中考数学专题复习第4讲因式分解含答案.docx
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中考数学专题复习第4讲因式分解含答案
2013年中考数学专题复习第四讲:
因式分解
【基础知识回顾】
一、因式分解的定义:
1、把一个式化为几个整式的形式,叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算,即:
多项式整式的积
【名师提醒:
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确,关键看等号右边是否为的形式。
】
二、因式分解常用方法:
1、提公因式法:
公因式:
一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为:
ma+mb+mc=。
【名师提醒:
1、公因式的选择可以是单项式,也可以是,都遵循一个原则:
取系数的,相同字母的。
2、提公因式时,若有一项被全部提出,则括号内该项为,不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题,特别是一个多项式首项为负时,一般应先提取负号,注意括号内各项都要。
】
2、运用公式法:
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解,这种方法叫做公式法。
①平方差公式:
a2-b2=,
②完全平方公式:
a2±2ab+b2=。
【名师提醒:
1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点,
找准里面a与b。
如:
x2-
x+
即是完全平方公式形式而x2-x+
就不符合该公式。
】
一、公式分解的一般步骤
1、一提:
如果多项式即各项有公因式,即分要先
2、二用:
如果多项没有公因式,即可以尝试运用法来分解。
3、三查:
分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
【名师提醒:
分解因式不彻底是因式分解常见错误之一,中考中的因式分解题目一般为两点,做题时要特别注意,另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
考点一:
因式分解的概念
例1(2012•安徽)下面的多项式中,能因式分解的是( )
A.m2+nB.m2-m+1C.m2-nD.m2-2m+1
思路分析:
根据多项式特点和公式的结构特征,对各选项分析判断后利用排除法求解.
解:
A、m2+n不能分解因式,故本选项错误;
B、m2-m+1不能分解因式,故本选项错误;
C、m2-n不能分解因式,故本选项错误;
D、m2-2m+1是完全平方式,故本选项正确.
故选D.
点评:
本题主要考查了因式分解的意义,熟练掌握公式的结构特点是解题的关键.
对应训练
1.(2012•凉山州)下列多项式能分解因式的是( )
A.x2+y2B.-x2-y2C.-x2+2xy-y2D.x2-xy+y2
答案:
C
考点二:
因式分解
例2(2012•天门)分解因式:
3a2b+6ab2=.
思路分析:
首先观察可得此题的公因式为:
3ab,然后提取公因式即可求得答案.
解:
3a2b+6ab2=3ab(a+2b).
故答案为:
3ab(a+2b).
点评:
此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是掌握找公因式的方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
例3(2012•广元)分解因式:
3m3-18m2n+27mn2=.
思路分析:
先提取公因式3m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
解:
3m3-18m2n+27mn2=3m(m2-6mn+9n2)=3m(m-3n)2.
故答案为:
3m(m-3n)2.
点评:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
对应训练
2.(2012•温州)把a2-4a多项式分解因式,结果正确的是( )
A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a-2)2-4
答案:
A.
3.(2012•恩施州)a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为( )
A.a2b(a2-6a+9)B.a2b(a-3)(a+3)C.b(a2-3)2D.a2b(a-3)2
答案:
D
考点三:
因式分解的应用
例48.(2012•随州)设a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0,且1-ab2≠0,则(
)5=.
考点:
因式分解的应用;分式的化简求值.
分析:
根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a,代入所求的分式化简求值.
解答:
解:
∵a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0,
∴(a2+2a-1)-(b4-2b2-1)=0,
化简之后得到:
(a+b2)(a-b2+2)=0,
若a-b2+2=0,即b2=a+2,则1-ab2=1-a(a+2)=1-a2-2a=0,与题设矛盾,所以a-b2+2≠0,
因此a+b2=0,即b2=-a,
∴(
)5
=(
)5
=-(
)5
=(
)5
=(-2)5
=-32.
故答案为-32.
点评:
本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式,解题关键是注意1-ab2≠0的运用.
对应训练
4.(2012•苏州)若a=2,a+b=3,则a2+ab=.
答案:
6
【聚焦山东中考】
1.(2012•济宁)下列式子变形是因式分解的是( )
A.x2-5x+6=x(x-5)+6B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
答案:
B.
2.(2012•临沂)分解因式:
a-6ab+9ab2=.
答案:
a(1-3b)2.
3.(2012•潍坊)分解因式:
x3-4x2-12x=.
考点:
因式分解-十字相乘法等;因式分解-提公因式法.
分析:
首先提取公因式x,然后利用十字相乘法求解即可求得答案,注意分解要彻底.
解答:
解:
x3-4x2-12x
=x(x2-4x-12)
=x(x+2)(x-6).
故答案为:
x(x+2)(x-6).
点评:
此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识.此题比较简单,注意因式分解的步骤:
先提公因式,再利用其它方法分解,注意分解要彻底.
4.(2012•威海)分解因式:
3x2y+12xy2+12y3=.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
分析:
先提取公因式3y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
解答:
解:
3x2y+12xy2+12y3,
=3y(x2+4xy+4y2),
=3y(x+2y)2.
故答案为:
3y(x+2y)2.
点评:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2012•无锡)分解因式(x-1)2-2(x-1)+1的结果是( )
A.(x-1)(x-2)B.x2C.(x+1)2D.(x-2)2
答案:
D
2.(2012•呼和浩特)下列各因式分解正确的是( )
A.-x2+(-2)2=(x-2)(x+2)B.x2+2x-1=(x-1)2
C.4x2-4x+1=(2x-1)2D.x2-4x=x(x+2)(x-2)
答案:
C
3.(2012•台湾)下列四个选项中,哪一个为多项式8x2-10x+2的因式?
