傅里叶变换0309094542.docx
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傅里叶变换0309094542
第三章傅里叶变换
•周期信号的傅里叶级数
(计士f三角形式:
单边频谱
形式V
[指数形式:
双边频谱(频谱:
离散性、谐波性、收敛性
/定义及傅里叶变换存在的条件
典型非周期信号的频谱
冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换
[性质T应用:
调制和解调T频分复用
周期信号的傅里叶变换:
由一些冲激函
抽样信号的傅里叶变换T抽样定理T应
知识要点
1、周期信号的傅里叶级数
可展开为傅里叶级数。
任一满足狄利克雷条件的周期信号f(t)(t为其周期)
(1)三角函数形式的傅里叶级数
f(t)ao[ancos(nit)bnsin(nit)]
n1
2
式中1,n为正整数。
1toT1
直流分量a0f(t)dt
T1to
一、2toT1
余弦分量的幅度a0f(t)cos(n1t)dt
T1to
一、2toT1
正弦分量的幅度bnf(t)sin(n1t)dt
T1
n1
以上几种表示形式中各个量之间的关系为
tan
bn
tann
bn
(n1,2j||)an,Cn,dn为n1的偶函数,bn,n,n为ni的奇函数。
(2)指数形式的傅里叶级数
f(t)F(ni)ejnit
n
式中,n为从到的整数。
toT1|
复数频谱FnF(nJ—f(t)ejn1tdt
T1to
Fn与其他系数之间的关系为
Fo
Codo
ao
Fn
Fn
Fn
Fn
Fn
Cjn
Fn
Fn
Fn
1
2Cn
1
2(anjbn)
1
尹jbn)
£dn],a;b;
22
bnj®Fn)
Fn是ni的偶函数。
(3)函数的时域对称性与傅里叶系数的关系
1实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项。
2实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项,只可能包含正弦项。
3
余弦项,而不包含偶次谐
实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和几次谐波的正弦、波项。
2•傅里叶变换
傅里叶变换定义为
正变换F()f[f(t)]f(t)ejtdt
逆变换F(t)f1[f()]1f()ejtd
频谱密度函数F()—般是复函数,可以写作
F()F()ej(}
3•傅里叶变换的基本性质
(1)对称性
若F()f[f(t)],则f[F(t)]
(2)线性性
(3)奇偶虚实性
(4)尺度变换特性
若f[f(t)]F(),则f[f(at)]
1F(—)式中a为非零实常数。
aa
(5)时移特性
若f[f(t)]F(),则f[f(tto)]F()e
(6)频移特性
若f[f(t)]F(),则f[f(t)ejt0]F(o)
(7)时域微分特性
若f[f(t)]F(),则f[輕](j)F()dt
口卅](j)nF()
dt
(8)频域微分特性
若f[f(t)]F(),则f1^^](jt)f(t)
d
1dnF()n
f[」(jt)f(t)
d
(9)时域积分特性
tf()
若f[f(t)]F(),则f[f()d]F(0)()
j
(10)时域卷积定理
若f[fl(t)]Fi(),f[f2(t)]F2(),则f[fl(t)*f2(t)]Fi()F2()
(11)频域卷积定理
1
若f[f1(t)]F1(),f[f2(t)]F2(),则f[f1(t)?
