江苏省高考数学真题含答案.docx
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江苏省高考数学真题含答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学I试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题一一第14题)、解答题(第15题一一第20题)。
本卷满分160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整,笔迹清楚。
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
参考公式:
锥体的体积公式:
V锥体=
1
Sh,其中S是锥体的底面积,h是咼。
3
一、填空题:
本大题共
置上
14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位
1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},AnB={3},则实数a=_▲_
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为
3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同
的概率是_▲__.
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率
分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有▲根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=▲
双曲线右焦点的距离是—▲
7、右图是一个算法的流程图,则输出S的值是▲
n-*-n+l
否
—*
s—i
n-1」
专输出百
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+i,k为正整数,ai=16,
贝Vai+a3+a5=▲
22
9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆xy4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1,则实数c的取值范围是▲
10、定义在区间0,于上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作
PP1丄x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为▲。
11、已知函数f(x)
f(2x)的x的范围是__▲
x1,x0,则满足不等式f(1x2)
1,x0
2
12、设实数x,y满足3 3 4<—w9,则弓的最大值是 yy ba 13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,6cosC,则 ab tanCtanC tanAtanB =▲。 (梯形的周长) 梯形的面积 2 -贝yS的最小值是 14、将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 、解答题: 本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤 15、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中,点A(—1,—2)、B(2,3)、C(—2-1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; ⑵设实数t满足(ABtOC)•OC=0,求t的值。 16、(本小题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD丄平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC,/BCD=90°。 (1)求证: PC丄BC; ⑵求点A到平面PBC的距离。 17、(本小题满分14分) 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位: m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m, 仰角/ABE=,/ADE=。 (1)该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位: m),使与之差较大,可以提高测量精确度。 若电视塔的 r*产* •rH 实际高度为125m,试问d为多少时,-最大? ? J”J J」 丄 口* 户 rQ* 18、(本小题满分16分) 22 在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆——1的左、右顶点为A、B,右焦点为 95 M(捲,%)、N(X2,y2),其中 F。 设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点 m>0,yi0,y20。 (1)设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹; (2)设x12,x21,求点T的坐标; 3 (3)设t9,求证: 直线MN必过x轴上的一定点(其坐 标与m无关)。 19、(本小题满分16分) 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2a1a3,数列.Sn是公差为d 的等差数列。 (1)求数列an的通项公式(用n,d表示); (2)设c为实数,对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式SmSncSk 9 都成立。 求证: c的最大值为9。 2 20、(本小题满分16分) 设f(x)是定义在区间(1,)上的函数,其导函数为f'(x)。 如果存在实数a和函数 2 h(x),其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0,使得f'(x)h(x)(xax1),则称函数f(x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x)lnx(x1),其中b为实数。 x1 (i)求证: 函数f(x)具有性质P(b);(ii)求函数f(x)的单调区间。 ⑵已知函数g(x)具有性质P (2)。 给定Xi,X2(1,)*X2,设m为实数, mxi(1m)x2, (1m)ximx2,且1,1, gg)I,求m的取值范围。 数学n(附加题) 21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。 若多做,则按作答的前两题评分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修4-1: 几何证明选讲 (本小题满分10分) AB是圆0的直径,D为圆0上一点,过D作圆0的切线交 AB延长线于点C,若DA=DC,求证: AB=2BC。 B.