( )
A.2x-2B.2x+2C.4x+1D.4x+2
答案:
A
4.(2012•西宁)下列分解因式正确的是( )
A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)
C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2
考点:
因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法.
专题:
计算题.
分析:
根据因式分解的定义,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解,并根据提取公因式法,利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解.
解答:
解:
A、3x2-6x=3x(x-2),故本选项错误;
B、-a2+b2=(b+a)(b-a),故本选项正确;
C、4x2-y2=(2x+y)(2x-y),故本选项错误;
D、4x2-2xy+y2不能分解因式,故本选项错误.
故选B.
点评:
本题主要考查了因式分解的定义,熟记常用的提公因式法,运用公式法分解因式的方法是解题的关键.
5.(2012•温州)把a2-4a多项式分解因式,结果正确的是( )
A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a-2)2-4
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
直接提取公因式a即可.
解答:
解:
a2-4a=a(a-4),
故选:
A.
点评:
此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是掌握找公因式的方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
二、填空题
6.(2012•湘潭)因式分解:
m2-mn=.
答案:
m(m-n)
7.(2012•桂林)分解因式:
4x2-2x=.
答案:
2x(2x-1)
8.(2012•沈阳)分解因式:
m2-6m+9=.
答案:
(x-3)2.
9.(2012•黔西南州)分解因式:
a4-16a2=.
答案:
a2(a+4)(a-4).
10.(2012•北海)因式分解:
-m2+n2=.
答案:
(n+m)(n-m)
11.(2012•北京)分解因式:
mn2+6mn+9m=.
答案:
m(n+3)2.
12.(2012•益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:
.
答案:
解:
答案不唯一,如x2-3=x2-(
)2=(x+
)(x-
).
故可填x2-3.
13.(2012•宜宾)分解因式:
3m2-6mn+3n2=.
答案:
3(m-n)2
14.(2012•绥化)分解因式:
a3b-2a2b2+ab3=.
答案:
ab(a-b)2.
15.(2012•宜宾)已知P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,当x≠0时,3P-2Q=7恒成立,则y的值为.
解:
∵P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,
∴3P-2Q=3(3xy-8x+1)-2(x-2xy-2)=7恒成立,
∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7,
13xy-26x=0,
13x(y-2)=0,
∵x≠0,
∴y-2=0,
∴y=2;
故答案为:
2.
16.(2012•广东)分解因式:
2x2-10x=.
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
首先确定公因式是2x,然后提公因式即可.
解答:
解:
原式=2x(x-5).
故答案是:
2x(x-5).
点评:
本题考查了提公因式法,正确确定公因式是关键.
17.(2012•黄石)分解因式:
x2+x-2=.
考点:
因式分解-十字相乘法等.
专题:
探究型.
分析:
因为(-1)×2=-2,2-1=1,所以利用十字相乘法分解因式即可.
解答:
解:
∵(-1)×2=-2,2-1=1,
∴x2+x-2=(x-1)(x+2).
故答案为:
(x-1)(x+2).
点评:
本题考查的是十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.
18.(2012•黑河)因式分解:
27x2-3y2=.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
分析:
首先提公因式3,然后利用平方差公式分解.
解答:
解:
原式=3(9x2-y2)=3(3x+y)(3x-y).
故答案是:
3(3x+y)(3x-y).
点评:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止
19.(2012•六盘水)分解因式:
2x2+4x+2=.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
分析:
先提取公因式2,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2.
解答:
解:
2x2+4x+2=2(x2+2x+1)=2(x+1)2.
故答案为:
2(x+1)2.
点评:
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底.
20.(2012•南充)分解因式:
x2-4x-12=.
考点:
因式分解-十字相乘法等.
专题:
计算题.
分析:
因为-6×2=-12,-6+2=-4,所以利用十字相乘法分解因式即可.
解答:
解:
x2-4x-12=(x-6)(x+2).
故答案为(x-6)(x+2).
点评:
本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.
21.(2012•哈尔滨)把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
分析:
先提取公因式a,再利用完全平方公式进行二次分解因式
解答:
解:
a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2.
故答案为:
a(a-1)2.
点评:
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,难点在于需要进行二次分解因式.
22.(2012•广州)分解因式:
a3-8a=.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
专题:
常规题型.
分析:
先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解答:
解:
a3-8a=a(a2-8)=a(a+2
)(a-2
).
故答案为:
a(a+2
)(a-2
).
点评:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
23.(2012•广西)分解因式:
2xy-4x2=.
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
利用提取公因式法分解即可,公因式的确定方法是:
公因式的系数是各项的系数的最大公约数,字母是各项中共同含有的字母,并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数.
解答:
解:
原式=2x(y-2x).
故答案是:
2x(y-2x).
点评:
本题考查了利用提公因式法分解因式,正确确定公因式是关键.
24.(2012•大庆)分解因式:
ab-ac+bc-b2=.
考点:
因式分解-分组分解法.
分析:
首先把前两项分成一组,后两项分成一组,每一组可以提公因式,然后再利用提公因式法即可.
解答:
解:
ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)=(b-c)(a-b)
故答案是:
(b-c)(a-b).
点评:
本题考查了分组分解法分解因式,此题因式分解方法灵活,注意认真观察各项之间的联系.
三、解答题
25.(2012•扬州)
(1)计算:
-(-1)2+(-2012)0
(2)因式分解:
m3n-9mn.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用;实数的运算;零指数幂.
专题:
常规题型.
分析:
(1)根据算术平方根的定义,乘方的定义,以及任何非0数的0次幂等于1解答;
(2)先提取公因式mn,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解答:
解:
(1)
-(-1)2+(-2012)0=3-1+1=3;
(2)m3n-9mn=mn(m2-9)=mn(m+3)(m-3)
点评:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
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