高数第七章题库微分方程 2doc.docx
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高数第七章题库微分方程2doc
第十二章微分方程答案
一、
选择题
1.下列不是全微分方程的是
C
1
A.(x2
y)dx(x2y)dy0
B.(y3x2)dx(4yx)dy0
C.3(2x3
3xy2)dx
2(2x2y
y2)dy
0
D.2x(yex2
1)dx
ex2
dy
0
2.若y3是二阶非齐次线性方程
(1):
y
P(x)y
Q(x)
f(x)的一个特解,y1,y2是对应的
齐次线性方程
(2)的两个线性无关的特解,
那么下列说法错误的是(
c1,c2,c3为任意常数)C
2
A.c1y1
c2y2是
(2)的通解
B.c1y1
y3是
(1)的解
C.
c1y1
c2y2
c3y3是
(1)的通解
D.
y2
y3是
(1)的解
3.下列是方程
xdx
ydy
x2
y2dx的积分因子的是
D
2
A.x2
y2
B.
1
y2
C.
x2
y2
D.
1
y2
x2
x2
4.方程
d3y
x
d2y
2x
1的通解应包含得独立常数的个数为
(
B).
1
dx3
e
dx2
e
(A)2
(B)3
(C)4
(D)0
5.已知方程
y'
p(x)y
0的一个特解
y
cos2x,则该方程满足初始特解
y(0)2的特
解为(C).
2
(A)
y
cos2x
2
(B)y
cos2x
1
(C)
y
2cos2x
(D)
y
2cosx
6.方程
d3y
x
d
2y
2x
1的通解应包含得独立常数的个数为
(
B).
1
dx3
e
dx2
e
(A)2
(B)3
(C)4
(D)0
7.设线性无关的函数y1,y2,y3都是微分方程
y''
p(x)y'
q(x)y
f(x)的解,则该方程
的通解为
(D).
2
(A)
y
c1y1
c2y2
y3
(B)
y
c1y1
c2y2
(c1
c2)y3
(C)
y
c1y1
c2y2
(1
c1
c2)y3
(D)
y
c1y1
c2y2
(1
c1
c2)y3
8.设方程y''
2y'
3y
f(x)有特解y*,则其通解为(
B).
1
(A)
c1ex
c2e3x
(B)
c1ex
c2e3x
y*
(C)
c1xex
c2xe3x
y*
(D)c1ex
c2e3x
y*
9.微分方程y'
ycotx
0
的通解为(A).
1
(A)
y
csinx
(B)
y
c
(C)
yccosx
(D)
c
sinx
y
cosx
10.
方程y
cosx的通解为(
C
)
1
(A)
y
sinx
c1x
c2
(B)
y
sinx
c1x
c2
(C)
y
cosx
c1x
c2
(D)
y
cosx
c1x
c2
11.
y
ex
的通解为(
C
)
1
x
e
x
(A)
e
(B)
x
c
1x
c
2
x
1x
c
2
(C)
e
(D)
e
c
y
2
y
y
3
xy
4
0
12.
微分方程
B
)
1
的阶是(
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
13.
下列微分方程中,属于可分离变量方程的是
(
C
)
1
(A)
xsinxydx
ydy
0
(B)
y
lnx
y
dy
xsiny
y
1y
ex
y
2
(C)
dx
(D)
x
14.方程
y
2y0的通解是(
C
)
1
A.y
sin2x;
B.y
4e2x;
C.y
ce2x;
D.yex
c。
15.
下列函数中的(
D
)是微分方程式
y
7y
12y
0的解。
1
A.yx3;
B.yx2;
C.ye2x;
D.ye3x。
16.
以ex和exsinx为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是(
D
)
2
(A)y2yy0
(B)y2y2y4
(C)y
y
0
(D)无这样的方程。
17.
y
2y
y
x2
1
*
可设为(C
)
2
的特解y
(A)
y*
exAx2
Bx
C
(B)
y*
Ax3
Bx2
Cx
D
(C)
y*Ax2
BxC
(D)
y*xexAx2
BxC
y
t
cos2t
sin2t的一个特解,则该方程的通解是(
18.
若
4
是方程y
4y
A
)
y
c1sin2t
c2cos2t
tcos2t
y
c1sin2t
tcos2t
(A)
4
(B)
4
(C)
y
c1
c2t
e
2t
tcos2t
(D)
y
c1e
2t
c2e
2ttcos2t
4
4
19.
下列各微分方程中是一阶线性方程的是(
B
)
1
(A)xy
y2
x
(B)y
xy
sinx
(C)yy
x
(D)y2
xy0
20.
方程y
2y
5y
sin2x的特解可设为(
D
)
2
(A)y
xasin2x
(B)y
asin2x
(C)y
xasin2x
bcos2x
(D)y
asin2x
bcos2x
二、
填空题
1、以y
c1
c2t
c3t2
et
(c1,c2,c3为任意常数)为通解的常微分方程是
d3y
3d2y
3dy
y0
2
dt3
dt2
dt
2、若1,x2,x4
是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解,那么该方程的通解是
c1(x2
1)c2(x4
1)
1(c1,c2为任意常数)
1
3.微分方程dy
y2cosxdx的通解:
y
1
1
sinx
c
4.
