一元二次不等式的解法学案.docx
- 文档编号:13837363
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:212.84KB
一元二次不等式的解法学案.docx
《一元二次不等式的解法学案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元二次不等式的解法学案.docx(20页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
一元二次不等式的解法学案
§2.1一元二次不等式的解法(学案)
知识梳理
1、形如yax2bxc,(a0)的函数叫二次函数;形如ax2bxc0,(a0)
的方程叫一元二次方程;形如ax2bxc0(或0或0或0),(a0)的不
等式,叫作一元二次不等式•
2、二次函数yax2bxc,(a0)当a>0时,图像是:
图3图4图5
1判别式b24ac0,函数图像和x轴相交(如图3),有两个交点,设交
点是(x「0),(X2,0),XiX2,由图像可知,当自变量x(,xj(X2,)
时,函数值零;当x(Xi,X2)时,函数值零;当xXi或X2时,函
数值零.
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)有两个不相等的实数解是:
;
对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解集是:
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是
2判别式b24ac0,函数图像和x轴相切(如图4),有一个切点,设切点是(Xo,O),,由图像可知,当自变量xR且xXo时,函数值零;当xXo
时,函数值_零;对于任意实数x,函数值都不会零.
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)有两个相等的实数解是:
;
对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解集是:
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
③判别式
b2
4ac
0,
函数图像在
x轴上方(如图5),由图像可知,当自
变量x
R时,
函数值均
零;即对于任意实数x,
函数值都不可能
零.
-次方程
2
bx
c
0,(a
0)无实数解;
对于兀—
ax
2
bx
c0,(a0)的解集是:
入对」丿兀—不、等^式ax
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
3、解一元二次不等式的步骤:
先判断二次项系数的正负;再看判别式;最后
比较根的大小.解集要么为两根之外,要么为两根之内.具体地:
①设不等式ax2
bx
c
0(a
0),对应方程ax2
bxc
0有两个不等实
根Xi和X2,且
Xi
X2
,则不等式的解为:
x
x1或X
X2(两根之外)
②设不等式ax2
bx
c
0(a
0),对应方程ax
bxc
0有两个不等实
根x1和x2,且x1x2,则不等式的解为:
x1xx2(两根之内)
注意:
①若不等式ax2bxc0(或0)中,a0,可在不等式两边乘1转化
为二次项系数为正的情况,然后再按上述①②进行
②解一元二次不等式要结合二次函数的图象,突出配方法和因式分解法.
基础练习
一、解下列不等式
22
1、3x+5x-2>02、9x-6x+1>0
22
3、x-4x+5>04、-x+x+1<0
5、-x2+4x-4>0
、设A,B分别是不等式3x2+6<19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集
试求AGB,AUB.
四、解关于x的不等式:
x2+(1-a)x-a<0
基础自测
1.下列结论正确的是()
A.不等式x2A4的解集为{x|x>^2}B.不等式x2-9V0的解集为{x|xV3}
C.不等式(x-1)2v2的解集为{x|1-2VxV1+2}
D.设xi,X2为ax2+bx+c=0的两个实根,且xiVX2,则不等式ax2+bx+cV0
的解集为{x|x1VxVX2}
x2
2.不等式x1<0的解集是
(
)
A.(-3-1)1,2B.
1,2
C.(-x,_1)2,
D.1,2
x1
3.已知函数f(x)='
x
0则不等式x+(x+1)
f(x+1)<1的解集是()
x1,
x
0
A.x|1X-21B.
x|
x1cx|xV21
Dx|J21x<21
4.在R上定义运算:
xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)V1对任意实数x成立,
则()
1331
A.-1VaV1B.0VaV2C.VaVD.-VaV-
2222
5.A={x|(x-1)2V3x-7},则AAZ的元素的个数为.
例题讲解例1解不等式2x2|>2(x2-9)-3x.
求不等式
例2已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(,),且0vv
cx2+bx+av0的解集.
例3已知不等式专>0(a€R).
(1)解这个关于x的不等式;
(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.
例4已知f(x)=x2-2ax+2,当x€[-1,+x)时,f(x)>a恒成立,求a的取值
范围•
变式练习
1.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)v0的解集为xx-,求关于x的不
等式(a-3b)x+(b-2a)>0的解集.
2.解关于x的不等式匕v0(a€R)
xa
3.函数f(x)=x2+ax+3.
⑴当x€R时,f(x)>a恒成立,求a的范围;
(2)当x€[-2,2]时,f(x)恒成立,求a的范围.