选修4-2: 矩阵与变换 (本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。 设k为非零实数,矩阵 k001 M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1, 0110 △A1B1C1的面积是厶ABC面积的2倍,求k的值。 C.选修4-4: 坐标系与参数方程 (本小题满分10分) 在极坐标系中,已知圆p=2cosB与直线3pcos0+4psin0+a=0相切,求实数a的值。 D.选修4-5: 不等式选讲 (本小题满分10分) [必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。 请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、(本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等 品率为90%,二等品率为10%。 生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。 设生产各种产品相互独立。 (1)记X(单位: 万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 23、(本小题满分10分) 已知△ABC的三边长都是有理数。 (1)求证cosA是有理数; (2)求证: 对任意正整数n,cosnA是有理数。 5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。 6、[解析]考查双曲线的定义。 MF d MF=4。 2010年答案 填空题 1、[解析]考查集合的运算推理。 3B,a+2=3,a=1 2、[解析]考查复数运算、模的性质。 z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等,z的模为 2。 3、[解析]考查古典概型知识。 4、[解析]考查频率分布直方图的知识。 100X(0.001+0.001+0.004)X5=30 g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=—1。 >42,d为点M到右准线x1的距离,d=2, 2 7、[解析]考查流程图理解。 12 22L243133,输出 25 S122L263。 8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: yak22ak(xaQ,当y0时,解得x专, 所以ak1鱼,a%a5164121。 2 9、[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2, 1,C的取值范围是(-13,13)。 P1P2的长即为sinx的值, 圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,也 13 10、[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。 线段 22 且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。 线段P1P2的长为一 33 2 11、[解析]考查分段函数的单调性。 1x2xx(1a/21) 1x20' 12、[解析]考查不等式的基本性质,等价转化思想。 x22111x3x221x3, ()[16,81],「[;订],4()2[2,27],的最大值是27。 yxy83yyxyy 13、[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。 一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B和边a、 b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意,此时有: cosC 12C1cosC tan- 321cosC 1C-2 tan 222 tanAtanB tanCtanA tanC=4。 tanB bb6cosC6abcosCa2b2 2.22 abc6ab 2ab b2,a2 b2 3c2 2 tanCtanCtanAtanB sinC cosC cosBsinA sinBcosA sinAsin sinCcosC sin(AB)1sinAsinBcosC sin2C sinAsinB 由正弦定理,得: 上式 1c2 cosCab 122 6(ab) 2 c 1 6 3c24 2 14、[解析]考查函数中的建模应用,等价转化思想。 一题多解。 (3x)2 设剪成的小正三角形的边长为x,则: S 1(x 1)于(1x) 4(3x)2s 4(0x 31x 1) (方法一)利用导数求函数最小值。 S(x) (3x)2 1x2 ,S(x) 4(2x 一厂 6)(1 x2)(3x)2 (1x2)2 (2x) 4 .3 (2x 6)(1 (1 2 x)(3 2 x)(2x) S(x) 0,0x1,x 1 当x(0,3]时,S(x) 3 故当 2(3x1)(x3) (1x 2)2 0,递减;当x[1,1)时, 3 S(x) 0,递增; x1时,S的最小值是込3。 33 (方法二)禾U用函数的方法求最小值。 令3xt,t 1114 (2,3),1(3,2),则: S.3 t2 t26t8 41 "TP 3,x1时,S的最小值是必。 833 满分 15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。 14分。 (1)(方法「 uuu 一)由题设知AB uuur (3,5),AC(1,1),则 uuu uur uuu uuur AB AC (2,6),AB AC (4,4). uuu uur uuu uur 所以 |AB AC|2.10,|AB AC|4..2. 故所求的两条对角线的长分别为 4.2、2.10。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则: 16、[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 满分14分。 (1)证明: 因为PD丄平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD丄BC。 由/BCD=90°,得CD丄BC,又PDIDC=D,PD、DC平面PCD, 所以BC丄平面PCD。 因为PC平面PCD,故PC丄BC。 (2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则: 易证DE//CB,DE//平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由 (1)知: BC丄平面PCD,所以平面PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。 易知DF=二2,故点A到平面PBC的距离等于、、2。 2 (方法二)体积法: 连结AC。 设点A到平面PBC的距离为ho 因为AB//DC,/BCD=90°,所以/ABC=90°。 