f2(t)]〒F1()F2()
4•周期信号的傅里叶变换
周期信号f(t)的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频
(0,1,21,川)处,每个冲激的强度等于f(t)的傅里叶级数的相应系数Fn的2倍。
即
f[f(t)]2Fn(n1)
n
1
的值乘以一。
利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。
5•冲激抽样信号的频谱
其中Ts为抽样周期,
f()为被抽样信号f(t)的频谱。
上式表明,信号在时域被冲激序列
抽样后,它的频谱Fs()是连续信号频谱f()一抽样频谱s为周期等幅地重复。
6.抽样定理
(1)时域抽样定理
一个频谱受限的信号f(t),如果频谱只占据m~m的范围,贝y信号f(t)可以用等间隔
率为2fm,
(2)频域抽样定理
一1
若信号f(t)是时间受限信号,它集中在tm~tm的时间范围内,若在频域中以不大于——
2tm
Fi()可以唯一地表示原信号。
的频率间隔对f(t)的频谱F()进行抽样,则抽样后的频谱
基本要求
通过本章的学习,学生应掌握周期信号的频谱分析方法一一傅里叶级数法和非周期信号的频
域分析法一一傅里叶变化方法。
理解非周期信号频谱密度函数的概念,周期信号与非周期信
号的品牌的特点与抽样定理。
能利用傅里叶变换的定义和性质信号的频谱并绘制频谱图。
重
点掌握典型信号的傅里叶变换,并能灵活运用傅里叶变换的性质对信号进行正反变换。
例题目录
•例题1:
傅里叶级数――频谱图
例题2
傅里叶变换的性质
例题3
傅里叶变换的定义
例题4
傅里叶变换的性质
例题5
傅里叶变换的性质
例题6
傅里叶变换的性质
•例题7:
傅里叶变换的性质、频响特性
-例题&傅里叶变换的性质
-例题9:
抽样定理
-例题10:
周期信号的傅里叶变换
例3-1
周期信号
2cos8t
n
ft3costsin5t
6
双边幅度谱和相位谱
t3cost
cos5t
n
6
n2n
2cos8t
23
1
n
3cost
cos5t
—n
2cos8t
3
3
1•画出单边幅度谱和相位谱;
2•画出双边幅度谱和相位谱。
解答
7t
例3-2
求信号f(t)的傅里叶变换F
解答
分析:
f(t)不满足绝对可积条件,所以无法用定义求其傅里叶变换,只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解。
下面用三种方法求解此题。
方法
方法
方法三:
线性性质方法一:
利用傅里叶变换的微分性质要注意直流,设fA(t)为交流分量,fD(t)为直流分量,则
利用傅里叶变换的微分性质
利用傅里叶变换的积分性质
fAt
Fa3Fd
J
1/2
fAt
O
/化1
t
其中
fDt
f-
1
fAt
2
Fd33n33
1
ftfAt
O
1
t
3
1
因为
fAt
t
G1
所以
Fa
Fa3
Fd
Fa3
Sa
3
e
2
j
Sa3ej3
2
Sa
方法二:
利用傅里叶变换的积分性质
fl(t)
fl(t)为f2(t)的积分
F23
3
Sa-
2
所以
F1
Sa
Sa
F1
3j3
e
2
j3
Sa3ej3
方法三:
利用线性性质进行分解
此信号也可以利用线性性质进行分解,例如
所以
例3-3
F(j3),不必求出
解答
F(j3)的表达式,试计算下列值:
j3tdt
所以
tdt1.5
令t=0,
例3-4
已知F13
求F23
Ff1
Ff162t。
t,利用傅里叶变换的性质,
解答
方法一
按反褶-尺度-时移次序求解
F13Ff1t
已知
Ff1t
对t反褶
对t压缩2倍
Ff12t
Fi
对t时移6,得
2
方法二:
已知
Ff162t
iFi
j33e
对t反褶
对t时移6,得
对t压缩2倍
方法三
利用傅里叶变换的性质
Fi3Ffit
Ff1tF13
Ff16t
Fi
j6w
3e
Ff162t
^Fi
3j33
e
2
2
Ffatt0
If
a
这里a-2,t06代入上式,得
1Ffi62tFi
2其它方法自己练习。
例3-5
已知升余弦信号ft
en
cos一
2T
0t,利用频移性质求其频谱密度函数,并与矩形
脉冲信号fi(t)Eut
-的频谱比较。
T
2
2
升余弦脉冲的频谱
T
例3-6
已知双Sa信号
ft—cSagtSa3ct2t
n
试求其频谱。
解答
'f0t竺Sagt
n
因fot为sa波形,其频谱Fog为矩形。
fot和ft的波形如图a,b所示。
因此ft的频谱等于
