长度不断变大)。
变题1:
借助计算器或计算机,用二分法求方程x3=1-3x的近似解(精确度为0.1)。
变题2:
借助计算器或计算机,用二分法求函数f(x)=x3+3x-1的零点(精确度为0.1)。
思考:
若分别就初始区间为(0,2)和(0,3)进行求解,这两种情况会有什么不一样。
让学生感知初始区间的不同对结果无影响,只是操作次数的多少而已。
设计意图
1、例1的①实际上是为了给②作铺垫,目的是为了给出初始区间;
2、变题1需要学生自己确定初始区间;
3、变题2体现方程f(x)=g(x)的根与函数y=f(x)-g(x)零点的等价关系。
4、在上述例题的基础上,引导学生归纳二分法求方程的近似解的基本步骤。
四、【回归定义】
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法
揭示二分法的定义:
(指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间)五、【总结提炼】
a+b2
);
3、计算f(c),观察f(a)、f(b)、f(c)的正负
(1)若f(a)?
f(c)0,那么x0∈(a,c),则令c=b;
(2)若f(b)?
f(c)0,那么x0∈(c,b),则令c=a;
【篇二:
二分法教案】
3.1.2用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节选自新人教A版必修1第三章第一节的第二课时,是利用前一节课中的函数的零点和方程的根的关系来才解方程的根,而如何求得函数的零点,就是本节课的主要内容。
这里要求学生懂得二分法的求解的过程,理解二分法求解的原理,更重要的是,为必修3算法提供了技术支持。
同时让学生对函数与方程的思想,数形结合思想以及逼近的数学思想有了进一步的认识。
二、学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识;而通过生活中的案例来接触二分的思想,激发学生的学习兴趣,使学生明白数学就在身边,数学无处不在的。
三、教学目标
1.通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一;
四、教学重点和难点
1.教学重点:
用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
2.教学难点:
方程近似解所在起始区间的确定,近似解与精确度的关系。
五、教学过程设计
(一)创设情境,提出问题
体会一分为二的“逼近”思想
问题1:
在班级举办的新年晚会上,有一支有100个小彩灯组成的串联彩灯电路突然不亮了,知道只有一个灯泡烧毁,如何迅速找出烧掉的灯炮并换掉,让欢乐的气氛得以继续?
(这个问题会让学生有身临其境的感觉)
[学情预设]学生独立思可能的解决方法:
思路1:
用万用表按顺序一个一个灯泡去测试.
思路2:
通过先找到中间的灯泡,测试两次,这样就剩下50个灯泡,以此类推不用几次即可找出烧毁的灯泡。
老师从思路2入手,引导学生解决问题:
如图,首先找到中间灯炮的接点a51.用万用表测量a1与a51之间的电阻,如果指针不动,说明电阻无穷大,烧毁的灯光就在a1与a51之间,否则烧毁的
灯光就在a52与a101之间,若是在a1至a51之间,再测量a1至a26之间和a26至a51之间,找出烧毁灯泡所在的电路段,以此类推.每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,如此查下去,不用几次,就可以烧毁的灯光.
接下来教师现场演示测量过程.
在一条线段上找某个特定点,可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想).
[设计意图]从实际问题入手,现场演示用二分法思想查找烧毁的灯泡,通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法,说明二分法原理源于现实生活,并在现实生活中广泛应用.
(二)师生探究,构建新知
问题2:
现在我把烧毁的灯泡比作函数f(x)?
lnx?
2x?
6的零点,请同学们先猜想它的零点大概是什么?
1.教师引导学生计算f
(2),f(3)的值,以及f(x)?
lnx?
2x?
6在(2,3)是否有定义。
计算结果:
f(x)?
lnx?
2x?
6在(2,3)是连续函数,而且f
(2)<0,f(3)>0.
教师演示:
模拟毛线大致画出函数曲线,因为f
(2)<0,f(3)>0.所以横坐标为2的点在x轴下方,横从标为3的点在x轴上方,将毛线的两端分别固定在x轴的上方或下方,无论毛线如何放置,始终与x轴交于2至3之间
结论:
实际上在闭区间上的连续函数,如果两个端点的函数值是异号的,那么函数图象就一定与x轴相交,即方程f(x)?
0在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理,为下面的学习提供理论基础).引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义,掌握常见函数零点的求法,明确二分法的适用范围.也就是f(x)?
lnx?
2x?