从而AB=2,BC=1,得ABC的面积Sabc1o 11 由PD丄平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V_SABCPD—。 33 因为PD丄平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD丄DCo 又PD=DC=1,所以PC,PD2DC2 由PC丄BC,BC=1,得PBC的面积SPBC 1 ABC,—SvPBChV 3 故点A到平面PBC的距离等于、、2o 17、[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 故所求的d是55-、5m。 18、[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。 考 查运算求解能力和探究问题的能力。 满分16分。 2 J1联立方程组,同时考虑到 5 3,x23, 2 分别与椭圆— 9 (1)设点P(x,y),则: F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。 令y0,解得: x1。 此时必过点D(1,0);当X1X2时,直线MN方程为: x1,与x轴交点为D(1,0)。 所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。 此时直线MN 若X1 X2,则m 冲丄2403m X2,则由厂 80m 的方程为X1,过点 2、、10,直线MD 20m 20m2 ND2 3m60‘牙1 20m2 因此,直线MN必过X轴上的点(1, 直线ND的斜率k D(1,0)。 的斜率kMD 40 10m ~2 m 0)。 19、[解析]本小题主要考查等差数列的通项、 40m 80m2 2 2403m彳 1 80m2 10m 2, 40m2 得kMDkND,所以直线MN过D点。 求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、 (1) 由题意知: d0, S~,S;(n1)d(n1)d 2a2 a1 a3 3a2S3 3(S2S1) S3,3[(Wd)2 a』2 化简, 得: a 2®d d20八q d,a1d2 d (n 1)dnd,Snn2d2, 当n 2时 ,an SnSn 22 1nd(n 222 1)d(2n1)d, 适合 故所求an (2n 1)d2 (2) (方法 一) 2.2 2.2.2. 222.2 Sm Sn cSk md ndckd mnck, c 分析及论证的能力。 满分16分。 2m (,恳2d)2, n1情形。 22mn 2恒成立。 k2 又mn3k且mn,2(m2n2)(mn)29k2 99 故c,即c的最大值为。 22 (方法二)由..a1d及、...Sna(n1)d,得d 22 0,Snnd。 于是,对满足题设的m,n,k,mn,有 222 SmSn(mn)d (mn)d2 9d2k2 2 o sk 9 所以c的最大值cmax9。 2 9 另一方面,任取实数a。 设k为偶数, 2 22232 2)d2d2[(-k1)2 Ik 且Sn(m (3k 1)2] 3 1,nk1,则m,n,k符合条件, 2 122 -d2(9k24)。 2 已只要9k2 疋, 2ak2,即当 2 2a9 1 时,Sm&d22ak2aSk。 2 所以满足条件的 ,从而Cmax 2 9 因此c的最大值为9。 2 20、[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。 满分16分。 AK (1)(i)f'(x)x6 12 2(xbxx(x1)2 1) x1时,h(x)12 x(x1)2 0恒成立, •••函数f(x)具有性质P(b); (ii)(方法一)设(x)x2bx1 b2 (x2)21 b2 (x)与f'(x)的符号相同。 —0,2b2时,(x) 4 0,f'(x) 故此时f(x)在区间(1,)上递增; 2时,对于x1,有f'(x) 0,所以此时 f(x)在区间(1, )上递增; 2时,(x)图像开口向上,对称轴x 1,而(0) 对于x1,总有(X) 0,f'(x)0, 故此时f(x)在区间 (1,)上递增; (方法二)当b 2时,对于 x1,(x)x2 2 bx1x2x1 (x1)20 所以f'(x) 0,故此时 f(x)在区间(1, )上递增; 当b2时,(x)图像开口向上,对称轴x-1,方程(x)0的两根为: bJb24bJb24而bJb24〔bJb24 bb24 (0,1) 当x(1,— 2 )时,(x)0,f'(x) 0,故此时 f(x)在区间 (1,—舟一4) 上递减;同理得: f(x)在区间[bb24 )上递增。 综上所述,当b 2时,f(x)在区间(1,)上递增; 2时,f(x)在(1,bb巧上递减; ,2 f(x)在[bb24)上递增。 2, h(x)(x1)2 ⑵(方法一)由题意,得: g'(x)h(x)(x22x1) 又h(x)对任意的x (1,)都有h(x)>0, 所以对任意的x(1, )都有g(x)0,g(x)在(1, )上递增。 X1X2, (2m1)(x1x2)。 m)x2,x2(1m)x-i(m1)x2, 1 当m尹1时, ,且x! (m1)x! (1 综合以上讨论,得: 所求m的取值范围是(0,1)。 (方法二)由题设知,g(x)的导函数g'(x)h(x)(x22x1),其中函数h(x)0对于任 意的x(1,)都成立。 所以,当x1时,g'(x)h(x)(x1)20,从而g(x)在区间 (1,)上单调递增。 ①当m(0,1)时,有(1m)x2mx1(1m)x-ix1, mxi(1m)X2mix? (1m)X2x? ,得(x^x? ),同理可得(人必),所以 由g(x)的单调性知g()、g()(g(xj,gg)),从而有lg()g()l ②当 m 0时, mx1 (1m)x2mx2(1m)x2 X2, (1 m)x1 mx2(1 m)x1mx1x-i,于是由 1,1及g(x)的单调性知 g( ) g(xj gM g(),所以|g()g()|>|g(xjg(x2)|,与题设不符。 ③当 m 1时, 同理可得 X1,X2,进而得|g() g()l>ig(xjg(x2)i,与题设 不符。 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是(0,1)。 21、A[解析]本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。 (方法一)证明: 连结OD,则: OD丄DC, 又OA=OD,DA=DC,所以/DAO=/ODA=/DCO, /DOC=/DAO+/ODA=2/DCO, 所以/DCO=300,/DOC=600, 所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。 (方法二)证明: 连结OD、BD。 因为AB是圆O的直径,所以/ADB=900,AB=2OB。 因为DC是圆O的切线,所以/CDO=900。 又因为DA=DC,所以/DAC=/DCA, 于是△ADB◎△CDO,从而AB=CO。 即2OB=OB+BC,得OB=BC。 故AB=2BC。 分。 k 0 0 1 0k 解: 由题设得 MN 0 1 1 0 10 丄0k0 2 2 0
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