高考全国1卷理科数学试题及答案解析精校解析版.docx
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高考全国1卷理科数学试题及答案解析精校解析版.docx
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高考全国1卷理科数学试题及答案解析精校解析版
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)
理科数学
注意事项:
1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.
2、选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.
3、填空题和解答题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、选考题的作答:
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题
卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1.设集合Axx24x30,x2x30,则AB
(A)
3,3
(B)3,3
(C)1,3
(D)3,3
2
2
2
2
设
i)x1
yi
,其中x,y是实数,则
x
yi
2.(1
(A)1
(B)2
(C)3
(D)2
3.已知等差数列
an
前9项的和为
27,a10
8,则a100
(A)100(B)99(C)98(D)97
4.某公司的班车在7:
00,8:
00,8:
30发车,小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车,且到达
发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A)
1
(B)
1
(C)
2
(D)
3
3
2
3
4
x2
y2
1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为
4,则n的取值范围是
5.已知方程
n3m2
m2
n
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(A)1,3(B)1,3(C)0,3(D)0,3
6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直
的半径.若该几何体的体积是
28
则它的表面积是
3
(A)17
(B)18
(C)20
(D)28
7.函数y
2x2
ex在
2,2的图像大致为
y
y
(A)
1
(B)
1
2
O
2x
2
O
2x
y
y
1
1
(C)2
O
2x(D)2
O
2x
8.若ab
10,
c1,则
(A)ac
bc
(B)abc
bac
(C)alogbc
blogac(D)logac
9.执行右面的程序框图,如果输入的x0,y
1,n
1,则输出x,y的值满足
(A)y2x
(B)y
3x(C)y
4x(D)y5x
10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交
C于A、B两点,交C的准线
于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距
离为
n=n+1
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
11.平面
过正方体
ABCD-A1B1C1D1的顶点A,
//平面CB1D1,
I平面ABCD=m,I平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦
值为
3
2
3
1
(A)
(B)
(C)
(D)
2
2
3
3
logbc
开始
输入x,y,n
n-1
x=x+2,y=ny
x2+y2≥36?
否
是
输出x,y
结束
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12.已知函数f(x)sin(
x+
)(
0,
),x
为f(x)的零点,x
为y
f(x)图像
2
4
4
的对称轴,且
f(x)在
5
单调,则
的最大值为
18
,
36
(A)11
(B)9
(C)7
(D)5
二、填空题:
本大题共
3小题,每小题
5分
13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
.
14.(2xx)5的展开式中,x3的系数是
.(用数字填写答案)
15.设等比数列
an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2⋯an的最大值为
.
16.某高科技企业生产产品
A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品
A需要甲材料1.5kg,
乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品
B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产
一件产品A的利润为
2100元,生产一件产品
B的利润为900元.该企业现有甲材料
150kg,乙材
料90kg,则在不超过
600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分为12分)
ABC的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
bc
2cosC(acosB+bcosA)c.
,,,已知
(I)求C;
(II)若c7,ABC的面积为33,求ABC的周长.
2
18.(本小题满分为12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方
形,AF=2FD,AFD90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.
(I)证明:
平面ABEF平面EFDC;
DC
(II)求二面角E-BC-A的余弦值.
F
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19.(本小题满分
12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰
.机器有一易损零
件,在购进机器时
可以额外购买这种零件作为备件
每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购
买,则每个500元
.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件
为此搜集并整理了100台这种
机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
频数
40
20
0891011更换的易损零件数
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2
台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(I)求X的分布列;
(II)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n19与n20之中选其一,应选用哪
个?
20.(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重
合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q
两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
21.(本小题满分12
分)已知函数f
x
x2ex
2
有两个零点.
ax1
(I)
求
a
的取值范围;
(II)
设
1
2是
f
x的两个零点,证明:
x1
x22.
x,x
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请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,1OA为半径作圆.
2
(I)证明:
直线AB与⊙O相切;
(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:
AB∥CD.
DC
O
AB
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为
x
acost
(t为参数,a>0).
y
1asint
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C2:
ρ=4cos.
(I)说明C1是哪一种曲线,并将
C1的方程化为极坐标方程;
(II)直线C3的极坐标方程为
0,其中
0满足tan
0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3
上,求a.
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数fxx12x3.
(I)画出yfx的图像;
(II)求不等式fx1的解集.
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2016年高考全国
1卷理科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案D
B
C
B
A
A
D
C
C
B
A
B
1.Axx2
4x30
x1x3,B
x2x30
xx
3.