FfotFfot2t
1ej2t(ggc)
o(ggc)
从中可以得到幅度谱为
2sint
Fg
o
在实际中往往取
n,此时上式变成
2sin
3c
(ssc)
(d)
(e)
频谱图(b)
例3-7
求图(a)所示函数的傅里叶变换。
解答
引入辅助信号fit,如图(b)。
由对策关系求F,(w)
F1(s)G2n(s)
又因为
f(t)锂1)
得
F(s)Fi(s)ejsG2n(s)ejs
由对称关系求F1
flt
t
t
Fit_
1t”2nf1
w7
aF1tyF1w
tw
w
ttw
已知G
(t)
Sa
2
所以由对称性,
2n
且由图(b可得)右⑴Sa(n)
2
nf[w
2冗SanwG2ntF1t
所以F"w)
G2x(w)
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图(c)(d)所示。
例3-8
已知信号
|F(WI林®)
求该信号的傅里叶变换。
解答
分析:
该信号是一个截断函数,我们既可以把该信号看成是周期信号1cost经过门函
数G2nt的截取,也可以看成是G2nt被信号1cost调制所得的信号。
有以下三种解法:
方法一:
利用频移性质
方法二:
利用频域卷积定理
方法三:
利用傅里叶变换的时域微积分特性方法一:
利用频移性质
利用频移性质:
由于
f(t)1costG2n(t)
利用欧拉公式,将1cost化为虚指数信号
f(t)就可以看成是门函数G2nt被虚指数信号调制的
Ff(t)
3
2sinn3
2~
331
根据频域卷积定理有
丄F1costFG2n
2
nS3
1
2nS3nS31
2n
2sinn3
3321
方法三:
利用傅里叶变换的时域微积分特性
信号f(t)是余弦函数的截断函数,而余弦函数的二次导数又是余弦函数。
利用傅里叶变换的时域微积分特性可以列方程求解。
由图可知,ft,ft,ft的波形为:
ftcostG2n(t)
ftG2n(t)
j32F
1o2F3
2sinneo
3
由于f(t)和f(t)均为能量信号,其傅里叶变换在3
0处都等于0,
根据时域积分特性,
F3中不可能含有33项,因此可将(132)项移到方程右边,即
2sinn3
F32
331
例3-9
求信号
f(t)Sa(100t)的频宽(只计正频部分),若对f(t)进行均匀激抽样,求奈奎斯特
频率fN和奈奎斯特周期Tn。
解答
(1)要求出信号的频宽,首先应求出信号的傅里叶变换已知
F(3)。
GttTSa-
2
令于
1003,则t=200
所以
G200t200Sa1003
G200t
200
Sa100o
利用傅里叶变换的对称性
Sa100t
2nG200
200
CD
CD
f(t)的波形和频谱图如下
4
"F3
100
100O
100
所以信号的频带宽度为
wm100rad/s
fm鱼5OHZ
2nn
最高抽样频率
(奈奎斯特频率)为
N2fm
奈奎斯特间隔
(即最大允许抽样间隔)为
Tn-
7C
s
100
例3-10
已知周期信号f(t)的波形如下图所示,求
f(t)的傅里叶变换F(w)。
解答
分析:
求信号的傅里叶变换一般有两种解法。
方法一:
将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积,用时域卷积定理来求解;方法二:
利用周期信号的傅里叶级数求解。
方法一将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积。
13
的信号构成单周期信号
2
截取f(t)在t
2
fi(t),即有
fi(t)
f(t)
1
2
t为其它值
则f1(t)G1(t)
易知f(t)的周期为2,
(t)
则有
(t
1)
丄Sa—1e
2
f(t)
f1(t)
T(t)
T(t)
2n
n
T
7C
由时域卷积定理可得
F
Ffi(t)
F
Tt
1Sa
1
ej
n
nn
2
4
n
.n
sin-
n
4
-1
jnne
nn
2n
nn
4
nn
sin
2
4
1
(1)n
nn
n
n
方法二:
利用周期信号的傅里叶级数求解
f(t)的傅里叶级数为
-f(t)ej
TT
Fn
1tdt
13
221G1(t)
222
G1(t1)ejnntdt
2
nn
sin
4(nn
1)n
所以
F
Fft
2n
n
Fnnn
sin
2
nn
41
(1)n
nn
n
n
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