6在区间(2,3)内有零点。
2.我们已经知道,函数f(x)?
lnx?
2x?
6在区间(2,3)内有零点,且f
(2)<0,f(3)>0.进一步的问题是,如何找出这个零点?
合作探究:
学生先按四人小组探究.(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式,有助于发挥学生学习的主动性)
学生的结论:
如果能够将零点所在的范围尽量缩小,经过多次以后,我们可以得到零点.
教师问:
要经过多少次缩小范围呢?
学生:
因为我们这节课的课题是求近似解,近似解有精确度问题,所以只要指定精确度,就可以解决这个问题。
师问:
那如何缩小范围呢?
这个问题学生可能有两种回答:
1.通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
2.通过“取三等分点或四等分点”等方法逐步缩小零点所在的范围,因为他看到了找烧毁灯泡的过程中,中间点并不中间。
教师总结:
很好,一个直观的想法是:
如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下,“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此,为了方便,下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
引导学生分析理解求区间(a,b)的中点的方法x?
a?
b.2
合作探究:
(学生4人一组互相配合,事先确定好精确度,一人按计算器,一人记录过程.另1人确定每次计算得到的零点所在的区间,最后一人监督计算结果是否符合要求,即区间的长度是否=精确度,若是即得到近似值。
)
步骤一:
取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)?
?
0.084?
0.
由f(3)>0,得知f(2.5)?
f(3)?
0,所以零点在区间(2.5,3)内。
步骤二:
取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)?
0.512?
0.因为f(2.5)?
f(2.75)?
0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.
结论:
由于(2,3)?
(2.5,3)?
(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤,在一定精确度下,我们可以在有限次重复上述步骤后,将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值.特别地,可以将区间内的任一点作为函数零点的近似值.
引导学生利用计算器边操作边认识,通过小组合作探究,得出教科书上的表3—2,让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质,培养学生合作学习的良好品质.
教师总结:
只要满足以下几条:
1.闭区间[a,b]连续,2。
端点的函数值异号,就可以用以二分法。
给定精确度?
,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:
2、求区间(a,b)的中点c;
3、计算f(c):
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
4、判断是否达到精确度?
:
即若|a?
b|?
?
,则得到零点零点值a(或b);否则重复步骤2—4.
利用二分法求方程近似解的过程,可以简约地用下图表示.
(三)例题剖析,巩固新知
例:
借助计算器或计算机用二分法求方程2x?
3x?
7的近似解(精确度0.1).两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果;学生讲解缩小区间的方法和过程,教师点评.
本例鼓励学生自行尝试,让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程,进一步巩固二分法的思想方法.
小结用二分法求方程零的步骤:
1构造对应的函数,强调一边应化为零,否则求出结果就不是方程的根。
2.求出函数的零点,该零点即是原方程的根。
[设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用.同时强化了方程的根与函数零点之间的关系。
思考:
是否所有的零点都可以用二分法来解呢?
学生讨论,教师总结用二分法求解的条件——异号,连续。
(四)尝试练习,检验成果
1、下列函数中能用二分法求零点的是().
(a)(b)(c)(d)[设计意图]让学生明确二分法的适用范围.
2、用二分法求图象是连续不断的函数y?
f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f
(1)?
0,f(1.5)?
0,f(1.25)?
0,则函数的零点落在区间().
(a)(1,1.25)(b)(1.25,1.5)(c)(1.5,2)(d)不能确定
[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法.
(五)课堂小结,回顾反思
学生归纳,互相补充,老师总结:
1、理解二分法的定义和思想,用二分法可以求函数的零点近似值,但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断,而且端点函数值要异号。
2、用二分法求方程的近似解的步骤.
[设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解二分法定义是关键,掌握二分法解题的步骤是前提,实际应用是深化.
(六)课外作业
借助计算器或计算,用二分法求方程x?
3?
lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1),[设计意图]进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解.
板书设计
【篇三:
高一数学《用二分法求方程的近似解》教学设计】
高一数学《用二分法求方程的近似解》教学设计
设计:
章瑞禄福建省福安市第八中学
点评:
苏文新安溪一中
一、概述
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(a版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解.本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系;它既是本册书中的重点内容,又是对函数知识的拓展,既体现了函数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础,因此决定了它的重要地位.