练习作业
、选择题
1.函数y=log1(x21)的定义域是(
2.不等式三厂丄>0的解集是
x4
的取值范围是()
A.{x|-1vxv1}B.{x|0vxv3}C.{x|0vxv1}D.{x|-1vxv3}
二、填空题
7.若不等式2x>x2+a对于任意的x€[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围
为.
8.已知{x|ax2-ax+1v0}=,则实数a的取值范围为.
三、解答题
9.解关于x的不等式56x2+ax-a2v0.
10.已知x2+px+qV0的解集为x|1x-,求不等式qx2+px+1>0的解集
23
11.若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|<2的所有m都成立,求x的取值范围.
12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x€(-2,6)时,其值为正,
而当x€(-巴-2)U(6,+%)时,其值为负.
(1)求实数a,b的值及函数f(x)的表达式;
(2)设F(x)二4f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时,函数F(x)的值恒为负
值?
§2.1一元二次不等式的解法(学案)
知识梳理
2、形如yax2bxc,(a0)的函数叫二次函数;形如ax2bxc0,(a0)
的方程叫一元二次方程;形如ax2bxc0(或0或0或0),(a0)的不
等式,叫作一元二次不等式
3、二次函数yax2bxc,(a0)当a>0时,图像是:
图3图4图5
1判别式b24ac0,函数图像和x轴相交(如图3),有两个交点,设交
点是(Xi,0),(X2,0),XiX2,由图像可知,当自变量x(,xj(X2,)时,函数值大于零;当x(Xi,X2)时,函数值小于零;当xXi或X2时,函数
值等于零.
对于
元—
-次方程ax
bx
c
0,(a
0)有两个不相等的实数解是:
Xi和X2;
V7-Unr*
2
bx
c0,(s
i0)的解集是:
(,xi)(X2,)
对于
兀二次不等式ax
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
(*][X2,)
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
(Xi,X2)
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
[XiX]
②判别式
b24ac
0,
函数图像和
x轴相切(如图4),有一个切点,设切
点是(X0,0),,由图像可知,当自变量XR且XX0时,函数值大于零;当XX0时,函数值等于零;对于任意实数x,函数值都不会小于零.
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)有两个相等的实数解是:
x°;
对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解集是:
{x:
xR且xx。
}
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
R
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
2ax
bx
c
0,(a
0)的解集是:
{X
xX。
}
3判别式b24ac0,函数图像在x轴上方(如图5),由图像可知,当自
变量xR时,函数值均大于零;即对于任意实数x,函数值都不可能小于或等于零•
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)无实数解;
对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解集是:
xR
ax2bxc0,(a0)的解集是:
R
ax2bxc0,(a0)的解集是:
4、解一元二次不等式的步骤:
先判断二次项系数的正负;再看判别式;最后
比较根的大小.解集要么为两根之外,要么为两根之内.具体地:
①设不等式ax
2
bx
c0(a0),对应方程
2ax
bx
c
0有两个不等实
根Xi和X2,
且
Xi
X2,则不等式的解为:
X
Xi或
X
X2(两根之外)
②设不等式ax
2
bx
c0(a0),对应方程
2ax
bx
c
0有两个不等实
根Xi和X2,
且
Xi
X2,则不等式的解为:
Xi
X
X2
(两根之内)
衽①若不等式
ax
2
bxc0(或0)中,a
0,可在不等式两边乘i转化
为二次项系数为正的情况,然后再按上述①②进行
2解一元二次不等式要结合二次函数的图象,突出配方法和因式分解法.
基础练习
、解下列不等式
5、-x2+4x-4>0
的解集
、设A,B分别是不等式3x2+6<19x与不等式-2x2+3x+5>0
试求AGB,AUB.
三、解关于x的不等式:
x2-(2m+1)x+m2+mv0.
四、解关于x的不等式:
x2+(1-a)x-a<0
基础自测
1.下列结论正确的是(C)
A.不等式x2A4的解集为{x|x>^2}B.不等式x2-9V0的解集为{x|xV3}
C.不等式(x-1)2v2的解集为{x|1-2VxV1+2}
D.设xi,X2为ax2+bx+c=0的两个实根,且xiVX2,则不等式ax2+bx+cV0
的解集为{x|x1VxVX2}
x2
2.不等式门<0的解集是(D)
A.(-3-1)1,2B.12C.(-巴-1)2,D.1,2
x1x0
3.已知函数f(x)='则不等式x+(x+1)f(x+1)<1的解集是(C)
x1,x0
Ax|1xV21Bx|x1Cx|x.21D.x|21x21
4.在R上定义运算:
xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)V1对任意实数x成立,
则(C)
1331
A.-1VaV1B.OVav2C.VaVD.-VaV-
2222
5.A={x|(x-1)2V3x-7},则AAZ的元素的个数为0.
