高一数学函数的奇偶性及相关简单应用.docx
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高一数学函数的奇偶性及相关简单应用
【“函数的奇偶性”重点难点解读】
一、函数的奇偶性
1.偶函数:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.奇函数:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
3.对函数奇偶性定义的理解:
(1)奇函数的定义等价于f(-x)+f(x)=0.
偶函数的定义等价于f(x)-f(-x)=0.
(2)定义中的x具有任意性,函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的,而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质",而函数的奇偶性则属于“整体性质”。
(3)x具有对称性.因为函数y=f(x)的奇偶性考查的是f(-x)与f(x)的关系,所以f(-x)与f(x)都应有意义,即x与-x都应在函数的定义域内,所以定义域在数轴上必定都关于原点对称.否则,这个函数一定不具有奇偶性.例如函数y=x^2,在R上是偶函数,但在区间[一1,2]上既不是奇函数,也不是偶函数。
(4)由此可知,要判断函数的奇偶性,第一步必须先求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点O对称。
如果定义域不关于原点O对称,那么它就是“非奇非偶函数”了。
如果定义域关于原点O对称,那再进一步用定义来判断它的奇偶性。
二、奇函数与偶函数图象的性质
(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点O为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数。
(2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.
三、函数的奇偶性的简单应用
1.判断函数的奇偶性
5.求函数的最大最小值
6.利用奇偶性和单调性研究函数的图象
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