点评:
点明教学内容来自的版本、模块与章节,较全面地阐述本节内容与前后知识的联系及地位。
二、教学目标分析1.知识与技能:
理解二分法的概念,了解二分法是求方程近似解的常用方法,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
2.过程与方法:
通过价格竞猜与线路维修体会二分法的思想;
通过学生的自主探究,借助计算器用二分法求方程的近似解,体现逼近思想,为学习算法做准备;体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在具体的问题情境中感受无限逼近的过程,感受精确与近似的相对统一点评:
教学目标确定准确、明确、可操作性强。
如通过价格竞猜与线路维修体会二分法的思想等。
三、学习者特征分析
本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的:
学生是福建省福安市第八中学高一年级学生.福安八中是一所农村普通完中,学生学习基础较弱.
学生在学习本节课内容之前已学习了函数的零点,理解方程的根与函数零点之间的关系,有一定的数形结合思想能力,但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。
在教学过程中,为学生创设熟悉的问题情境,体会二分法的思想,。
多处启发学生,让学生概括二分法思想和归纳二分法的步骤。
点评:
章老师对学习者特征分析切合实际,学生是普通完中的学生,基础较弱,指出了以具备的知识与能力及存在的困难。
四、教学策略选择与设计
先行组织者策略:
通过商品价格竞猜和线路检查体会二分法的思想与方法。
启发式方法:
通过分步提问,启发得出用二分法求方程近似解的步骤,体会逼近思想和算法思想,分散难点。
讨论式:
学生自主探究用二分法求方程的近似解;通过讨论交流总结用二分法求方程近似解的步骤。
点评:
章老师运用先行者策略,通过情境设置激发学生学习兴趣,调动学生的学习积极性,学生从中体会了二分法思想。
再通过启发式教学,分步提问细化了难点,考虑了学生的实际水平。
五、教学资源与工具设计
(1)教师自制的多媒体课件和手机一款
(2)上课环境是多媒体教室环境
(3)学生手中的高中数学必修1教材和计算器
点评:
媒体运用得当。
六、教学过程
一.创设情景,引入新课
师:
(手拿一款手机)中央电视台第二频道幸运52大家有看吧!
我来当一回李永,如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜?
生1:
先初步估算一个价格,如果高了再每隔十元降低报价。
生2:
这样太慢了,先初步估算一个价格,如果高了每隔100元降低报价。
如果低了,每50元上涨;如果再高了,每隔20元降低报价;如果低了,每隔10元上升报价?
?
生3:
先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个价格和的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出价格;如果低了,就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价?
?
师:
2008年10月4日下午5时,台风“海高斯”在广东吴川市的大山江镇登陆,次日该市某山区发现从水库闸房到防台指挥部的用电线路某一处发生了故障,这是一条10km长的线路,每隔50m
有一根电线杆,维修工人需爬上电线杆测试,问如何快速找到被毁坏的电线杆?
生:
(齐答)按照生3那样来检测。
二、讲解新课
师:
那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢?
(多媒体)能否求函数f(x)=lnx+2x-6的零点?
①师生共同探讨交流,引出借助函数f(x)=lnx+2x-6的图象,能够缩小零点所在区间,并根据f
(2)0,f(3)0,可得出零点所在区间(2,3);
②引发学生思考,如何进一步有效缩小零点所在的区间;
③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决;④引发学生思考在有效缩小零点所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度。
学生简述上述求函数零点近似值的过程。
(通过自己的语言表达,有助于学生对概念的理解)(思考,解决。
问题激励,语言激励)(生推导,师欣赏,鼓励学生,生口答,得出)
(2.5,
3)
(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤,那么零点
所在的范围会越来越小(见下表和图)
因为|2.5390625-2.53125|0.01在区间(2.53125,2.5390625)内任何点的值与精确值的误差都不超过0.01,所以区间内任何值以及区间端点的值都可表示此函数零点的近似解,所以此函数零点的近似解为x=2.53125揭示二分法的定义。
上述求函数零点近似值的方法叫做二分法,那么二分法的基本思想是什么?
(1)求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么?
(确定区间[a,b],使f(a)f(b)0)
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
例1:
利用计算器,用二分法求方程2+3x=7的近似解(精确度0.1)分析思考:
原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
解:
原方程即2+3x=7,令f(x)=2+3x-7,用计算器作出函数的对应值表与图象(如下):
x
xx
∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),
由|1.375-1.4375|=0.06250.1,所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.(多媒体)练习:
1.下列函数图像与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点
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