例题讲解
例1解不等式2x2|>2(x2-9)-3x.
解原不等式可化为-?
x2+-x2---3x,即2x2-3x-7<0.
2222
解方程2x2-3x-7=0,得x=3-65.所以原不等式的解集为
4
3653-,65,
x|x|.
4444
例2已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(,),且0VV,求不等式cx2+bx+aV0的解集.
解方法一由已知不等式的解集为(,)可得aV0,
T,为方程ax2+bx+c=0的两根,
-()0①
由根与系数的关系可得a'-'av0,由②得cv0,
-o②
a
则cx2+bx+av0可化为x2+-x+->0,①*②得卫==---v0,
ccc
由②得-=—=丄丄>0,•••丄、丄为方程x2+-x+-=0的两根.
ccc
••0vv,•不等式cx2+bx+av0的解集为xx丄或x丄.
方法二由已知不等式解集为(,),得av0,
且,是ax2+bx+c=0的两根,•+=--,=-,
aa
•••cx2+bx+av0-x2+-x+1>0()x2-(+)x+1>0
aa
11
(x-1)(x-1)>0x-x->0.
■/0vv,•丄>—,/xv丄或x>丄,
/•cx2+bx+av0的解集为xx丄或x丄.
例3已知不等式—>0(a€R).
(1)解这个关于x的不等式;
xI
(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.
解
(1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.
1当a=0时,由-(x+1)>0,得xv-1;
2当a>0时,不等式化为x1(x+1)>0,解得xv-1或x>丄;
aa
3当av0时,不等式化为x1(x+1)v0;
a
若1v-1,即-1vav0,则丄vxv-1;若-=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;
aaa
若1>-1,即av-1,则-1vxv丄.综上所述,
aa
av-1时,解集为x
1x1;a=-1时原不等式无解;a
-1vav0时解集为x|lxi;a=0时,解集为{x|xv-1};
a>0时,解集为xxi或x丄.
(2)'•X=-a时不等式成立,
a
2
•••旦」>0,即-a+1v0,/a>1,即a的取值范围为a>1.
a1
例4已知f(x)=x2-2ax+2,当x€[-1,+x)时,f(x)>a恒成立,求a的取值
范围.
解方法一f(x)=(x-a)2+2-a2,
此二次函数图象的对称轴为x=a,
1当a€(-x,-1)时,结合图象知,f(x)在]-1,+x)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=2a+3,
要使f(x)>a恒成立,只需f(x)min>a,
即2a+3》a,解得a>-3,又av-1,‘3 2当a€[-1,+x)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2》a,解得-2waW1,又a》^1,•.-1waW1. 综上所述,所求a的取值范围为-3 方法二由已知得x2-2ax+2-aX)在]-1,+x)上恒成立, 0 即厶=4a2-4(2-a)<0或a1,解得-3Waw1. f (1)0 变式练习 1.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)v0的解集为xx-,求关于x的不 1 1.(ab)_(2a3b)0, 3宀3 ab0. 等式(a-3b)x+(b-2a)>0的解集 解v(a+b)x+(2a-3b)v0的解集是xx 于是a=2b>0,b>0,不等式(a-3b)x+(b-2a)>0, 即为-bx-3b>0,亦即-bx>3b,.v-3.故所求不等式的解集为{x|xv-3}. 2.解关于x的不等式二v0(a€R). xa 解-^2v0(x-a)(x-a2)v0, xa 1当a=0或a=1时,原不等式的解集为; 2当av0或a>1时,ava2,此时avxva2; 3当0vav1时,a>a2,此时a2vxva. 综上,当av0或a>1时,原不等式的解集为{x|avxva2}; 当0vav1时,原不等式的解集为{x|a2vxva}; 当a=0或a=1时,原不等式的解集为. 3.函数f(x)=x2+ax+3. (1)当x€R时,f(x)>a恒成立,求a的范围; ⑵当x€[-2,2]时,f(x)恒成立,求a的范围. 解 (1)vx€R时,有x2+ax+3-aX)恒成立, 须△二a2-4(3-a)O,即a2+4a-12O,所以-6 ⑵当x€[-2,2]时设g(x)=x2+ax+3-aX0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图 (1),当g(x)的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有△二a2-4(3-a)O,即-6 Wa^2. ②如图 (2),g(x)的图象与x轴有交点, 但在X€[-2,+X)时,g(x)X), 0 即xa2, 2 g (2)o ③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点, 综合①②③得a€[-7,2]. 练习作业 一、选择题 1.函数y=logi(x21)的定义域是(A \2 2.不等式K>0的解集是 的取值范围是(D B. A.-25 a<-25或a>1 、填空题
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一元 二次 不等式 解法