2
故A
B
x3
x
3
.
2
故选D.
2.由
1i
x
1
yi可知:
x
xi
1
yi,故
x
1,解得:
x
1.
x
y
y
1
所以,x
yi
x2
y2
2.
故选B.
3.由等差数列性质可知:
S9
9a1
a99
2a5
9a527
,故a5
3,
2
2
而a10
8
,因此公差d
a10
a5
1
10
5
∴a100
a10
90d
98.
故选C.
4.如图所示,画出时间轴:
7:
30
7:
40
7:
50
8:
00
8:
10
8:
20
8:
30
A
C
D
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
AB中,而当他的到达时间落在线段
AC或DB时,才
能保证他等车的时间不超过
10分钟
根据几何概型,所求概率P
1010
1.
40
2
故选B.
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5.
x2
y2
1表示双曲线,则m2
n3m2
n0
m2
n3m2
n
∴m2n3m2
由双曲线性质知:
c2m2n3m2n4m2,其中c是半焦距
∴焦距2c22m4,解得m1
∴1n3
故选A.
6.原立体图如图所示:
是一个球被切掉左上角的
1后的三视图
8
表面积是
7的球面面积和三个扇形面积之和
8
S=7
4
22+3
1
22=17
8
4
故选A.
7.f2
8
e
2
8
2
2.80,排除A
f
2
8
e2
8
2.72
1,排除B
x0时,fx
2x2
exfx
4xex,当x
0,1时,fx
1
4e0
0
4
4
因此f
x
在0,
1
单调递减,排除
C
4
故选D.
8.对A:
由于
0
c
1
,∴函数yxc在R上单调递增,因此ab1
ac
bc,A错误
对B:
由于
1
c
1
0,∴函数yxc
1在1,
上单调递减,
∴ab1ac1
bc1
bac
abc,B错误
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对C:
要比较alogbc和blogac,只需比较alnc
和blnc,只需比较
lnc和
lnc,只需blnb
lnb
lna
blnb
alna
和alna
构造函数f
x
xlnxx
1,则f'x
lnx1
10,f
x在1,
上单调递增,
因此fa
fb
0
alnablnb0
1
1
alna
blnb
又由0
c1得lnc
0,∴lnc
alna
对D:
要比较logac和logbc,只需比较
lnc
blogacalogbc,C正确
blnb
lnc和lnc
lnalnb
而函数y
lnx在1,
上单调递增,故a
b1
lna
1
1
lnb0
lnb
lna
又由0
c
1
得lnc
0,∴lnc
lnc
logac
logbc,D错误
lna
lnb
故选C.
9.如下表:
循环节运
n
1
判断
是否
xx
ny
nn
n
1
x
yy
行次数
2
2
2
36
输出
x
y
运行前
0
1
/
/
1
第一次
0
1
否
否
2
第二次
1
2
否
否
3
2
第三次
3
6
是
是
2
输出x
3,y
6
,满足y
4x
2
故选C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理
设抛物线为y2
2px
p0
,设圆的方程为x2
y2
r2,
题目条件翻译如图:
设Ax0,22,D
p
,
5
2
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点Ax0,2
2
在抛物线y2
2px上,∴8
2px0⋯⋯①
p
p
2
5
在圆x
2
2
2
r
2
⋯⋯②
点D
y
r上,∴5
2
2
点Ax0,2
2
2
2
2
2
8r
2
在圆x
y
r
上,∴x0
⋯⋯③
联立①②③解得:
p
4,焦点到准线的距离为
p
4.
故选B.
D
C
α
B
A
11.
如图所示:
∵∥平面CB1D1,∴若设平面CB1D1平面ABCDm1,
C1
D1
则m1∥m
A1
B1
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C
平面A1B1C1D1
B1D1
∴B1D1∥m1,故B1D1∥m
同理可得:
CD1∥n
故m、n的所成角的大小与
B1D1、CD1所成角的大小相等,即
CD1B1的大小.
而B1C
B1D1
CD1(均为面对交线),因此
CD1B1
,即sin
CD1B1
3.
3
2
故选A.
12.由题意知:
π+
k1π
4
π+
k2π+π
4
2
则
2k
1,其中kZ
f(x)在
π,5π单调,
5
18
πT,
12
18
36
36
12
2
接下来用排除法
若
11,
π
sin11x
π
π3π
3π5π
递减,不满
,此时f(x)
,f(x)在
递增,在
36
4
4
18
44
44
足f(x)在
π5π
单调
18
36
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若
π
si
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