微分方程xdy
ydx
y2eydy的通解是:
x
y(c
ey)
1
5.
微分方程ydx+(y-x)dy=0的通解是:
x
lny
c
2
y
6.以y
cos2x
sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是
y''
4y
0。
2
dy
f
y
y
u,y
7.解形如dx
x
x
u
xu
的微分方程,求解时可作的变量代换
1
8.微分方程y
4y3y
0
的通解y=
1
x
2
3x
Ce
Ce
1
9.微分方程y"+2yˊ+2y=0的通解是
yex
C1cosx
C2sinx
。
1
10、微分方程y
10y
34y
0的通解是
y
e5x
(c1cos3x
c2sin3x)
1
三、
计算题
1.解方程(x
1)
dy
ny
ex(x
1)n
1,这里n为常数。
2
dx
解:
将方程改写为dy
n
y
ex(x
1)n。
dx
x
1
首先求齐次方程
dy
x
n
y0的通解为y
c(x
1)n
dx
1
再设y
c(x)(x
1)n,于是dy
dc(x)(x
1)n
n(x
1)n1c(x),带入原方程,得
dc(x)
dx
dx
ex,即c(x)
ex
C,C为任意常数。
dx
于是原方程通解为
y
(ex
C)(x
1)n。
5#
d3x
x
0
2
2.解方程
dt3
解:
特征方程为
3
1
0,它的根为
1,1
3i。
2
2
于是原方程解为
c1et
1t
3
3
z
e2(c2cos
t
c3sin
t)。
c1,c2,c3为任意常数
4#
2
2
3.解方程dy
y
tgy
2
dx
x
x
解:
作变量代换
y
dy
du
x
du
u
tgu。
即
x
u
dx
x
u,则原方程变为
u
dx
dx
du
dx,解得sinu
ecx,此外还有解
tgu
0,即sinu
0。
于是方程通解为
tgu
x
sinucx,这里c为任意常数。
代回原来变量,得原方程通解
siny
cx
5#
x
dy
y
2
4.解方程
2x
y2
dx
解:
将原方程改写为
dx
2xy2
2xy。
dy
,即dx
y
dy
y
先求出齐次方程
dx
2x的通解为x
cy2。
dy
y
再设x
c(y)y2
,dx
dc(y)
y2
2c(y)y,代入原方程得
dc(y)
1
dy
dy
dy
y
解得c(y)
lny
C
,C为任意常数。
所以原方程通解为
x
y2(C
lny)
5#
5.解方程:
xdy
2
xy
y(x0)
2
dx
解:
将方程改写为dy
2
y
y(x0),作代换y
u,dy
xdu
u,则原方程
dx
x
x
x
dx
dx
变为
du
2
du
dx
。
x
u。
即
u
x
dx
2
于是得此方程通解为
u
ln(
x)
c,即u
[ln(
x)
c]2,(ln(x)c
0)
,这里c为任意常数。
此外方程还有解
u
0。
代回原来的变量,得原方程通解
y
x[ln(
x)c]2(ln(
x)
c
0)与y0
5#
6.解方程d4x
2d2x
x
0
2
dt4
dt2
解:
特征方程为(2
1)2
0,有两个二重根i
,原方程的四个实值解分别是
cost,tcost,sint,tsint。
故通解为
x(c1c2t)cost(c3c4t)sint,c1,c2,c3,c4为任意常数
4#
7.设二阶可微函数
y满足方程y6y
4e4x,y(0)=
1
'(0)1,求y
3
y
2
解:
由题知对应齐次方程的特征方程为
r
2
6
0
r
解得r1
0,r2
6
于是对应齐次方程的通解为
y
c1
c2e
6x
设非齐次方程的特解为:
Y*
ke4x
把它代入所给方程,得
k
1
2
14x
所以:
Y
*
e
2
1
y
c1
6x
4x
故已知方程的通解为
c2e
2
e
1
1
又f'(0)
1
故c1
c2
,f(0)=
2
1(1
2
即:
y
e6x
e4x)
7#
2
8.
求微分方程y''
4y'
3y
2e
x的通解
3
解:
由题知对应齐次方程的特征方程为
r
2
4
3
0
r
解得r1
1
,r2
3
于是对应齐次方程的通解为
y
c1e
x
c2e3x
因
1
Y*
axex
是特征根,故设非齐次方程的特解为:
把它代入所给方程,得
a1
所以:
Y*
xex
故已知方程的通解为
y
c1ex
c2e3x
xex
7#
9.
求微分方程y''
2y'
y
xex的通解
3
解:
由题知对应齐次方程的特征方程为
r2
2r
1
0,解得r1r21。
于是对应齐次方程的通解为yc1exc2xex
因1是重特征根,故设非齐次方程的特解为:
Y*
(ax
b)x2ex
把它代入所给方程,得
a
1
所以:
Y
*
1
3
e
x
,b=0
6
x
6
故已知方程的通解为
yc1e
x
x
1
3
e
x
7#
c2xe
6
x
10.求微分方程
y''
3y
3xex的通解。
3
解:
与所给方程对应的齐次方程为
y''
3y
0,
它的特征方程为
r2
30
,解的它的特征根为
r1
3i,r23i.
由于这里1
不是特征方程的根,所以应设特解为
y*(b0xb1)ex
.
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